概率与数理统计典型例题

《概率与数理统计》第一章随机事件与概率典型例题一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解.设A,B,C为三个事件，且P(AB)=0.9,P(ABC)=0.97,则P(AB—C)=..设A,B为两个任意事件，证明：IP(AB)-P(A)P(B)l<1.4二、古典概型与几何概型的概率计算.袋中有〃个红球，b个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k次取到红球的概率.(—)a+b.从数字1,2,,9中可重复地任聪次，试求所取彻个数的乘积能被10整除的概率.(1-55+际-44)9n3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.(1959)1960.掷5颗骰子，求出现最大的点数为5的概率..(配对问题)某人写了5封信给不同的5个人，并在5个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率.k=0

.在线段AD上任取两点B,C，在B,C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25）.从（0,1）中任取两个数，试求这两个数之和小于1,且其积小于16的概率.13（13（-+—ln3）416三、事件独立性3.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是—，试求P（A）.16.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和3.（1）求甲取胜的概率;（2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（§£;p=14）四、条件概率与积事件概率的计算1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中28741644至少有一次取到正品.（28;7;4;16;竺）459545452.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1）五、全概率公式和贝叶斯公式概型1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.2690的概率.（-; ）514212.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有1个（，=0,1,2）二等品，则该设备的使用寿命服从参数为九=，•+1的指数分布，试求：（1）设备寿命超过1的概率；（2）若已知该设备寿命超过1，则安装在设备上的2个零件均是一等品的概率./89 2 1 89e-1 、（ e-1+—e—2+e-3； ）110 11 110 89e-i+20e-2+e-3六、伯努利试验1.甲袋中9个白球与1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地取一球交换放入另一袋中，这样做了3次，试求黑球仍在甲袋中的概率.（0.756）2.假设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了几台仪器（假设生产过程相互独立），求恰好有k台能出厂的概率.（Ck（0.94）k（0.06）n-k）n综合题1.某段时间［t,t+t］（t>0）内，证券交易所来了k个股民的概率为00让e-1,k=0,1,2,,入〉0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p，k!且各股民是否购买这种股票相互独立（1）求此段时间内，交易所共有厂个股民购买长虹股票的概率；（2）若已知这段时间内，交易所共有厂个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率.c ［入t（1—p）］m-r（（入tp）r、.—— e一九t（1-p）,mNr（、e-入tp;1 （m-r）! ）0, m<r.三架飞机（一架长机，两架僚机）一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地需要无线电导航，而只有长机有这种设备。到达目的地之前，必须经过敌方的高射炮阵地上空，这时任一飞机被击落的概率都是0.2，到达目的地之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3，求目标被炸毁的概率.（0.477）.设有三箱同型号产品，分别装有合格品20件、12件和15件；不合格品为5件、4件和5件，现任意打开一箱，并从箱内任取一件进行检验，由于检验误差，每件合格品被误验为不合格品的概率为0.04，每件不合格品被误验为合格品的概率为0.04，试求；（1）取到的一件产品经检验定为合格品的概率；（2）若已知取到的一件产品被检验定为合格品，则它确实是合格品的概率.2323 7 —X0.96(23x0.96+—x0.4;30 30 30 0.745第二章随机变量及其分布典型例题一、有关随机变量与分布的基本概念设F(x)为连续型随机变量的分布函数，而且F(0)=0，证明:r门)一G(xJF(X)-FIj'210,x<1是分布函数.二、求随机变量的分布律与分布函数0，x<-104 -1<x<1试求X的分布律.1.设随机变量X的分布函数为F(x)=to，।试求X的分布律.0.8, 1<x<31,x>3.同时掷两枚骰子，观察它们出现的点数，求两枚骰子出现的最大点数X的分布律.

.向直线上掷随机点，已知随机点落入H=(-8,0］,H=(0,1］,H=(1,+8)的概率1 23分别等于0.2、0.5、0.3，并且随机点在(0,1］上服从均匀分布，假定随机点落入区间(-8,0］得0分，落在区间(0,1］的X点得X分，落在区间(1,+8)内得1分，以0<X<-0<X<-21/X<12 <，试求X的分布函数.1<X<32其他2羽、r，，一，，，、一 1..设连续型随机变量X的密度为f(X)=<1,3-2x,0,三、已知事件发生的概率，求事件中的未知参数f3X2 0<X<2.设随机变量X,Y同分布，X的概率密度为f(x)=<8X,0X2，已知事件、0,其他A={X>a},B={Y>a}独立，且P(AB)=3，试求常数a..设离散型随机变量X的概率分布为P{X=n}=apn,(n=0,1,2,)，而且X取奇3数值的概率为3，试求常数a,p的值.四、利用常见分布求相关事件的概率(主要参看教材)假设某科统考的成绩X近似服从正态分布N(70,102)，已知第100名的成绩为60，问第20名的成绩为多少？五、求随机变量函数的分布一.一.，一、.一 11An ,、兀….已知随机变量X的分布律为：P{X=n}=—,(n=1,2,)，求Y=sm—X的12J 2分布律..设X的密度函数为f(x)=ffX>'试求Y=eX的概率密度f(y).XI0,X<1 Y

