概率论与数理统计二

第一章随机事件及其概率事件的关系与运算必然事件：O一随机试验全部结果构成的集合。不可能事件：。一般事件A：OuAuO若A、B为两事件若AuB，则其蕴含：“A发生导致B发生”。若AB=ACB=。，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。若A-B=A，则AB=6；若AB=A,则AuB；若AUB=A,则BuA。若A］，A2，…A”为n个事件,由它们的运算可产生诸多新事件,如cja,ua，UA,=na,等等。i=1 i=1 i=1 i=1例1事件3A发生等于“A,A,…A至少有i个发生”。i 12ni=i2．常用概率公式(1)。<P(A)<1,P(O)=1,P(O)=0若AuB，则P(A)<P(B)P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)；当AB=O,则P(AuB)=P(A)+P(B)P(A)=1-P(A)P(A-B)=P(A)-P(AB)(6)若(6)若A1，A2,…A两两互不相容，则P(3a)i=Ep(A)ii=1 i=1⑺若A1，A2,…A相互独立，则

例2设P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(AB)=0.1则P(AuB)=1—P(AuB)=1—P(A)—P(B)+P(AB)=0.53．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为例3从五个球(其中两个白球、三个红球)中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求P(A),P(B)(1)无放回抽样：(2)有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次2［注］:若设X为两次有放回取球中取到白球数，则X〜B(2,5)，从而22P(A)=P(X=2)=C2(-)1(1--)2-125 54．条件概率P(AB)(1)若P(B)>0，则P(AB)= ，其中a为任一事件。P(B)(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)例4箱中有两白球、三红球，A表第i次取到白球，则iTOC\o"1-5"\h\z21 1P(“刖两次取到白球”)=P(AA)=P(A)P(AA)=D=:12 1 211 54 10〜，丁、〜一~「一23 3P(“第一次取到白球，第二次取到红球")=P(AA2)=P(A)P(A2A)=---=—12 1 21 5410(3)全概率公式：设B,B，…B是一完备事件组(或Q的一个划分)，即：BB=。,1 2n iji中j,i,j=1,2,…,〃(即诸B互不相容)且®B=。，则对任一事件A有P(A)=£p(A\B)P(B)i i iii=1 i=1(4)Bayes公式P(BK|A)P(B(4)Bayes公式P(BK|A) K !_K—Zp(B)P(A|B)i ii=1例5某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有i(i=1,2,3,4)个次品的概率如下(1)求各批产品通过的概率；(2)求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。(i=1,2,3,4)解：(1)设事件B是恰有i个次品的一批产品(i=1,2,3,4)，则由题设i设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有P(AB0)=1由全概率公式，即得P(A)=XP(Bi)P(A|Bi)*0.8142i=0(2)由Bayes公式，所求概率分别为5．事件的独立性(1)定义：A、B相互独立等价于P(AB)=P(A)•P(B)⑵若A,A，…,A相互独立，则有P(AA…A)=P(A)P(A)-P(A)1 2 n 12n 1 2 n(3)有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例6袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到(白、红、白)的概率323 27解：设A表第i次抽到的白球，则所求为P(AA2A)=P(A)P(A2)P(A)=-•-•-=—123 1 2 3 555125(4)在n重贝努利(Bernoulli)试验中，若每次试验事件A发生的概率为。，即P(A)=p(0<p<1)，则事件A发生K次的概率为P(k)=ckpkQ—p)n-k,k=0,1,2，…,nnn例7一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为，求：(1)恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率。解：由于每次射击相互独立，故本题可视为n=4的贝努利试验，其中p=0.8(1)设A：“4次射击恰命中两次”，则P(A)=P(2)=C2(0.8)2(0.2)2=0.153624 4(2)设B:“4次射击中至少命中一次”，A0表“4次皆未命中”，则第二章随机变量及其概率分布离散型随机变量例1设 ，则。=1-0.5—0.2=0.32．常见离散型随机变量0—1分布：设X〜B(1,p)，则应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数X〜B(1,p)，其中p=P(A)=P(X=1)=EX例2设某射手的命中率为p,X为其一次射击中击中目标的次数，则X〜B(1,p)(2)二项分布：设X〜B(n,p)，则P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…，〃n应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X〜B(n,p)，其中p=P(A)为事件A在一次抽样中发生的概率。例3某射手的命中率为，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为0,1，…,5,P(X=k)=Ck0.8k0.25-k,即x〜B(5,0.8)2记住：若X〜B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p)(3)泊松(Poisson)分布入k若P(X=k)=—e-入,k=0,1,2，…则称X服从参数九的泊松分布，且EX=九=DX，记X〜k!B(九),九〉0应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。入k另外，当Y〜B(n,p)，且n很大，P很小时，令九=np,则P(Y=k)氏 e-九k!例4一个工厂生产的产品中的次品率,任取1000件,计算解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X〜B(100,0.005)，由于n很大，P很小，令则(1)P(X>2)=1-P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)工1-5051—e-5——e-50!1!=1-e-5-5e-5=1-6e-5P(X<5卜2,-5k=03.随机变量的分布函数：X的分布函数为F(X)=P(X<x),—s<x<+sF(x)的性质：①0<F(x)<1②若x<x，则F(x)-F(x)>012 2 1③F(-8)=0,F(+8)=1④P(X<b)=F(b),P(a<X<b)=F(b)-f(a),P(X>b)=1-F(b)

