概率统计试卷A及答案

2010—2011—2概率统计试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)111.已知P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AC)=P(BC)= ,P(AB)=0求事件A,B,CTOC\o"1-5"\h\z4 16全不发生的概率 .1372(A)a(B)不(C)左(D)£3 8 15 5.设A、B、C为3个事件.运算关系AUBUC表示事件.(A)A、B、C至少有一个发生(B)A、B、C中不多于一个发生(C)A,B,C不多于两个发生 (D)A,月，C中至少有两个发生.设X的分布律为P{X=k}=2九k(k=1,2,…)，则九=.(A)入〉0的任意实数 (B)入=3(C)X=1(D)X=134.设X为一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x),则f(x)必满足.(A)0<f(x)<1 (B)单调不减(C)J+00f(x)dx=1(D)limf(x)=1-8 xf+8.对正态总体的数学期望〃进行假设检验，如果在显著性水平a下接受H:从=从，那么在显著性水平。下，下列结论正确的是.00(A)必接受H(B)可能接受也可能拒绝H00(C)必拒绝H0(D)不接受，也不拒绝H0.设随机变量X和Y服从相同的正态分布N(0,1)，以下结论成立的是.(A)对任意正整数k,有E(Xk)=E(Yk)(B)X+Y服从正态分布N(0,2)(C)随机变量(X,Y)服从二维正态分布

(D)E(XY)=E(X)•E(Y).若正态总体X的方差D(XX。2未知,检验期望E(X)fo用的统计量是一(a)(X-N飞n(n-1)(b) G-N)n£G-x)£G-x)2kk7、k=1 /Q-N，n-1) 0 £G-x)2kk=1(D)_c£(X-x)2kk=1 k7x-N 0 £G—x)2kk=1.设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布，G的区域由曲线j=x2与j=x所围，则(X,Y)的联合概率密度函数为,(x,J)eG I1/6,(x,j)eG其他(B)f(x,J)=[0,其他(x,J)eG I1/2,(x,j)eG其他(D)f(x,j)=[0,其他9.样本X,X，…，X1 2 n来自总体N(9.样本X,X，…，X1 2 n(A)S2=-1-£(X-X)2(B)S2=-L_£(X-X)2TOC\o"1-5"\h\z1n-2i 2n-1 ii=1 i=1(C)S2=1£(X-X)2(D)S2= £(X-X)23ni 4n+1 ii=1 i=110.设(C,6)是参数0的置信度为1-a的区间估计，则以下结论正确的是1 2(A)参数0落在区间(0),0)之内的概率为1-a12(B)参数0落在区间(0),0)之外的概率为a12(C)区间(0T,0)包含参数0的概率为1-a12(d)对不同的样本观测值，区间(0T,0)的长度相同.12二、填空题(每题3分，共30分)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".设P(A)=P(B)=1,P(AUB)=1,则P(A\B)= .3 2 1.设一批产品共10件，其中8件正品，2件次品，从中任意抽取3件，则恰有1件是次品的概率是 ..已知随机变量X在［-a,a］上服从均匀分布，且P{X>1}=1,则a=.3设随机变量X服从(0,3)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,9)的概率密度函数为.设X~N(3,4),Y~N(—5,6),且X与Y相互独立，则X—2Y~.设随机变量X的数学期望为E(X)=日、方差D(X)=。2,则由切比雪夫不.设随机变量X的分布律为X-2-1234Pk332531616161616E(2X+1)=..已知D(X)=25,D(Y)=36,p(X,Y)=0.4，则D(X-Y)=..设总体X服从参数为人的泊松分布，X,X,…，X为来自总体的一个样1 2 100本，则入矩估计量为..设总体X服从正态分布N(四，。2),X1,X2,X3是来自总体X的一个样本，则X1,X2,X3的联合概率密度为..设总体X服从正态分布N⑴，。2),其中02未知，现从总体中抽取一容量为n的样本，则总体均值目的置信度为1-a的置信区间为.三、设X,X,…，X是来自总体X的一个样本且X~N(0,0.52)求1 2 10TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P②X2>41(%2⑼-16,%2(10)«16,)i 0.05 0.10'i=1 '四、从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.(已知：①(2.33)=0.99,①(2.06)=0.98,t(9)=0.261,t(10)=0.26)0.8 0.8五、在肝癌诊断中,有一种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查出95%的真实患者,但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录,每10000人中有4人患有肝癌,试求：(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率.六、设总体X有分布律(—2 1 5］，其中0<a<0,25为待估参数，X1,X2,…,(3a1-4aa) 12X”为来自总体X的样本，求a的矩估计量.七、某工厂生产一种产品,每件标准重量为100kg,设机器生产的产品重量服从正态分布，且由长期经验知道。=0.9kg.且保持不变，某天开工后，为检查机器工作是否正常，随机抽取9件，称得其净重为(单位：kg)：，，，，，，，，，问该天机器工作是否正常？(a=0.05).(已知：u=1.65，u=1.96，t(8)=2.306，t(8)=1.86，0.05 0.025 0.025 0.05t(9)=2.262,t(9)=1.833)0.025 0.05答案：、题号12345678910答案BCCCAAAABC题号12345答案0.751753N(13,28)16/25题号67891088分答案15彳37卫/E答案15彳37卫/EX)i=1Jk](J2兀o)3f— S\X±t(n-1)S=[ " 7n)2 2 /4分EX2之4[=P\J-Eii=1三、P0%.1X2>±；=P{Y2>16}i 0.52I1查表得：X2(10)^16,0.10由此得所求概率得p{EX2>4卜0.10.J四、由已知，设X~N(n22)，且P{|X—川>4}=0.02，O2、X~N(日，)100.02=P0.02=P{|X—川〉4}=PX-旦o八河4otw4分|X_川|X_川/4a0 =^ o/<10=2—206分f4廊)

