等差数列的前n项和公式 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和第一课时Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation1ADDYOURTITLEHERE复习导入一、

等差数列定义二、等差数列通项公式：(2)

an＝am＋(n－m)d

.(3)an＝pn＋q

(p、q是常数)(1)

an＝a1＋(n－1)d

an－an－1

＝d

(n≥2)或

an+1－an＝d.三、几种计算公差d的方法:四、等差中项a,A,b组成等差数列m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.五、等差数列的性质ADDYOURTITLEHERE新知探究德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？高斯的算法是：首项与末项的和：第2项与倒数第2项的和:第3项与倒数第3项的和:第50项与倒数第50项的和:…

1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101ADDYOURTITLEHERE新知探究思考1：如何求1＋2＋3＋…＋100+101的值？123101101100991算法过程：由①+②，得ADDYOURTITLEHERE新知探究

因为数列{an}是等差数列，所以a1+

an=

a2+

an-1=

a3+

an-2=···，

倒序相加法ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点一

等差数列的前n项和两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一.

ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例6

解得

整理,得

n=12或n=-5（舍去）ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习一

（课本P22练习T1)（1）51095（2）100-250（3）-210-130（4）在等差数列中，根据已知的三个数，求未知的两个数.1050025502-4-2210-19知三求二ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习二

（课本P22练习T2)２．等差数列－１，－３，－５，...的前多少项的和是－１００？ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例7己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?

解：由题意知所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.方程思想ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例7己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?

己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.求数列{an}前30项的和.

变式1：由例7可得：法一：ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点二

证

明：即等差数列依次m项之和仍为等差数列.设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和，则Sm,S2m-Sm，S3m-S2m仍构成等差数列，且公差为m2d.ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例7己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?

己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.求数列{an}前30项的和.变式1：由等差数列的性质，可得：法二：成等差数列.

解得：前30项的和为2730.ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习三（课本P23练习T3)3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，则S4=6,S8=20，求S16.法二：法一：ADDYOURTITLEHERE新知探究

将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点三

设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和，则{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn.3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，则S4=6,S8=20，求S16.法三：ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点四

3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，则S4=6,S8=20，求S16.法四：ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习二

（课本P15练习T2、5)下列说法是否正确？并说明理由．数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.ADDYOURTITLEHERE课堂小结一、等差数列的前n项和

ADDYOURTITLEHERE课堂小结二、等差数列的性质设等差数列{an}的公差为d，Sn为前n项和，则(2){an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn.

(1)Sm,S2m-Sm，S3m-S2m仍构成等差数列，且公差为m2d.第二课时Theusercandemonstrateonaprojectororcomputer,orprintthepresentation2ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例

等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________；ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点一

ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习一

（课本P23练习T5)５．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为２９０，所有偶数项的和为２６１．求此数列中间一项的值以及项数.ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例

ADDYOURTITLEHERE例题讲解

ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习二

ADDYOURTITLEHERE例题讲解将第１排到第２０排的座位数依次排成一列，构成数{an}

例8某校新建一个报告厅，要求容纳８００个座位，报告厅共有２０排座位，从第２排起每排都比前一排多２个座位．问第１排应安排多少个座位．【思路分析】利用等差数列的前n项和公式求首项{an}是等差数列，公差及前２０项的和已知设数列{an}的前n项和为SnADDYOURTITLEHERE巩固练习练习三（课本P24上面练习T1)

1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择价值２０００元的奖品；第二种，从１２月２０日到第二年的１月１日，每天到该商场领取奖品，第１天领取的奖品价值为１００元，第２天为１１０元，以后逐天增加１０元．你认为哪种领奖方式获奖者领取的奖品价值更高？ADDYOURTITLEHERE新知探究当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数思考1：既然等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，

那么它的最值怎么求？用二次函数的最值求Sn的最值，但要注意ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例9已知等差数列{an}中,a1=10，公差d=-2,求当n取何值时,Sn最大？最大值为多少？法一:

a1=10，d=-2所以当n=5或6时,Sn最大，最大值为30.ADDYOURTITLEHERE例题讲解

例9已知等差数列{an}中,a1=10，公差d=-2,求当n取何值时,Sn最大？最大值为多少？法二:∴an=10+(n-1)×(-2)=－2n+12由公差d=-2<0,{an}为递减数列.所以当n=5或6时,Sn最大，最大值为ADDYOURTITLEHERE知识讲解

知识点二

求等差数列的前n项和Sn的最值则Sn最大.则Sn最小.2.利用等差数列的单调性及an的符号变化求解：1.将Sn配方，求二次函数的最值，注意

注意：当数列中有数值为0的项时，n应有两解.ADDYOURTITLEHERE巩固练习练习四（课本P24练习T3)

3.已知等差数列－４.２，－３.７，－３.２，...的前n项和为Sn，Sn是否存在最大

（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.