例5设X例5设X的分布函数F(x)=0,其中X>0，则a=b=解：由F(+s)=1知a=1(因为F(+s)=lim(a+be-入x)=a)x—+^由F(_g)=0，及题设x<0时F(x)=0，故limF(x)=(a+be-嬴)=(1+b)=0x—0+、 11-e—x,x>0即a=1,b综上有F(x)=[即a=1,b0,设X的分布函数F设X的分布函数F(x)=〈1,P(X<2),P(0<X<3),P(2<X<2.5)解：P(X<2)=F(2)=ln2.连续型随机变量若P(Xg解：P(X<2)=F(2)=ln2.连续型随机变量若P(Xg(a,b))=Jbf(x)dx，其中a<b任意，a则称x为连续型随机变量。此时F(x)=fxf(u)du；f(x)=F'(x)-8其中If(x)>0f(x)为X的概率密度，满足| (注意与分布律的性质:[J+8f(x)dx=1-8P>0*P=1相对照)KK设X的概率密度为于(x)=x|<1《[0,|x|>1，则c=解：由卜f(x)dx=1知Jzdx=2c=1,-8 -1.常见连续型随机变量(1)均匀分布：设X〜U(a,b)，则f(x)1 ,a<x<bb-a0,其他0,x<ax-a

b-a1,EX=竽"X=史萨，则a=例8 设X〜U(-a,a)，且P(X>1)=，则a=解：易知。>1且J"g,即—dx=—解得。=31 3 12a3. 、 仇e-嬴，x>0 [1—e-^x.%>0(2)指数分布研入)设X〜成入)，则| F(x)=I[0, x<0 10, x<0EX=-,DX=—XQ应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。例9设x为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率(设x〜£(九))解：由题意所求为P(X>。=J笆M-嬴dx=e-浦(3)正态分布N(n,O2),设X〜N(n,O2),则1/(%)= e-(x”/2b2,-oo<%<+ooV2KCJF(x)=卜f(u)du,EX-日,DX=02—co1特别，当x*〜N(0,l)时，称X*服从标准正态分布，其密度函数记为(p(x)=-^er2/2分布，2兀函数记为①(％)=L^(u)du=co常用公式：①若X*〜N(0,l),则①(―x)=l—①(x),(p(-^)=cp(x)尸(X*〉1.96)=0.975,尸(X*>z/)=a*

Q②若X〜N(N,O2),则 <b)=0(—^)-0(—^)a o6.简单随机变量函娄的概率分布例io设 ,求y=x2的概率分布。解：由题设，X的可能值为-1,0,1,故X2的可能值为0,1而尸厂。)=尸(X2=0)=P(X"V故例11设x〜n(o,i),求y=X2的分布密度函数解：先求y的分布函数：q(y)=。，当yv。；当y>。时再求y的分布密度函数ii=0 i=0I0，丁&0故fY(yT」e-y/2,y>0

一加y第三章多维随机变量及其概率分布.二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数F(x,y)=P(X<x,Y<y)X的分布函数F(x)=limF(x,y)=F(x,+s)yf8Y的分布函数F(y)=limF(x,y)=F(+8,y)2xf8.离散型(X,Y)的分布律Pj।P=P(X=x,Y=y)>0 IP>0TOC\o"1-5"\h\zijth i i IvKiXEp=i (与\Lp=i比较)ij IKij ^K例1设(X,Y)的分布律为求⑴a=?P(X=0)P(Y<2)P(X<1,Y<2)P(X=Y)解：(1)由ZZP=1知ij

ijZZP=(P+P+P+P+P+P)=0.1+0.1+0.3+0.25+a+0.25=1TOC\o"1-5"\h\zij01 02 03 11 12 13i=0j=1解得a=0⑵P(X=0)=ZP=P+P+P=0.1+0.1+0.3=0.5

