概率论与数理统计习题

概率论与数理统计习题第一章概率论的基本概念一、填空题:1.设则,,。2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为。3.设A，B，C为三事件且P(A)=P(B)=P(C)=14,P(AB)=P4.一批产品共有10个正品和2个次品,不放回的抽取两次,则第二次取到次品的概率为.5.设A，B为两事件,当A，B不相容时,当A，B相互独立时,。二.、选择题1.1．设A，B为两随机事件，且则下列式子正确的是（）。（A） （B）（C） （D）2.每次试验成功的概率为p(0<p<1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为()。（A） （B）（C） （D）3.设A,B为两事件,则P(A-B)等于()。(A)(B)（C）(D)4.关于独立性,下列说法错误的是()。(A)若则其中任意多个事件仍然相互独立;（B）若则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立（C）若A与B相互独立,B与C相互独立,A与C相互独立,则A,B,C相互独立;（D）若A,B,C相互独立,则与C相互独立5.n张奖券中含有m张有奖的,k个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是()。(A)(B)（C）(D)三、解答题1．写出下列随机式验的样本空间及事件A包含的样本点（1）掷一颗骰子，设事件A={出现奇数点}；（2）一袋中有5只球，分别编号为1，2，3，4，5，从中任取3球。A={取出了3只球的最小号码为2}。2．设A，B，C为三个随机事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中到少有一个发生； （4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C中不多于一个发生。3．已知P(A)=（1）A与B互不相容； （2）A⊂B； （3）A与4．一批产品共40个，其中5个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率。A={取出的4个产品中恰有1个次品};B={取出的4个产品中至少有1个次品}5．已知在10件产品中有2只次品，在其中两次，每次取一只，作不放回抽样求下列事件的概率（1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。6．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1求：（1）三人中至少有一人能将此密码译出的概率；（2）三人全部将此密码译出的概率。7．已知男性中有5%是色盲，女性中有0.25%是色盲，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲，问此人是男性的概率是多？8．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该产品是工厂A生产的概率。

第二章随机变量及其分布一、填空题:1．一袋中装有5只球，编号分别为1，2，3，4，5在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，则随机变量X的分布律为.2.设随机变量X的分布律为则常数c=3.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布，则方程有实根的概率是.4.设连续型随机变量X的分布函数为f(x)=P−1<5.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为.二、选择题1.常数b=()时,为离散型随机变量的概率分布.(A)2;(B)1;(C);(D)32.若要可以成为随机变量X的概率密度,则X的可能取值区间为()(A)[](B)[](C)[](D)[]3.设随机变量X与Y均服从正态分布,记,,则()(A)对任何实数,都有(B)对任何实数,都有(C)只对的个别值,才有(D)对任何实数,都有4.如下四个函数,哪个是分布函数()(A)(B)(C)(D)三、解答题1．一批零件有9个合格品,3个废品，安装机器时,从这批零件中任取一个,若果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布律.2．设离散型随机变量的分布函数为F(x)=3．设随机变量X的分布律为X-2-1013求：（1）X2的分布律 （2）P−1<X4．设连续型随机变量X的概率密度为f(求：（1）常数A （2） （3）X的分布函数。5．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为fX=15e−x5,x>6．由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数M=10.7．设随机变量X在(−π2,第三章多给随机变量及其分布一、填空题：1．若（X，Y）的分布律（下表）已知，则a,b应满足的条件是________________，若X与Y独立，则a=______________，b=_____________________，F(2,1)=_______________。XY123111121ab2．设（X，Y）在以原点为中心，r为半径的圆盘上服从均匀分布，即f(x,y)3．用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表述以下概率：(①Pa②Pa③PX≥4．F(x,y)=(15．设随机变量X与Y的相互独立，且X~N(2,32二、选择题：1．设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：f(x,(A)0.5 (B)0.3 (C)78 (D)2．设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为下表（1），（2），则下列式子正确的是（）。(A)X=Y(B)PX=Y=1(C)P3.下列四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数（）。