概率论与数理统计试卷及答案

一、本题满分20分，每小题5分.某市有30%住户订日报，有50%住户订晚报，有65%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。解：设A表示订日报的住户，B表示订晚报的住户，则由题意：P(A)=0.3P(B)=0.5P(AU为=0.65同时订两种报纸的住户为P(AB)=P(A)+P(B)—P(AUB)=0.15.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，求三台机器中至少有一台发生故障的概率。解：令A表示第，•份机器有故障，，=1、2、3且各机器相互独立运转i贝ij：P(AIIAHA)=1-P(A)P(A)P(A)=1-0.9x0.8x0.7=1-0.504=0.496TOC\o"1-5"\h\z12 3 1 2 3.设P(A)=P(B)=1/3,P(AIB)=1/6,求P(AIB)。解：P(AB)=P(B)P(A|B)=3x6=,111 7反、_P(AB)_P(A)-P(AB)_1-P(A)-[P(B)-P(AB)]_133+18_18_7P(A.B)P(B) 1-P(B) 1-P(B) 11 212—— —3 3.已知P(A)=0.5,P(B)=0.25,分别对事件A,B相互独立、互不相容两种情形求P(AUB),P(B-A).解：(1)人加独立时，则P(AB)=P(A)P(B)故P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.5+0.25-0.5x0.25=0.625P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.25-0.5x0.25=0.125(2)A,B互不相容时,P(AB)=0故P(AU3)=P(A)+P(B)=+=P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)=二、本题30分，每题6分5.一射手对同一目标独立地进行射击，直到射中2次目标为止，已知每次命中率为3,求射击次数的分布率。(3分)解：令X表示射击的次数，则X的取值可能是2,3,4(3分)则X的分布率为P（X二k）二。k-1k=2,3,4(3则X的分布率为P（X二k）二。k-1k=2,3,4(3分)6.设随机变量X服从参数为3的指数分布,写出它的概率密度和分布函数，并求P{X<3},P{<-1<X<6}。解：.X服从参数为3的指数分布|3e-3x x>0「•其概率密度为f(x)=\[0X<0|J*3e-3xdx=1—e-3x其分布函数为 F(x)=|0[0x<0P(X<3)=F⑶=1-e-9P(-1<X<6)=F(6)=1-e-18（2分）（2分）（1分）（1分）或者X服从参数为3的指数分布「•其概率密度为f(x)=<1—e3（2分）其分布函数为（2分）（1（2分）（1分）（1分）3P(X<3)=F⑶=1-e-1P(-1<X<6)=F(6)=1-e-2.设随机变量X〜N(-1,1),随机变量y〜N(2,4)，且它们相互独立。又设随机变量z=x-2y+1，求z的概率密度。TOC\o"1-5"\h\z解：EZ=((X-2Y+1)=EX-2EY+1=-1-2x2+1=-4 (1分)DZ=D(X-2Y+1)=DX+4DY=1+4x4=17 (1分)「.Z〜N(-4,17) (2分)/、 1 (8±4)2「.Z的概率密度为 (z)=e2x17 -*<z<+8 (2分)“2兀<17.设二维离散型随机变量（x,y）的联合分布律为

12311111691812ab3求a,b使X与Y相互独立。解：欲使X与Y相互独立(1分)(4分)(1分)则P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j(1分)(4分)(1分)1_1J、(+a)由题意得：4由题意得：41_1/1八(+b)〔1831829199．当抛掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，问正面数刚好是三个的概率是多少？解：令A表示“正面数是三个”，B表示“至少出现两个正面” (3分)则正面数刚好是三个的概率是P(AB)=PAB)= 蛆心=1001"='=!=10=上1 P(B)1.00(1)0(1)5.01(1)1(1)41-6.(1)525—632-6261352 2 5、2 2 2(3分)三(7分)．一袋中有5个编号分别为1，2，3，4，5的乒乓球，从中任意地取出三个，以X表示取出的三个球中的最大号码，写出X的分布律和X的分布函数，并画出分布函数的图形．解：X的可能取值为3,4,5且P(X=3)=1102

5= 10023P(X=4)=0且P(X=3)=1102

5= 10023P(X=4)=0=10502 6P(X=4)= =—C2105(3分)X的分布韩淑为F(x)=41104101(3分)4<x<5分布函数的图像为四、（8分）一批电子元件中，甲类的占80%，乙类的占12%，丙类的占8%。三类元件寿命达到指定要求的概率依次为，和。今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率。解：设A,B,C分别表示甲，乙，丙三类元件，D表示寿命达到指定要求 （3分）则由全概率公式D | （4分）=X+X+X五、（10分）有一大批产品，其验收方案如下。先做第一次检验，从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率；（2）这批产品被接受的概率。解：（1）令A表示第一次检验就被接受1贝|JP（A）=0.9i0= （3分）1⑵令B表示这批产品被接受，A表示不接受也不拒绝2(6分)则P(B)=XP(A)P(BA)=0.9i0+[Ci0.1*0.99+C20.12*0.98]x0.95

i1i(6分)i=1=0.910+0.914+0.5x0.914=0.910+1.5x0.913=六、（10分）设二维随机变量（X,Y）服从区域D={Q,y）:0<x<1,0<y<1且x+y<1}内的均匀分布，求（X,Y）的联合概率密度函数以及X与Y各自的边缘概率密度函数.解：（X,Y）的联合概率密度函数为（2分）12(x,y)eDf(x，y（2分）X的边缘概率密度函数为0<x<1其它（4分）(x)Jf(x,y)dy0<x<1其它（4分）一6 I0Y的边缘概率密度函数为

ay2dx=2（1-y） 0<y<1 ,八、（x）=kf（x,y）dx=<0 （4分）- 10 其它七、（15分）设随机变量x与y相互独立，x服从区间h1］上的均匀分布，丫服从九二1的指数分布.求（1）X和Y的联合密度；（2）设含有a的二次方程为a2（1）X和Y的联合密度；（2）设含有a的二次方程为a2（3）又设随机变量Z=X+Y，解：由已知易得I10<x<1（xH。其它（1）.X,Y独立二.X和Y的联合密度为+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率；试求随机变量Z的概率密度函数fQ）.Zy>0其它（1分）（2）方程有实根，则AIe-yf(x,y)=f(x)(x)=\X 10-4)>0，即Y<X20<x<1,y>0其它（3分）P（方程有实根）=P(Y<X2)=J1dxJx200e-ydy=J1(1-e-x2)dx=1-J1e-x2dx=1-<2kJ1-L=e"32dx=1-K[F(1)-F(0)]0\2kTOC\o"1-5"\h\z=1-‘氤[①(；)-①(0)]=1-标[①(\.'2)-①(0)]=1+注-7届①(纭；2) (5分)国 2[0<x<1…⑶利用公式f(z)=卜f(x)f(z-x)dx当且仅当《 八时上述值不为Z-8XY 〔z-x>0(z-x)dx—J1e-(z-x)dx—(e-1)e-z(7分)f(z)=Jzf(x)f(z-x)dx(z-x)dx—J1e-(z-x)dx—(e-1)e-z(7分)当z>1时，f(z)—Z其它，f(z)=0Z(e-1)e-z z>10其它或者[0<z-y<1.利用公式f(z)-卜f(z-y)f(y)dy当且仅当《 时上述值不为Z-8x Y 〔y>0当