0j01 02 03j=1P(Y<2)=P(Y=1)+P(Y=2)=P+P=ZP+ZP=(0.1+0.25)+(0.1+0)=0.451 2 i1 i2

P(X<1,Y<2)=P(X=0,Y<2)=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=P+P=0.1+0.1=0.201 02(5)P(X=Y)=P=0.2511f(x,y)20卜卜f(x,y)20卜卜f(x,y)dxdy=1—8—8设d为平面上的区域，f(羽y)为(X,Y)的分布密度，则其满足：<特别，F(x,y)=P(X<x,Y<y)=jx卜f(u")dudv若x,y相互独立，则有F(x,y)=F(x)•F(y),f(x,y)=f(x)•f(y)，其中F(x),f(x)1 2 1 2 11分别为x的边缘分布函数和分布密度，f(y),f(y)分别为y的边缘分布函数和分布密度。22.常见二维连续型分布(1)平面区域D上的均匀分布：设d的面积为SD,(X,y)服从d的均匀分布，则(X,y)的分r1〜,(x,y)£D布密度为f(x,y)=iSD、0,其他例2设D=tx,y)：x2+y2<J,即D为xy平面上的单位园域，则SD=兀，设(X,Y)服从Dr1—,x2+y2<1上的均匀分布，则其f(x,y)=产 *0,其他S解：设(X,Y)具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则P((X,Y)£A)=—产，其中SDS表示A与D公共部分的面积。AcD例3(续例2)求P(X>0,Y>0)兀解：P(X>0,Y>0)=4-=1兀4(2)二维正态分布N(N,N,。2,o2,P)*，设(X,Y)具有该分布，则其概率密度为121 2此时x的边缘密度于此时x的边缘密度于1a)=1—e-a-四])2〃％2J2兀o1即X〜N(N],o]2)故ex=日，DX=o211DY=o2DY=o22Y的边缘密度f(y)=.—— e-(y-%)2/2o22，即Y〜N(N,o2)，故EY=M,2 %：2兀o 22 22p为x,y的相关系数，可知当P=0时，f(x,y)=f(x)f(y)，即x,y相互独立，这是一个重12要结论：在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知Cov(X,Y)=pJDXJDY=poo*2例4设X〜N(0,4),y〜N(-1,1)，两者相互独立，求(X,Y)的分布密度f(x,y)解：由X,Y相互独立知(x,Y)〜f(x,y)=fi(x)f2(y)第四章随机变量的数字特征单个随机变量的期望例1设,则EX=-1X—+0x—+3x—例1设TOC\o"1-5"\h\z，则 2 4 4 412x,0<x<1例2设X的分布密度为f(x)=j0其他，则EX=卜xf(x)dx=f1x.(2x)dx=J12x2dx=2.—-8 0 0 32.单个随机变量函数的期望设X为随机变量，y=g(x)是普通函数，则Y=g(X)是随机变量，且[£g(x)p(X=x),当X为离散型I i iEg(X)fi *[J+8g(x)f(x)dx, 当X为连续型，且X具有密度f(x)-8例3设X的分布如例1,例3设X的分布如例1,求g(X)=X3的期望解：EX3=(-1)3/+03/+33X1=444例4设X的分布密度f(x)如例2,X5/2解：E(yX)二卜v:xf(x)dX=J1'x-2XdX=2f1x312dx=2X5/2一g=DX，即为x的方差当g(X)=(X-从)2(其中EX=日)时，Eg(X)=E(X=DX，即为x的方差EX=(-1)x1+1x1=0,EY=-10x1+10x1=02 2 2 2DY=(-10)2x1+(10)2x1=100(方差大者，取值分散)［注］：DX=EX2-(EX)2是重要常用公式例［注］：DX=EX2-(EX)2是重要常用公式例5设随机变量X具有概率密度f(X)=<1+X,-1<X<01-X,0<X<1，求DX0,其他解：因f(X)是分段函数，故求EX,EX2时也要随之分段积分于是DX=E(X2)-(EX)2=163.(XI)函数的期望设Z=g(x,y)是普通函数，则Z=g(X,Y)是随机变量，其数学期望EZ等于则E(XY)=(0x0)P+(0x1)P+(1x0)P+(1x1)P=(1x1)P=1x1=1、 00 01 10 11 11 6612,例7 设(X,Y)的分布密度f(羽y)=j。