（A）F(（B）F2（C）F2（D）F44．设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(Z),（A）FZ（B）FZ（C）FZ(（D）FZ5．随机变量X与Y相互独立，且X~N(0,1)（A）PX+Y≤1=（C）PX−Y≤0三、计算题：1．在一箱了中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样：（2）不放回抽样。定义随机变量如下：X=0试分别就(1)(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律和边缘分布律。2．甲乙两人独立地进行两次射击，设甲乙的命中率分别为0.2，0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和Y的联合概率分布律和边缘分布律。3.设X和Y是两个相互独立随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)5e−5y,y4.设（X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)=ke−(5．设(X,Y)，的联合概率密度为f(x,y)=x+y,06．离散型随机变量（X,Y）的分布律如下图：求Y=0时，X的条件概率分布。012-10.10.30.1500.20.050200.10.17．设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160,20z)分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率。（Φ(1)=0.8413）8．已知X与Y的分布律为：（下表所求），且X和Y相互独立，求X+Y的分布律。X12p0.50.5Y12p0.50.59．设平面区域D由曲线y=1x及直线y=0,x=1,x=e10．已知随机变量X和Y的联合概率密度为f(x,y)=4xy,0第四章随机变量的数学特征一、填空：1．设X~π(λ)，且P2．设随机变量X的概率密度为：f(x)3．若X~b(3,0.4)，则Y=1-2X所服从的分布中E(X)=_________________,D(X)=_________________。4．若X与Y相互独立，E(X)=0,E(Y)=1,D(X)=1,则E[X(X+Y-2)]=___________________。5．设X1,X2,⋯Xn是一组两两独立的随机变量，且Xi~二、选择题1．设X和Y为两个随机变量，已知E(XY)=E(X)E(Y)，则必有（）。（A）D(XY)=D（C）X与Y相互独立 （D）X与Y相关2．若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y)，则下列式子正确的是（）（A）D(Y)=0 （B）D(X)D(Y)=0（C）X与不相关 （D）X与Y相互独立3．若(X,Y成立：（A）pij=pi.（C）D(XY)=D(X)D(Y) （D）X与Y相关4．X与Y相互独立，且D(X)=6,D(Y)=3，则Z=2X-3Y的D(Z)为（）（A）51（B）21 （C）–3 （D）365．（X，Y）的联合概率密度函数为f(x,y)=2−（A）-1 （B）111 （C）−511 （三、计算：1．掷一骱子，X为其出现的点数，求X的E(X),D(X)。2．已知（X,Y）的联合分布律：（1）判定X与Y是否独立；（2）求X与Y相关系数ρXY，并判定X与YXY-101-11/81/81/801/801/811/81/81/83．设X~U[0,π],（2）Y=sinX的数学期望；（3）若E4．设长方形的高（以m计）X~U(0,2)，已知长方形的周长（以m5．设(X,Y6.已知X~N(1,32),Y~N(0,42),ρXY=−7．设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量Y=1,x>8．设X的概率密度为：f(1)求E(X).D(X)；（2）求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关；（3）X与|X|是否相互独立？为什么？（1993年数学一）

第五、六章大数定理及中心极限定理和抽样分布一、选择题（以下各题选项中只有一个正确）1、设Y1,Y2⋯Yn（A）对任何实数ε>0（B）对任何实数ε lim（C）对任何实数ε>0（D）对先分小的ε lim2．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立。且服从同一分布，数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg。那么5000只零件的总重量超过2510kg的概率是 （）（A）0.0787 (B)0.0778 (C)0.0797 (D)0.07983．设X1,X2⋯（A）1ni=1n（C）1n−1i=4．关于t分布的分位点的正确结论是 ()(A)t−α((C)t1−α5．设总体X的均值是μ，方差是σ2，X1,X（A）E(X（B）E(X−（C）E(X（B）E(X二、填空：1．X1,X2,⋯Xn2．均值为u，方差是σ2>0的独立同分布随机变量X1,X2,⋯3．若χ12~χ2(n1)4．设X1,X2,⋯Xn三、解答下列各题1．据以往经验，某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率，（注：Φ(2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从中随机取出100根，问其中至少有这30根短于3m的概率。(3．一复杂系统由n个相互独立作用的部件组成。每个部件的可靠性为0.9且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作。问n至少为多在才能使系统的可靠性不低于0.95？4．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ，方差δ2=400。为了估计μ，随机地取n只这种器件，在时刻大于t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失散，测得其寿命为X1,X2,⋯X5．