2024-2025学年广东省深圳市九年级上学期数学月考试题及答案

试题PAGE1试题2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换(

)A.平移变换

B.对称变换

C.旋转变换

D.位似变换2.若ab=32，则A.13 B.23 C.353.下列各组线段中是成比例线段的是(

)A.1cm，2cm，3cm，4cm B.1cm，2cm，2cm，4cm

C.3cm，5cm，9cm，13cm D.1cm，2cm，2cm，3cm4.如图，已知AB//CD//EF，AD：AF=3：5，BC=6，CE的长为(

)A.2

B.4

C.3

D.55.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(

)

A. B. C. D.6.如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长DF为8m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为(

)A.2m

B.25m

C.4m

7.现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为l2cm，另一直角边AB长为24cm.现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(

)A.第4张

B.第5张

C.第6张

D.第7张8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是(

)A.6

B.245

C.5

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，点P为AB的黄金分割点(AP>PB).如果BP的长度为2cm，那么AP的长度为______cm.

10.如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的49，若AB=6，则△DEF移动的距离AD=______.

11.图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=______cm.12.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，且相似比为13，两个正方形在点O的同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形BEFG的边长为6.则点C的坐标为______.

13.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD=CD，E是边AC上的一点，AD与BE交于点F，若∠DAB+∠CDE=90∘，则BFEF

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题8分)

(1)用三种方法解方程：2x2−3=5x，

①因式分解法；②公式法；③配方法

15.(本小题8分)

已知a，b，c，d为四个不为0的数.

(1)如果ab=3，求a+bb与a−ba+b的值；

(2)如果16.(本小题8分)

如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是(0,0).

(1)以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′与△ABC相似比为2：1，且△A′B′C′在第二象限；

(2)在上面所画的图形中，若线段AC上有一点D，它的横坐标为k，点D在A′C′上的对应点D′的横坐标为−2−k，则k=______.17.(本小题8分)

如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.

(1)求证：△ABM∽△EFA；

(2)若AB=8，BM=6，求AE的长.18.(本小题8分)

如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ交AD于H点.

(1)当点P恰好为AB中点时，PQ=______mm.

(2)若矩形PNMQ的周长为220mm，求出PN的长度.19.(本小题8分)

为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.

(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为______m；

(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m.求旗杆高度；

(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上.

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面.

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m.将观测点D后移24m到D′处.采用同样方法，测得C′G′=1.2m，D′G′=2m.求雕塑高度(结果精确到1m).20.(本小题8分)

【问题呈现】

△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系.

(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：______.

(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用】

(3)当m=3,AB=47，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求答案和解析1.【答案】D

【解析】解：小孔成倒像的实验，物和像属于位似变换．

故选：D.

根据位似变换的定义判断即可．

本题考查几何变换的类型，平移变换，轴对称变换，旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是理解各种变换的定义．2.【答案】C

【解析】解：∵ab=32，

∴设a=3k，b=2k，

∴aa+b=3.【答案】B

【解析】解：∵1×4≠2×3，

∴选项A不成比例；

∵1×4=2×2，

∴选项B成比例；

∵3×13≠5×9，

∴选项C不成比例；

∵3×1≠2×2，

∴选项D不成比例

故选：B.

分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．

本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

根据平行线分线段成比例定理，由AB//CD//EF得到AD:AF=BC:BE，求出BE，然后利用CE=BE−BC，代入数值计算即可.

【解答】

解：∵AB//CD//EF，∴ADAF=BCBE，∵AD:AF=3:5，BC=6，

∴35=5.【答案】B

【解析】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为2，2，10，

A、因为三边分别为：2，5，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；

B、因为三边分别为：1，2，5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；

C、因为三边分别为：1，5，22，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；

D、因为三边分别为：2，5，13，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，

故选：B.

设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．6.【答案】A

【解析】解：根据题意得CE⊥CF，CD=4m，FD=8m；

∵CE⊥CF，

∴∠ECF=90∘，

∴∠ECD+∠DCF=90∘，

∵CD⊥EF，

∴∠CDE=∠CDF=90∘，

∴∠F+∠DCF=90∘，

∴∠ECD=∠CFD，

∴Rt△CDE∽Rt△FDC，

∴EDCD=CDFD，即CD2=ED⋅FD，

代入数据可得42=8ED，

解得：ED=2(m)；

即7.【答案】C

【解析】解：设这张正方形纸条是第n张．

∵EF//BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴EFBC=24−3n24=312，

解得：n=6.8.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，

∴∠B=∠DAB=90∘，AD=BC=8，

当点P与点B重合时，则x=AB=6，

当点P与点C重合时，则BP=BC=8，

∴x=AP=62+82=10，

当0≤x≤6时，点P在AB边上，则∠DAP=∠DAB=90∘，

∴AD⊥AP，

∴点D到PA的距离为y=8；

当6<x≤10时，点P在BC边上，设DE⊥AP于点E，

∵∠AED=∠B=90∘，∠DAE=∠APB=90∘−∠BAP，

∴△DAE∽△APB，

∴DEAB=ADPA，

∴y6=8x，

∴y=48x(6<x≤10)，

∵y随x的增大而减小，

∴当x=10时，y最小=4810=245，

∵245<8，

∴y的最小值是245，

故选：B.