0<X<1,0<y<X其他当g(x,y)=(x-N1)(y-N2)时，其中N1E(g(X，Y))=EkX-NJY-N之4是X,Y的协方差，即=E(XY)—EX•EY(重点), 、(, 、(x—n)(y—N)当g(x,y)= 1 /时，其中EX=N,EY=N,DXaa 1 212=o2,DY=a21 2(X—n(X—n)(y—旦) 1 (oo12e(x—n)(y—n) 1 2—oo12Cov(X,y) =poo12*为X,Y的相关系数期望E(•)的重要性质(1)EC=c(常数)E(CX)=CEXE(X+Y)=E(X)+E(Y)推广：E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c(4)若X,Y相互独立，则E(XY)=EX•EY方差D(•)的重要性质(1)D(c)=0D(X土c)=DX，其中c为常数(2)D(cX)=c2DX特别D(X)=D(—X)(3)若X，Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)例8设X,Y相互独立，且DX=3,DY=4，则协方差Cov(一)的运算性质：(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b为常数Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)12 1 2若X,Y相互独立，则Cov(X,Y)=0，从而P=0,即x与y不相关［注］：一般地，若X,Y独立，则X,Y必不相关(即Cov(X,Y)=0)；反之不真，即X,Y不相关推不出X,Y独立。重要特例是：若（XI）为正态分布，则x,Y独立等价于X,Y不相关（即0=0）设（X,y设（X,y）的分布律为,求TOC\o"1-5"\h\zEX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),4 1/2 1/4解：易知EX2=1xEX2=1x1=1,故EX=(—1)x—+1x—=—,EY=(—1)x—+1x—=——4 4 2 4 4 2EY2=1x1=1“ 1 3DY=1—(—-)2=_2 4- 「一、 ““ 1 3DY=1—(—-)2=_2 4DX=EX2—(EX)2=1—(2)2=_,Cov(X,Y) 0.25 1P=_ _ =_ _ =_*XYDXXDDY<0,75<0.753例10设(X,Y)〜N(1,1,4,9,1)，则Cov(X,Y)=poo=1x2x3=3*\o"CurrentDocument"2 122例11设（X,Y）为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是（选择题）(A)X,Y独立 (B)E(X+Y)=EX+EY (c)E(XY)=EX•EY（D）（X,Y）〜N（口,从,c2,o2,0）1 2 1 2解法1（排除法）：排除（A）,因X,Y独立nX,Y不相关（故非充要条件）；排除（B）,这一等式成立不需任何条件；排除（D）,由（X,Y）服从正态分布及P=0知X,Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论n故选（C）解法2（直接证明）：当E（XY）=EXEY时，Cov（X,Y）=E（XY）-EXEY=0，故x,Y不相关；反之亦然。第五章大数定律与中心极限定理.贝努利大数定律/，、n贝努利大数定律：设P（A）=P,1为A在n次观测中发生的频率，则对任给的正数£有nlimPlimP(n-8—P<£)=1.中心极限定理设XJX2,…相互独立,同分布,从而它们有相同的期望N和相同的方差02ii=1limPn-8Ex-nNi4=1_- Jno、Vx=0(x)，其中①limPn-8Ex-nNi4=1_- Jno、Vx=0(x)，其中①(x)为标准正态分布函数［注］:中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时Zx近似某正ii=1态分布N(N,02)，为了便于查表近似计算，将EX标准化(从而标准化后其近似分布N(0,1))

