概率统计习题含答案

精品文档精品文档作业2(修改2008－10)掷一枚非均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，若以X表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数，求X的概率分布.解对于k=2,3,，前k-1次出现正面，第k次出现反面的概率是pk-1(1-p)，前k-1次出现反面，第k次出现正面的概率是(1-p)k-1p,因而X有概率分布P(X=k)=pk-1(1-p)+(1-p)k-1p,k=2,3,.一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第1个能正确回答的概率是5/8,第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)=15/56,前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)=5/56,前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)=1/56,前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)=0.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X，则X有分布X0123P5/815/565/561/56设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是P(X>4).用二项分布公式计算P(X>4)=1-P(X<4)=1-Zk040.04k(1-0.04)100-k=0.5705.用泊松近似律计算Ec4k3—e-4=0.5665.100 ' ' k=0k!PEc4k3—e-4=0.5665.100 ' ' k=0k!k=0

8.设X服从泊松分布，分布律为, ,Xk……P(X=k)= e-X,k=0,1,2,.k!问当k取何值时P｛X=k｝最大？解设a,=P(X=k)/P(X=k-1),k=1,2,，则kXk+1e-X/k! XXke-X/(k-1)!=k数列｛a｝是一个递减的数列.k<1时，P[X=k｝最大.若a1<<1时，P[X=k｝最大.若a>1，则当a,>1且a-1 k k+1由此得1)若X<1,则P(X=0)最大.2)若1>1,则UP｛X=k｝最大oX/k>1且入/(k+1)<1oX-1<k<X.由上面的1)和2)知，无论X<1或X>1,都有P｛XP｛X=k｝最大ok=入不是整数X-1或入入是整数12.设随机变量X的概率密度为p(%)=%I (%)12.设随机变量X的概率密度为p(%)=%I (%)+(2-%)I (%).求X的分布函数F(%),L0，1) [1，2]并作出p(%)与F(%)的图形.解 F(%)=J%p(v)dv=I-8(%)J%0-dv+1 (%)(-8,0) -8 [0,1)J00-dv+Jxvdv^-8 0+1 (%)[1,2)00-dv+J1vdv+J%(2一%)dv-8 -8 1+1 (%)1[2,+8)=I (%)J%vdv[0,1) 000-dv+J1vdv+J2(2-v)dv+J+80-dv-8+I[1,2))(%)j1vdv+J%(2-v)dv1[2,+8)GJ2 )(%)jYvdv+J2(2-v)dv，=(%2/2)I[0,1)(%)+(2%-%2/2-1)1[1,2)(%)+1[2,+8)(%).11.设随机变量X的概率密度为p(%)=c%I^13%).求常数c和X的分布函数,并求概率

[0,10]P(X+16/X<10).精品文档精品文档1818解1=J+sp(%)dx=J10cxdx=cx— =50c,c-1/50.-B 0 20F(x)= Jx p(v)dv=I (x)Jx-v-dv +1 (x) = x—I (x)+1 (x).)-B [0,10),050 [10,+B)) 100[0,10), [10,+B),P(X+16/X<10)=P(X2-10X+16<0)=P(2<X<8)J8p(J8p(x)dx=2J8三dx=2501002=3/5..设随机变量X的密度为ce-x2+x.求常数c.解1=J+Bce-x2+xdx=cJ+Be-(x-1/2)2+1/4dxx=t=1/2ce1/4J+Be-12dt=ce1/4玩.-B -B -B由上式得c=e-1/4兀-1/2..离散型随机向量(x,y)有如下的概率分布:X012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求边缘分布.又问随机变量X,y是否独立?解x有分布xk012P(X=xk)k0.40.30.3y有分布yk0123P(y=yjk0.10.20.30.4因为0=P(X=2,y=0)丰P(X=2)P(y=0)=0.3X0.1,所以x,y不独立.精品文档精品文档D={(%,y):-1<%<2,0<y<2}上的均匀分布,求条件概率P(X>11X<Y).1解P(X<Y)=(6--x2x2)/6=2/3,

^2P(X<Y,X>1)=(1x1x1)/6=1/12,

21P(X>11X<Y)=P(X<Y,X>1)1/122/322.随机向量(X,Y)有联合密度p(x,y)=^=xx2其中E={(x,y):0<x2+y2<R2}.求系数c和(X,Y)落在圆D={(x,y):x2+y2<r2}内的概率.解1+/+8 ff1= p(x,y)dxdy=-8-80<x2+y2<R2dxdyx=rcos0y==in0JRy2nd0/dr=2兀cR00因而c=.而