设X1,X26.已知X~t(n)求证X7．设总体X~b(（1）求i=1nXi的分布律(3)求E8.设在总体N(μ,（1）求PS2σ2第七章参数估计一、选择题（以下各题选项中只有一个正确）1．设总体X的均值u及方差σ2都存在。且有σ2>0，但u,σ2均未知。（A）x（B）x（C）x（D）x2．x~b(1,（A）x （B）s2 （C）nx （D3．下列命题中不正确的是（）（A）样本均值x是总体均值u的无偏估计（B）样本方差s2=1（C）估计量1ni=（D）k阶样本矩Ak=1ni4．设已给X1,X2,⋯Xn是总体（A）(x±σnz（C）(x±σ2n5．X1,X2,⋯Xn是总体x的一个样本。E（A）1n （B）1n−1 （C）12二、填空题：1、在X~π(λ)2．X1,X2,⋯Xn为总体N(u,σ3．连续型随机变量X的密度函数f(x)=θc4．X1,X2,⋯Xn是总体X的一个样本，三解答下列各题1．随机地8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）74.001 74.005. 74.003 74.001. 74.000 73.998 74.006 74.002试求总体的值μ及方差σ2的短估计值，并计算样本方差2．设x1,x2,⋯x3．已知总体X的分布律PX=x=mxP4．设X1,X2,⋯,X5．设某种电子器件的寿命（以小时计）T服从双参数的指数分布，其概率密度为f(自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验。设它们的失效时间依次是x（1）求θ与C的最大似然估计（2）求θ与C的矩估计6．设X1,X2,⋯,7．设X1,X2（1）确定C，使ci=1（2）确定C，使(X)28．设x1,x2,T1=16(x1（2）在（1）中无偏估计量中说明有效性9．设从均值μ，为差σ2>0的总体中，分别抽取容量为n1,n2的两独立样本X1,10．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,6.1,5.0;设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ2（1）若σ=0.6(2)若第八章假设检验选择题：1、确定检验法则时，当样本密量固定，α为犯第I类错误的概率。β为犯第II类错误的概率。则下列关系正确的是___________。(A)减小α时，β往往减小； （B）减小α时，β往增大；（C）增大α时，β往往增大； （D）无法确定。2、假设检验中，Ho为原假设，则________犯第I（A）Ho为真，拒绝Ho； （B）Ho（C）Ho为真，接受Ho； （D）Ho3、设总体Z~N(u,σ2)，Z为实量为n的样本均值，零假设Ho，u=u0（A）|Z−u0|（C）|Z−u0|4、对显著性检验来说，犯第I类错误的概率为p,则p______________A；p=1−C、p≤α D填空题：1、只对_______加以控制而不考虑________的检验，为显著性检验。2、假设检验包括双边检验和单边检验。单边检验包括___________________。3、在t检验中T=Z−u0H1:u≠u0H1:u4、设X1,X2,⋯Xn为来自总体X的样本，Z和H1:u1≠0时，构选统计量三、计算题1．由经验知某味精厂袋装味精的重量X~N(u,14.7,15.1,14.8,15,15.3,14.9,15.2,14.6已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15(2．已知某炼铁厂铁水含C量X~N(4.550,0.10823．在某砖厂生产的批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为32.66,30.06,31.64,30.22,31.87,31.05(kgcm2)4．某厂生产的钢筋断裂强度X~N(μ,σ2)，σ=35(kg5．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命为1070小时，样本方差S2=1096．正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为：54，68，65，77，70，64，69，72，62，71（次/分），设患者的脉搏次数X~N(7．过去某工厂向A公司订购原材料。自订货日开始至交货日止，平均为49.1日。现改为向B公司订购材料，随机抽取向B公司的8次货，交货无数为：46，38，40，39，52，35，48，44．问B公司交货日期是否较A公司为短？（α=8．且元自动包装机包装葡萄糖，规定标准每袋净重500g，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布，根据长期资料表明，标准差为15g，现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497，506，518，511，524，510，488，515，512。问包装机工作是否正常：（α=（1）标准差有无变化？（2）平均重量是否符合规定标准？9．某种罐头在正常情况下，按规格平均净重379g，标准差为11g，现抽查十盒，测得如下数据。（g）。370.74,372.80,386.43,398.14,369.21,381.67,367.90,371.93,386.22,393.08。试根据抽样结果，说明平均净重和标准差是否符合规格要求（提示：检验Ho:参考答案第一章概率论的基本概念填空题1.0.1;0.5;0.9;2.0.85;3.;4.;6.0.3;0.5;二.选择题1.A2.B3.C2.B3.C4.C5.A三.解答题1.(1)S={1,2,3,4,5,6}A={1,3,5}(2)S={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4)(2,3,5)(2,4,5),(3,4,5)}A={(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5)2.(1)(2)(3)(4)(5)(6)或3.(1)(2)(3)4.P(A)=0.3581;P(B)=0.42715.(1);(2);(3);(4)6.(1);(2);7.;