ii=1故上述随机变量的分布函数F(x)氏①(x)，n在应用中心极限定理，大多用上式的形式Ex-nNi-4=1_= 弋no更进一步的特别场合为：若X1，X2,…相互独立同B(1，p)分布时，上式化为这一式子在应用也较为常用例1计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量X1，X2,…,且都服从u(-0.5,0.5)，求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。解：易知第i个加数的误差X满足：X〜u(-0.5,0.5),EX=0,DX=-1,故i i i i12[EX]

liJ=EDXii=11 _=300x=2512故所p[Exili=1)<10J=P氏20(2)-1=0.9544第六章统计量及其抽样分布.设总体X〜F(x),f(x)则其样本1x之，…,匕相互独立,同分布F(x),n为样本容量从而(x/x2,…,肉)Hf(x)=从而(x/x2,…,肉)i1n/（V〉…，%/=口/（叩73）…八。）i=l1例1设总体X〜N（|1,O2）,则/（x）=^^e_Qf）2/202从而其样本的联合密度函数为

J271O仆,…尸…2

202 /仆,…/=1.常见统计量常见统计量:设总体为常见统计量:设总体为X, 为其样本，ex=^dx=^2TOC\o"1-5"\h\z不含任何未知参数的样本（X，…,X）的函数称为统计量1 n— 1、、 — —O2（1）样本均值x二一乙x,Ex-,DX— ,这结论对任何总体都成立。n1 ni=l— O2 x—LX进一步的，若总体X〜N（n,O2）,则X〜N（n,一），从而。=——三〜N（o,l）n g7n(2)样本方差§2_ —X)2,S2=—Z(jv—x)n—1i 九n»i=l z=lF?—1ES2=02,ES2=02«n(3)若总体X〜N(N，O2),则有X与S2相互独立，且(H—1)52 1W—2X2= =———(X-X)〜％2(〃_1)TOC\o"1-5"\h\z02 02i=l=”1)*s/Jn（4）若总体x与总体丫相互独立，工,…,1与丫，…,y分别为其样本，x〜n（s）,丫〜1 n1 m 1 1叫汗）-x)2,52 -J),其中x= ,y=—^y,n—1 1 2m—1 ' n1mz\o"CurrentDocument"z=l i=lS21G2F=-i 1 F(n-1,m-1)S2V2\o"CurrentDocument"2 2进一步的，若"二笠，则有t(m+〃t(m+〃-2) 1 -2—cnrSii—+—w\nmm「 (n-l)52+(m-l)52其中「一一2 、3.关于X2J,b分布的密度曲线及分位数若12〜12(〃)，则&2=〃，52=2〃，尸(X2>X2(〃))=a从而尸(X2<X2(〃))=1—aa而F分布的密度曲线与上图相似。।分布若/〜/(〃)，则以=。TOC\o"1-5"\h\zt分布的密度曲线/(%)关于y轴对称，故有-%M=t(〃)a 1-a例2设总体x〜U(—1,1),工是容量n的样本均值，求成年,。口)221 1解：由总体X〜,知EX=0,DX |1=0,c2=- _02 1/3 1故Ex=pi=0,DX= = =—n n 3n例3设总体X〜N(n，O2),X,x,…,1为其样本，则石乙(x—x)2=5—1)02\o"CurrentDocument"12 n i证明：*** (X—X)2〜12(〃—1)(52i

i=l(x-x)]=⑺_1)02i(V _2)即EZ^(x-x)=(n-l)a2vi=l第七章参数估计.矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量TOC\o"1-5"\h\z设X为总体，EX=[1,OX=02,1/，…，4为其样本1 2 n则日的矩估计0二工02的矩估计<72=52= -X）2nn»i=l例1设总体x~N（|1,O2）,其中m02皆未知，X,X,…,X为其样本，求四,02的矩估计1 2 n解：因为石X=|Ll,故。=1DX=02,故百2=52

n例2设总体x〜。（o,e）,°>。未知，求°的矩估计0 0 _ 八_解：因为EX=5，故5=x（矩法方程），由此解得e=2%,即为e的矩估计例3设总体X〜5（1,尸），其中。<P<1,未知，…,x为其样本，求P的矩估计1 2 n解：由EX=P,故p的矩估计5=X.极大似然估计设总体x,具有概率密度函数/aS）,0eQ其中°为未知参数，其变化范围为G,为其样本，则似然函数为1 2 n若存在。使L（S）=max{£（9）,6gQ},则称S为。的极大似然估计一般求法：①由题设，求出入（e）=U/（x；。）的表达式ii=l②取对数：lnL（e）=Zln/（x；e）*ii=l③求导并令其等于。，建立似然方程白皿乙（9）=°*④解之即得0的极大似然估计幺1+1）X>1(0>1)例4设X,X,X是总体X的样本，总体概率密度为了（苍e）=〈 ' ，(0>1)12 10,其他求0的矩估计01和极大似然估计02解：(1解：(1)由EX=f+8x-0x-(0+1)dx=19-1-- XX=X解得0=一为0之矩估计1X-1(2)似然函数L(0)=FIf(x;0)=InI0x-(2)似然函数L(0)=FIf(x;0)=InI0x-(0+1)=0n|I1ii=1ii=1i=1—(0+DlnL(0)=nIn0