2兀RP{(X,Y)eD}=JJp(x,y)dxdy=Ddxdyx=rcos0y=r=1n0,JrV2nd0，r=r/R.2兀R 0 027.设X〜N(目,o2),分别找出k,，使得P(R-ko<X<R+ko)=a..其中i=1,2,3,a1=0.9,ai2=0.95,a3=0.99.a=P(r-ko<X<r+ko)=JR+ki° e-(x-R)2/(2o2)dxr-k尸o12兀x=ot+Rk1=i—=e-ki-j2n①(k,)=(a,+1)/2.-12/2dt=O(k)-①(-k,)=20(k,)-1.代入a的值查得a=1.64,a=1.96,a=2.58.i 1 2 3X-1解2设Z N(0,1)，则Z〜N(0,1).^2a=a=P(R—ko<X<R+ko)==P(R_kQ_RX-RR+k°-ry

^—―<^<——JTOC\o"1-5"\h\z=P(-k<Z<k)=①(k)-①(-k)=2①(k)-1.

i i i i i①(k)=(a+1)/2.ii代入a的值查得a=1.64,a=1.96,a=2.58.i 1 2 328.某商品的每包重量X〜N(200,o2).若要求P{195<X<205}>0.98,则需要把o控制在什么范围内..一一X—200 一.解设Z N(0,1)，则Z〜N(0,1).o(195-200 205-200、P{195<X<205}=P———<Z<———=0(5/o)-①(-5/o)=20(5/o)-1.Io oJP{195<X<205}>0,98o20(5/o)-1>0,98o5/o>0-1(0.99)=2.33oo<5/2.33=2.15.28.设X服从自由度为k的x2分布，即X有密度p(%)= xk/2-1e-x/21 (x).X 2k/2r(k/2) (0,+8)求y=XYkk的密度.解1当y<0时，Fy(y)=P(Y<y)=P(4X7k<y)=0,pY(y)=F；(y)=0.当y〉0时，F(y)=P(Y<y)=P«X7!<y)=P(X<ky2)=F(ky2),Y XpY(y)=FY(y)=2kypX(ky2)=2ky- /23/>(k2)k/2-1e-ky2/21(0,+8)(k2)()2(2(k/2>/2

r(k/2)yk-1e-ky2/2因而2(k/2>/2 -p(y)=——7 y~11e~1e~ky2/21 (y).y r(k/2) (0，+s)解2设V=(0,+8)，则P(XgV)=1.设y=f(x)=、；x/k,xgV，则f有反函数w=fT(y)=ky2,ygg,其中G={y=f(x):xgV}=(0,+8).因而Y有密度pv(y)=1U(y)1pY(叭y)i(y)Y XG1 c 2(k/2)k/2 c=2ky (ky2)k/2-1e-ky2/21 (ky2)=-7——v-ykte-ky2/22k/2r(k/2) (0，+8)、)7 r(k/2),29.由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布，即密度为4x2P(x)= =e-x/a21 (x).Xa3\Tt (0，+8)其中参数a>0.求分子的动能Y=mX2/2的密度.解1当y<0时，FY(y)=P(Y<y)=P(mX2/2<y)=0,pY(y)=F；(y)=0.当y>0时，F(y)=P(Y<y)=P(mX2/2<y)=P(X<<2y/m)=F(<2y/m),Y'，' X'、'1p1pY(y)=F(y)=褊pX(B)=1 8y/m 2―---=e-2y/(ma2)I

2mnya3工.7 (0，+8)(<2y/m)e-2y/(ma2)=—，_2y_e-2y/(ma2).因而(y).(y)=—'—e~y-2y/(ma2)i

a3\m3兀 (0(y).解2设V=(0，+8)，则P(XgV)=1.设y=f(x)=mx2/2,xgV,则f有反函数W=f-1(y)=%；2y/m,ygG,其中G={y=f(x):xgV}=(0，+8).因而Y有密度pv(y)=1。(y)1pY(叭y)i(y)Y XG