当点P在AB边上，则∠DAP=∠DAB=90∘，AD⊥AP，此时点D到PA的距离为9.【答案】(【解析】解：∵点P为AB的黄金分割点(AP>PB)，BP=2cm，

∴BPAP=5−12，

∴AP=(10.【答案】2

【解析】解：如图，

由平移的性质得，AH//DF，AD=BE，

∴△EAH∽△EDF，

∴S△EAHS△EDF=(EAED)2，

∴(EAED)2=49，

∴EAED=23，

设EA=2x，则ED=3x，

∴AD=x，

∴BE=x，

∵AB=6，

∴2x+x=6，

∴x=2，

即AD=2，

∴△DEF移动的距离AD为2，

故答案为：11.【答案】154【解析】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，

∵CD//AB，

∴△CDO∽ABO′，即相似比为CDAB，

∴CDAB=OMO′N，

∵OM=15−7=8(cm)，O′N=12−7=5(cm)，

∴6AB=85，12.【答案】(3,2)

【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O位似中心的位似图形，相似比为13，EF=6，

∴BC//EF，AB=BC=2，

∴△OBC∽△OEF，

∴OBOE=BCEF，即OBOB+6=13，

解得，OB=3，

∴点C的坐标为(3,2)，

故答案为：(3,2).

根据位似图形的概念得到13.【答案】32【解析】解：如图，取AD的中点I，连接BI并延长，交AC于点J，

Rt△ABD中，BI=AI=DI，

∴∠IBA=∠IAB，∠IBD=∠IDB，

∵∠DAB+∠CDE=90∘，∠IBA+∠IBD=90∘，

∴∠IBD=∠CDE，

∴DE//BJ，

∴CDDB=CEEJ，AIDI=AJEJ，

∵BD=CD，AI=DI，

∴CE=EJ，AJ=EJ，

∴ED=2JI，BJ=2DE=4JI，

∴BI=BJ−JI=4JI−JI=3JI，

∴BIDE=3JI2JI=32，

∵BI//DE，

∴∠DEF=∠IBF，∠EDF=∠BIF，

∴△DEF∽△IBF，

∴BFEF=BIED=32.

故答案为：32.

取AD的中点I，连接BI并延长，交AC于点J，Rt△ABD中，BI=AI=DI，于是，14.【答案】解：(1)①∵2x2−3=5x，

∴2x2−5x−3=0，

因式分解得(2x+1)(x−3)=0，

∴2x+1=0或x−3=0，

解得x1=−12，x2=3；

②∵2x2−3=5x，

∴2x2−5x−3=0，

∵a=2，b=−5，c=−3，

∴Δ=b2−4ac

=25+24

=49>0，

∴x=−b±b2−4ac2a=5±494=5±74.

即x1=−12，x2=3；

③∵2x2−3=5x，

【解析】(1)分别用三种方法解方程即可；

(2)利用因式分解法求出解即可．

本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15.【答案】(1)解：∵ab=3，

∴a=3b，

∴a+bb=3b+bb=4，

∴a−ba+b=3b−b3b+b=12.

∴a+bb【解析】(1)先根据已知条件得到a=3b，再分别代入进行求解即可；

(2)设ab=cd=k，则a=kb16.【答案】2

【解析】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；

(2)由题意可得：−2k=−2−k，

解得：k=2

故答案为：2.

(1)直接利用位似图形的性质结合位似比得出对应点位置，进而得出答案；

(2)利用位似图形的性质以及对应点的坐标关系得出答案．

此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=90∘，AD//BC，

∴∠AMB=∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90∘，

∴∠B=∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

(2)解：∵四边形ABCD是正方形，AB=8，BM=6，

∴∠B=90∘，AD=AB=8，

∴AM=AB2+BM2=10，

∵F是AM的中点，

∴AF=12【解析】(1)由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90∘，AD//BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；

(2)由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的长．18.【答案】60

【解析】解：(1)∵P为AB中点，PQ//BC，

∴PQ为△ABC的中位线，

∴PQ=12BC=60mm.

故答案为：60；

(2)∵四边形PNMQ为矩形，

∴PQ//BC，

∵AD⊥BC，

∴PQ⊥AD，

∴PN=DH

∴AH=AD−DH=80−PN.

∴四边形PNMQ为矩形，

∴PQ=MN，DH=PN，

∵矩形PNMQ的周长为220mm，

∴PQ=110−PN，

∵PQ//BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴AHAD=PQBC，

∴80−PN80=110−PN120，

∴PN=20mm.

(1)根据三角形中位线定理，可得到PQ=1219.【答案】11.3

【解析】解：(1)∵影长EF恰好等于自己的身高DE，

∴△DEF是等腰直角三角形，

由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC=11.3m，

故答案为：11.3；

(2)如图：

由反射定律可知，∠DCE=∠ACB，

又∠DEC=90∘=∠ABC，

∴△DEC∽△ABC，

∴ABDE=BCCE，即AB1.5=162，

解得AB=12，

∴旗杆高度为12米；

(3)如图：

∵∠CDG=∠ADB，∠CGD=90∘=∠ABD，

∴△DCG∽△DAB，

∴CGAB=DGDB，

设AB=xm，BD=ym，则1.8x=1.5y，

∴y=56x，

同理可得C′G′AB=D′G′D′B，

∴1.2x=224+y，

∴1.2x=224+56x，

解得x=28.8；

经检验，x=28.8是原方程的解，

故AB≈29m，

∴雕塑高度AB约为29m.

(1)由影长EF恰好等于自己的身高DE，知△DEF是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角