3.已知随机变量X的概率密度f(x),求随机变量丫=min{X,X2}的概率密度Xf(y).Y4.设随机变量4.设随机变量X的概率密度f(x)=\X—,—1<x<02-,0<x<2,令Y=X2,F(x,y)为二维40,其他随机变量(x,Y)的分布函数.(1)求Y的概率密度3)；(2)求f(-2，4).六、综合题1.设随机变量X的分布律为:X-1012pi1111462121 1 2以及矩阵A=1X2 2 ，试求A的秩r(A)的分布函数.—1—1X—12.一商场对某商品的销售情况作了统计，知顾客对该商品的需求X服从正态分布N(四,。2)，且日均销售量日为40件，销售机会在30件到50件之间的概率为0.5，若进货不足，每件利润损失为70元；若进货量过大，则因资金积压，每件损失100元，求日最优进货量.(37)第三章多维随机变量及其分布典型例题

一、联合分布、边缘分布与条件分布的计算1.将三个相同的球等可能地放入编号为1、2、3的三个盒子中，记落入第1号与第2号盒子中球的个数分别为XI.(1)求(XI)的联合分布律；(2)求X与y的边缘分布律；(3)问X与y是否独立？(4)求y关于X=1的条件分布律..设随机变量y,y,y相互独立，且均服从参数为p的0—1分布，令1231,-1,1,-1,y+y+y=123y+y+y中123k,(kk=1,2)(1)求(X,X)的联合分布律；(2)为p为何值时，E(XX)取最小值?1 2 12.设(X,y)服从D上的均匀分布，其中D为％轴、j轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域，试求：(1)(X,y)的联合密度函数；(2)(X,y)的联合分布函数.二、已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数(参见教材)三、利用已知分布求相关事件的概率.(X\.设二维随机变量(X,y)~N(0,0,1,1,0)，则P—<0=.Iy).设X与y是两个相互独立的随机变量，它们均匀分布在(0,b)内，试求方程12+Xt+y=0有实根的概率.四、随机变量函数的分布211.设随机变量x与y独立同分布，且X的概率分布为：p{x=1}=3,p{x=2}=3记U=max{X,y},V=min{X,y}.(1)求(U,V)的概率分布；(2)求(U,V)的协方差Cov(U,V).

2.设二维随机变量(X,2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=2—x—y,0<x<1,0<y<10,其他，(1)求尸{X>2Y}；(2)求Z=X+Y的概率密度f(z).Z五、随机变量的独立性的讨论(参见教材)第四章随机变量的数字特征典型例题一、期望和方差的计算(参见教材中的练习题).一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2和0.3,假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E(X)和方差D(X).2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立).二、随机变量函数的数学期望与方差(参见教材中的练习题)1.设随机变量X的概率密度为f(x)= ,-8<x<+8，求E[min(lX1,1)].兀(1+x2).在长为l的线段上任意取两点，求两点间距离的数学期望与方差.三、有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题，1 0< <2.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=k(x+y)， —x,y—，求、0,其他Cov(X,Y)与|3(X,Y)..设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)10<x<2,0<y<1}上服从均匀分布，记U=10,若，,V=|0,若，2,（1）求U和V的联合分布律；（2）求U[1,若 [1,若2和V的相关系数PXY.设随机变量X的密度函数为f（x）=1e山i,—8<x<+8,（1）求E（IX1）和2D（IXI）；（2）求X与|XI的协方差，问X与1XI是否不相关？（3）问X与1XI是否独立？为什么？.设Z=1X+1Y，其中X~N（1,32）,Y~N（0,42），且p=-1，（1）求Z的数学3 2 XY2期望及方差；（2）求X与Z的相关系数；（3）X与Z是否相互独立？为什么？四、有关数字特征的应用题.一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度函数为0,工厂规定，出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.（300xe-:）.一商店经销某种商品，每周进货的数量X（以公斤计）与顾客对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从[10,20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他地方调剂供应，这时每单位商品可获利500元，试计算此商店经销该商品每周所得利润的期2望值.（141663）.假设由自动生产线加工的某种零件的内径X（单位：毫米）服从正态分布N（内1），内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内|-1，x<10径X有如下关系：T=\20,10<X<12，问平均内径日取何值时，销售一个零-5,X>12125件的平均利润最大？(日=11--ln—六10.9)221第五章大数定律和中心极限定理典型例题一、有关切比雪夫不等式的命题.设随机变量X与y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式，尸{IX+y1>6}<.(--2).设随机变量X〜B(n,p)，试用切比雪夫不等式证明：尸{IX-npf}<4..设连续型随机变量X的r阶绝对长E(IXIr)存在(r>0)，证明：对任意£>0，有P{IXI>8}<E(IX|r).£r二、有关大数定律的命题1.设随机变量X,X,相互独立同服从参数为2的指数分布，则当nf8时，12y」XX2依概率收敛于 .(0.5)nnii=12.设随机变量X,X,,X,相互独立同分布，且E