,.T~：—,.T~：—,=^=pX(\2y/m)=myXv2mya3-..尔e-2y/(ma2)I (J：2y/m)(0,+8)—'2y—e-2y/(ma2)I (y).a3\m3兀 (0,+8)30.设X服从［-1,2］上的均匀分布，Y=X2.求Y的分布.解x有密度Pxa)=3/“J%).Y有分布函数FY(y)=P(Y<y)=P(X2<y)=I[0,+8)(y)P(r屋X<\)=I[0,+8)(yJ-：pX(%)d=I[0,+8)(y)『yy3I[-i,2](%)d二I[0,i)(y)卜；3dy+I[i,4)(y)b1y3dy"巴+J=3$I[0,1)(y)+FI[1,4)(y)+I[4,+8)(y).31.质点随机地落在中心在原点,半径为R的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解设落点极坐标是(R,⑼，则0服从［0,2兀］上的均匀分布,有密度p(0)=—I (0).0 2兀［02%］设落点横坐标是X，则X=Rcos0,X的分布函数为F(%)=P(X<%)=P(Rcos0<%).X当%<-1时，FX(%)=0.当%>1时，FX(%)=1.当-1<%<1时FXFX(%)=P(Rcos0<%)=ParccosR<0<2兀%)-arccos—1( %)一兀一arccos一兀I R)因而落点的横坐标X有概率密度PXPX(%)=F'X(%)=I (%).(-1,1)34.设随机变量X服从在[0,1]上的均匀分布，求Y=-lnX的分布.解设V=(0,1)，贝UP(XeV)=1.设y=f(x)=-lnx,xeV，则f有反函数W=f-1(y)=e-y，yeG,其中G={y=f(x):xeV}=(0,+s).因而Y有密度PY(y)T8(y)1pX(ay))IG(y)=e-yI[0,1](e-y)/(0,仪)(y)=e-yI(0,仪)(y).36.设X和Y独立,密度分别为py(x)=/iq(x)和pv(y)=e-yl^、(y)，求Z=X+Y的X [0,1] Y (0,+^)密度.解 p7(Z)=1+8p(x)p(z-x)dxTOC\o"1-5"\h\zZ XYJ"-8J"-8J+s-8I (x)e-(z-x)I (z-x)dx[0,1]') (0,+8)' 'I (x)e-(z-x)I (x)dx[0,1] (-8,Z)=I(z)Jze-(z-x)dx+1 (z)J1e-(z-x)dx[0,1) 0 [1,+8) 0=I[0,1)(Z)(1-e-Z)+e-Z(DI[1,+8)(Z).37.设系统37.设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统4损坏时，系统L2开始工作)，如图7.1所示.4和L2的寿命为X和Y,分别有密度pX(x)=ae3I(0+8)(x)和pY(y)=Pe-PyI(0+8)(y)，其中a〉0,P>0且aw。.请就这三种联接方式分别写出系统L的寿命Z的密度.解X,Y独立,分别服从参数为a和P的指数分布，因此分别有分布函数Fy(x)=(1-e-ax)I (x)X (0,+8)和FY(y)=(1-e-Py)/(0,+8)(y).1）联接的方式为串联时，z=min{X.Y},F(z)=口min(X,Y)<z}=1-口min(X,Y)>z}3TOC\o"1-5"\h\z=1-P(X>z)P(Y>z)=1-[1-F(z)][1-F(z)]=(1-e3)z)I (z),X Y (0,+^)p(z)=FF(z)=(a+P)e-(a+P)叫 (z).Z Z (0,内)2)联接的方式为并联时，Z=max{X.Y},F(z)=P{max(X,Y)<z}=P(X<z)P(Y<z)=F(z)F(z)Z XY=(1-e)(1-e-bPr)I (z),(0,舟)p(z)=FF(z)=(ae-az+pe-pz-(a+p)e-(a+p)z)I (z).Z Z (0,舟)3)联接的方式为备用时，Z=X+Y,PZ(z)=j-PX(%)PY(z-%)dx=j+TOae-axI+s(%)-Pe-P(z-%)I (z-x)dx-8 -8 (, ) (， )=I (z)jzae-a%Pe-p(z-%)dx=ape-pzI (z)jze-(a-p)xdx.(0,+8) 0 (0,+8) 0因此，当"。时，pZ(z)=悬(e-1-e邛z40,+8)(z),当a=p