正弦函数余弦函数的性质教案

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质【教材分析】《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修4中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。【教学目标】.会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有sinx,cosx的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数y=〃sinx+仇。wO）和函数y=4cos2x+bcosx+c（aw0）的值域.在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯..在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦.【教学重点难点】教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有sinx,cosx的函数的值域【学情分析】知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强：能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。【教学方法】.学案导学：见后面的学案。.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合作探究、精讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习【课前准备】.学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。【课时安排】1课时【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。二、复习导入、展ZK目标。（一）问题情境好习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关健点引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标一一定义域与值域(-)探索研究给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题:.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集H(或(-8,+8))..值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度，所以|sinx|«1,|cosx|<1,即一1<siiix<1,-1<cosx<1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].(2)最值正弦函数)=sinx,x£R①当且仅当X=-+2k^k£Z时,取得最大值1允②当且仅当x=--+2k^keZ时,取得最小值一12余弦函数)=COSX,XER①当且仅当x=2keZ时,取得最大值1②当且仅当x=2&乃+万火£Z时,取得最小值一1.周期性由siii(x+2k兀)=sinx,cos(v+2k/r)=cosx,(k£Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数/。)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有/(x+T)=/(X),那么函数/(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2过44,…,一2万,—4巴…,2女秋&gZ,k丰0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数/0),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做/(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2br(A£Z,AwO)都是它的周期,最小正周期是2%..奇偶性由siii(-x)=-siiix,cos(-x)=cosx可知：y=smx(XGR)为奇函数,其图象关于原点O对称y=cosx(x£R)为偶函数,其图象关于y轴对称.对称性正弦函数)』sinx(xwR)的对称中心是伏阳0)伙eZ),对称轴是直线工=&万+/(&6Z);余弦函数y=cosx(xwR)的对称中心是(我乃+2,0(k£Z),对称轴是直线工=版■(攵£Z)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点)..单调性从〉=sinx,x£ 的图象上可看出：元JT当X£［-时，曲线逐渐上升，S111X的值由一1增大到122当x£［2,2乃］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-122结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［―］+2攵汉］+2攵幻(k^Z)上都是增函数,其值从一1增大到1；在每一个闭区间［1+2攵)尚乃+2&幻(ksZ)上都是减函数,其值从1减小到一1.余弦函数在每一个闭区间［2&乃一《2%句(keZ)上都是增函数，其值从一1增加到1；余弦函数在每一个闭区间［2k《2k/r+司(&eZ)上都是减函数,其值从1减小到—1.三、例题分析例1、求函数y=sm(2x+g)的单调增区间.解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性.解：令z=2x+£,函数v=smz的单调增区间为［一2+2女乃，-+2^^］.TOC\o"1-5"\h\z3 2 2由一三十2k/rW2x+三《工+2k冗得一些+k兀三十k7r2 3 2 12 12故函数y=sinz的单调增区间为【一!^+""，S+女乃［(k£Z)点评：“整体思想”解题变式训练L求函数尸in(-2x+?)的单调增区间解：令z=-2x+。函数v=suiz的单调减区间为［工+2攵乃，卫+2k门3 2 27元 jr故函数sin(-2x+1)的单调增区间为［一方一一立一女乃］(k£Z).例2：判断函数/(x)=sm(-x+—)的奇偶性解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看/(X)与/(-五)的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断.TOC\o"1-5"\h\z布、 ・,3 34、 3x解：♦J(x)=sin(-x+——)=-cos——，4 2 4.r/ /3x、 3x••J(T)=-COS(_--)=-COS—4 43 37i所以函数/(x)=sin(-x+——)为偶函数.4 2点评：判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤.变式训练2.f(x)=lg(sm.¥+Jl+sufx)解：函数的定义域为R,f(-x)=lg[sm(-x)+Vl+sin^]=lg(-sinx+vl+sin\x)=lg(smx+Jl+su/x)-1=-lg(smx+Jl+sWx)=-f(x)所以函数/(x)=lg(sinx+Jl+sin^T)为奇函数.例3.比较sin25比、sin260。的大小解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小TOC\o"1-5"\h\z解：:产smx在［工+2上乃，?+2*4］(kez),上是单调减函数，2 2又250°<260°:.sui250°>sui260°点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单调区间，运用单调性即可，若比较更杂,先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较.变式训练3.cos史■、(：<«出■8 95 15万 14万解：cos >cos 8 9由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。五、反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。课堂小结：1、数学知识：正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题2、数学思想方法：数形结合、整体思想。达标检测：一、选择题L函数y=JTsin2x的奇偶数性为(

B.偶函数A.B.偶函数C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数TOC\o"1-5"\h\zrr2.下列函数在弓,句上是增函数的是（ ）A.）^=siiir B.C・）=sin2x D.y=cos2xA7r}3.下列四个函数中，既是0,-上的增函数，又是以〃为周期的偶函数的是（ ）.\z）A.y=smx B.y=sm2x|C.y=|cosx| D.y=|cos2x|二、填空题4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。参考答案：I、A2、D3、A4、④©cosx=>/2 ②参考答案：I