等比数列的概念课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念第一课时Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation1ADDYOURTITLEHERE情景导入

类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察下列几个问

题中的数列，它们有什么规律？1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录的数列:

2.《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是

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类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察下列几个问

题中的数列，它们有什么规律？3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是

2,4,8,16,32,64,…⑤4.某人存入银行a元，存期为５年，年利率为r，那么按照复利，他５年内每年末得到的本利和分别是a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ADDYOURTITLEHERE情景导入思考1：观察上述数列中的项，每一项与它前一项之间有什么关系？

每一项与它的前一项的比都等于

常数.第2项起，同一个

2,4,8,16,32,64,…⑤a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点一

等比数列的定义

一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q≠0)表示.

递推公式:(q为常数，且q≠0)(q为常数，且q≠0，n≥2)或

ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习一

(1)1，3，9，27，…

(3)5，5，5，5，…(2)1，-1，1，-1，…(5)1，0，1，0，…

判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出

首项a1和公比q,如果不是，说明理由．a1=1,q=3a1=5,q=1a1=1,q=-1(4)0，0，0，0，…(6)1,a,a2,a3,…(7)x0,x,x2,x3,…a1=x0,q=x1、等比数列中，每一项都不能为0；2、对于常数列a,a,a,a,...若a=0，则为等差数列若a≠0，则既为等差又为等比数列.ADDYOURTITLEHERE方法小结(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0；(1)等比数列｛an｝中,an≠0；(3)若q＝1，则该数列为非零常数列．

(4)常数列a,a,a,a,

…时,既是等差数列，又是等比数列;时,只是等差数列，而不是等比数列.ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点二

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.（ab>0)（ab>0)注意：

若a，b异号则无等比中项;

若a，b同号则有两个等比中项.ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习二（1）2，x，8成等比数列，则x=_______;（2）2,x,8,-16成等比数列，则x=______.ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点三

等比数列的通项公式方法1：不完全归纳法等差数列……由此归纳等差数列的通项公式可得：……由此归纳等比数列的通项公式可得：等比数列类比ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点三

等比数列的通项公式方法2：累乘法类比……+）等差数列累加法……共n–1个×）等比数列ADDYOURTITLEHERE知识讲解思考2：如何方法2（累乘法）对其加以严格的证明呢？证明：将等式左右两边分别相乘可得：此式对n=1也成立∵，…，…………ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点三

等比数列的通项公式等比数列，首项为,公比为q,则通项公式为注意：a1≠0,q≠0ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点三

等差数列的通项公式

∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d(n≥2)上述各式两边同时相加，得an-a1=(n-1)d方法2：∵由等差数列的定义可得累加法又∵当n=1时，上式也成立∴an=a1+(n-1)dan+1-an=d∴an=a1+(n-1)dADDYOURTITLEHERE巩固练习练习三已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.(1)若等比数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则其通项公式是：＿＿＿＿＿＿ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习四（课本P31练习T2)2.已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.

a1a3a5a7q2820.2500.080.0032ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例1

解得ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习五（课本P31练习T3)３.在等比数列{an}中，a１a３＝３６，a２＋a４＝６０．求a１和公比q．ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例2

an=a1qn-1

①解：由题意，得am=a1qm-1

②①的两边分别除以②的两边，得ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习六在等比数列{an}中，a2＝5，a４＝10，求公比q．ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例3数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为80,80+d,80+2d.于是得,所以这个数列是20，40，80，96，112，

或180，120，80，16，-48.ADDYOURTITLEHERE方法小结ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习七

解：设三个正数为：得：（a＞0,q≠0)ADDYOURTITLEHERE课堂小结等比数列名称等差数列定义

常数通项公式1中项公式2an=am+(n-m)d从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数公差(d)d可正、可负、可零从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数公比(q)q可正、可负、不可零an=amqn-m第二课时Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation2ADDYOURTITLEHERE新知探究知识点一等比数列通项公式与函数的关系o12345612345678等比数列的通项公式：ADDYOURTITLEHERE知识讲解等比数列{an}的三种判定、证明方法：ADDYOURTITLEHERE新知探究课本P31练习T22.已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.

a1a3a5a7q2820.2500.080.0032由a1·a7=a3·a5，猜想若p+q=s+t,则apaq=asat由a1·a7=a3·a5，猜想若p+q=s+t,则apaq=asatADDYOURTITLEHERE知识讲解等比数列{an}中，若p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,则apaq=asat=

ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习一

2.在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(

)A．10 B．25C．50 D．75

√√×××ADDYOURTITLEHERE知识讲解知识点二等比数列项的对称性ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例4

用１0000元购买某个理财产品一年．

（１）若以月利率0.400％的复利计息，12个月能获得多少利息

（精确到0.01元）？

（２）若以季度复利计息，存４个季度，则当每季度利率为多少

时，按季结算的利息不少于（１）中按月结算的利息（精

确到10-5）？ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习二（课本P34练习T3)３.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，２０１７年全年生产新能源汽车５０００辆．如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的１５０％，那么２０２５年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到１）？ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例5

ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例5

已知数列{an}的首项为a1=3(1){an}为等差数列,公差d=2,证明数列{}为等比数列(2){an}为等比数列,公比q=,证明数列{}为等差数列解：(2)∵a1=3，q=设cn=则cn=∴cn+1－cn=[3－2(n+1)]－(3－2n)=－2又c1=1故数列{}是以首项为1，公差为－2的等差数列ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习三（课本P34练习T2)

ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％．从今年１月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.１月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高５％，产品合格率比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习四（课本P34练习T4)4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争２年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）？ADDYOURTITLEHERE新知探究思考1：

已知等比数列{an}首项a1,公比q，取出数列中的所有奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？取出a1,a12,a23,a34……呢？ADDYOURTITLE