[.Jf4廊)

[.J0.99①(2.33)=0.99，4<10=2.33，o=5.43o8分五、令B="被检验者患有肝癌”，A="用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，P(AIB)=0.95,P(AIB)=0.10,P(B)=0.0004(1)P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)=0.0004x0.95+0.9996x0.1=0.10034P(BIA)=P(B)P(:B)7P(B)P(AIB)0.0004x0.95 =0.00380.0004x0.95+0.9996x0.111， %金六、E(X)=-2x3a+1x(1-4a)+5xa=1-5a=X …… ……1-X则a的矩估计量为a=—X 8分七、设产品重量为X,由已知X~N(四,0.92),提出假设：H:从=从=100;H:从。100 2分0 0 1检验统计量: 4分X-u检验统计量: 4分U=——~N(0,1)o/nn拒绝域：W={|U|>u}={U|>u }={|U|>1.96}a 0.025299.3+98.7+…+99.3+98.7+…+100.59氏100.66 6分100.66-1000.9/<90.66"03=2.2>1.96所以拒绝H0，即机器工作不正常要停机调整 8分江汉大学2011——2012学年第二学期

试卷评分参考(B卷)课程编号： 410801009课程名称:概率论与数理统计一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).若事件AB互不相容，已知P(A)=0.2，P(B)=0,4，则P(AUB)=・・・・P(AB)=。.甲、乙两门炮彼此独立地向一架飞机射击，设甲击中的概率为0.3,乙击中的概率为0.4,••则飞机被击中的概率为。.设E(X)=3,D(X)=5, D(Y)=4,且X,Y独立，则E[(X+2)2]=D(2XD(2X-Y+1)=。4.设随机变量X的分布函数为・・・・P{lX1<^}= 。6 0, %<0F(%)=<Asin],0<%V手,则U2TOC\o"1-5"\h\z5.设X,X,X是来自正态总体X~NQ,1)的样本，若口=aX+aX+aX是总体均值1 2 3 11 22 33N的无偏估计，则a(i=1,2,3)应满足条件；当a=时，口最有效。i i，0.4 2.0.58 3.30,24 4.1，1 5.，1— — ———— —_2_ 3二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)Ab,C表示3个事件，则ABC表示.某型号电子器件，其寿命(以h计)为一随机变量，概率密度为，某电子设备内配有3个这样的电子器件，则电子设备使用150h都不需要更换的概率为2%.0<%<A.连续型随机变量X的概率密度为f(%)=〈八 ，则常数A=〔0，其他.如果随机变量X〜N(O,1)，则Y=( )-N(N,O2).X,X，…X5〉1)是来自总体的样本,X,S为样本均值和样本标准差，则有1 2BDCAC三、计算题(本大题共7小题，每题10分，共70分)1.解：设事件A(i=1,2,3)分别为“物价指数由第i种商品构成”三个事件；B为事件“物价指i数上涨”.由已知P(A)=0.4，，P(A)=0,3，P(BIA)=0.6，P(BIA)=0.8， EMBED13 1 2Equation.3P(BIA)=0.5.3(1)由全概率公式得该物价指数上涨的概率为：P(B)=£P(BIA)P(A)=0,6x0.4+0,8x0.3+0.5x0,3=0.63 6分iii=1(2)由Bayes公式得当物价指数上涨时三种商品价格上涨的可能性分别为：P(AIB)P(B) 0.6x0.4 P(AIB)P(B)0.8x0.3P(AIB)= 1 = x0.38，P(AIB)= 2 = x0.38TOC\o"1-5"\h\z1 P(B) 0.63 2 7 P(B) 0.63P(AIB)P(B)0.5x0.3P(AIB)= 3 = x0.24，3 P(B) 0.63由上可知，如果该物价指数上涨，第三种商品价格上涨的可能性较小. 10分IA%2一—1<%<12.随机变量X的密度函数为：f(%)=] ,甘心 ，试求：(1)系数A；(2)X的X〔0,其他分布函数F(%);⑶求Y=3X+1的概率密度fY(y).解：(1)由密度函数性质：卜”解：(1)由密度函数性质：卜”f(%)d%=1=J1A%2d%=3AnA=2； 2分32(2)F(%)=P{XX<%}=J%-8I0, %<-1I0, %<-1f(t)dt=<J%212dt,-1<%<1=<1(%3+1),-1<%<1乙1-1 %〉1|1, %〉1—8 -1F(y)=P{Y<y}=P{3X+1<y}=P{X<甘」学f(%)d%TOC\o"1-5"\h\zY 3 -8Xf(、口、f/y-h1 /=(y-12),-2<y<4 八f(y)=F(y)=f(中)W=V18 . 10分YYX3 3|0, 其他

解：.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二位随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X和解：文~—一_,012pi.0241241344P」13关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，并求E(XY)。E(X)=0x1+1x宁二3，E(Y)=0x1+1x2+2x1=7，X,Y相互独立，故4 44 6 2 36TOC\o"1-5"\h\zE(XY)=E(X)E(Y)=3x7=/ 10分46 8.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X〜U(0,1)在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为f=J¥-1，>>0。(1)求X和Y的联合概率密度f(x,y)；(2)设关于a的二次方Y [0, y<0(①(1)=0.8413)程为a2+2Xa(①(1)=0.8413)解：(1)因为X〜U(0,1)，所以X的概率密度为f(y)=9心：<1；X 〔0,其他由于X和Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为：TOC\o"1-5"\h\z取、1e-y,0<:<1,y>0 /八f(：,y)=f(x)f(y)=<2 ，i 4分XY ［〔0, 其他(2)要使方程有实根，必须方程a2+2Xa+Y=0的判别式A=4X2-4Y>0；尸{4X2-4Y>0}=P{X2-Y>0}=J1dxf：21e-Idy=J1(1-e-寸)dx0 02 0=1-%五［J1士e-寸dx-J0士e-寸dx］=1-、西［①(1)-①(0)］=0.1445 10分_3-2n -8，2兀5.设供电网中有10000盏灯,夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7。假设各灯开、关时间彼此无关,利用中心极限定理计算同时开着的灯数在69005.设供电网中有10000盏灯,(；21a4.582,①(2.18)=0.9854)解：设X为同时开着的灯数，依题意X~B(n,p),n=10000,p=0.7,由中心极限定理有X-np X-10000x0.7 X-7000. '=. == ~N(0,1)(近似地服从)，所求概率为弋np(1-p) "0000x0,7x0,3 <2100P{6900<X<7100}P{6900<X<7100}=P{6900=2000<X^B<71002Z000<2100<2100*2100卜2中(2.18)-1a0.9708.10分6.设总体X的概率密度为f6.设总体X的概率密度为f(x;0)=0-2e-x-(0+1),x>20,其他,0w1未知，X,X，…X1 2n为来自该总体的一个样本。求未知参数0的矩估计和极大似然估计。解：(1)总体一阶矩：a=E(X)=J+81-820-20xf(x)dxa=E(X)=J+81-820-20xf(x)dx=J+0-20x