2025年高考数学一轮复习讲义：三角函数的图象与性质（原卷版）

专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................5

【考点1】三角函数的定义域和值域............................................5

【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性..................................7

【考点3】三角函数的单调性..................................................8

【分层检测】...............................................................10

【基础篇】.................................................................10

【能力篇】.................................................................12

【培优篇】.................................................................13

考试要求：

1.能画出三角函数的图象.

2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.

3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.

■知识梳理

L用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）正弦函数尸sinx,xG［O,2同的图象中,五个关键点是:（0,0）,1,1）,（71,0）,停,

（2兀，0）.

⑵余弦函数尸cosx,日0,2兀］的图象中，五个关键点是：（0,1）,住o）,（口，一1）,修，0）,

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中左WZ）

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象/I\1T2P

.ljr

定义域RR且杼女兀+弓

值域LI，11Ll，11R

最小正周期2兀2兀71

奇偶性奇函数偶函数奇函数

（左兀一与左兀+习

递增区间2kn—^,2E+J「2左兀一兀，2-兀］

।兀-T।3兀

递减区间2E+],2^71+~「2左兀,2%兀+兀］无

,+$0)住，。

对称中心（女兀，0）)

对称轴方程x=kn~\~x=kjt无

|常用结论

1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中

心与对称轴之间的距离是9个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.三角函数中奇函数一般可化为j=Asincox或y=Atan①x的形式，偶函数一般可化为y=Acos

（ox-\-b的形式.

3.对于尸tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间［兀苫，内为增

2

函数.

.真题自测

一、单选题

71

1.（2023・全国•高考真题）函数y=/（九）的图象由函数y=cos（2x+Ej的图象向左平移器个单位长度得到,

6

则y=/（x）的图象与直线y的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

712兀

2.（2023•全国•高考真题）已知函数/（x）=sin（@;+0），3>O）在区间单调递增，直线尤=9和X=§

6'T63

5兀

为函数V=/（x）的图像的两条相邻对称轴，则/（）

12

A.4

B.CD.—

2-I2

3.(2022・全国•iWj考真题)设函数在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值

范围是（）

5135191381319

A.B.C.D.

37~639~6~6,3~6,~6

71■JT

4.（2022,全国考真题）函数y=（3"—3r）cosx在区间-的图象大致为（）

2

5.（2022•全国•高考真题）记函数f（x）=sin<T<%,且y=f(x)

71

的图象关于点中心对称，则/()

3

35r

A.1B.—C.-D.3

22

二、多选题

6.（2022•全国•高考真题）已知函数/0）=5皿2》+切（0＜夕＜无）的图像关于点（^,0）中心对称，则（）

A.在区间单调递减

B./（x）在区间（—五石"］有两个极值点

7兀

c.直线X=：是曲线丁=/（尤）的对称轴

O

D.直线y=走-x是曲线＞=/（元）的切线

-2

三、填空题

7.（2023•全国•高考真题）已知函数/■（x）=cosw-l（O＞0）在区间［0,2兀］有且仅有3个零点，则。的取值范

围是•

8.（2023・全国•高考真题）已知函数〃x）=sin（0x+。），如图A,B是直线y=J与曲线y=/（%）的两个交

点，若|AB|=g贝仃（兀）=____.

6

9.（2022,全国•高考真题）记函数f（x）=cos（cox+^＞）（a＞＞0,0＜。＜兀）的最小正周期为T,若/'（T）=,x=—

为于（X）的零点，则a的最小值为.

10.（2021•全国•高考真题）已知函数/（x）=2cos（0x+0）的部分图像如图所示，则满足条件

（/（X）—/［一—的最小正整数x为.

4

.考点突破

【考点1】三角函数的定义域和值域

一、单选题

1.（23-24高一上•河北邢台•阶段练习）函数/（尤）=sinx+g的单调递增区间为（）

_.7t_.7C_,5兀_.JC

A.2人兀--,2kliH—(左eZ)B.2kli------,2左兀H—(keZ)

_36__66_

C.2防i,2kH+—(jteZ)D.2^71+—,2^71+—(左eZ)

_6366

2.（23-24高一上•北京朝阳,期末）函数/（x）=|sinx|+cosx是（）

A.奇函数，且最小值为-0B.奇函数，且最大值为友

C.偶函数，且最小值为一行D.偶函数，且最大值为0

二、多选题

3.（23-24高三下•江苏南通・开学考试）已知函数/（尤）=cos2x+2sin无，则（）

A./⑺的最小正周期为27rB./⑺关于直线x对称

⑴关于点（。中心对称

C.3J,D.Ax）的最小值为一3

4.（2024・贵州贵阳•二模）函数尤）=Atan（5+°）（0＞O,O＜夕＜兀）的部分图象如图所示，则（）

5

B./（尤）在0,y上的值域为（-双-百］3"+。）

c.函数y="（尤）1的图象关于直线x=与57r对称

D.若函数y="（x）|+2f（x）在区间高上不单调，则实数2的取值范围是［-M］

三、填空题

TT

5.（2024•辽宁•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E,F分别在线段8C,8上，S.ZEAF=-,

4

则屈.弱的最小值为.

6.（2021•河南关B州•二模）在团ABC中，角A,B,C的对边分别为〃，b,c,=l,A=—，若用+c有

a4

最大值，则实数几的取值范围是—.

反思提升：

1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：

⑴形如y=asinx+Z?cosx+c的三角函数化为y=Asin（（wx+0）+c的形式，再求值域（最值）；

⑵形如y=asin2x+/?sinx+c的三角函数，可先设sinx=f,化为关于7的二次函数求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+/?（sinx土cosx）+c的三角函数，可先设/=sinx土cosx,化为关于/的二

次函数求值域（最值）.

【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性

一、单选题

1.（2024・重庆・模拟预测）将函数〃x）=sin（2x-T的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标

原点对称，则夕的值可以为（）

2兀71兀71

A.B.c.一D.

T764

2.（2024,湖北武汉•模拟预测）若函数〃x）=3cos（0x+,“0<O,的最小正周期为兀，在区间

|哈上单调递减，且在区间（。，胃上存在零点，则夕的取值范围是（）

6

A.B.C.D.

3.（2024•北京西城・二模）将函数/（%）=tanx的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于>轴对称，得

到函数g（x）的图象，则以%）=（）

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

二、多选题

sinx,2kji---<x<2hi+—

4.（2024,河南洛阳•模拟预测）已知函数/（尤）=<'；（AeZ）,则（）

_j7L-_5兀

cosx,2/C71+—<x<2KTI-\-----

I44

JT

A.f（x）的对称轴为％=1+配,（kwZ）

B.f（x）的最小正周期为4兀

C.7（幻的最大值为1,最小值为一正

2

Ji57r

D.7（幻在-571上单调递减，在7T,—上单调递增

_4JL4_

5.（2024・辽宁・二模）己知函数/（尤）=蟆5（0苫+0）（0>0,|?|<5）满足/［尤-1］=/（-%）,/［£［+/1］］=0,

且在|上单调递减，则（）

A.函数y=/（x）的图象关于点［%。］对称B.9可以等于-:

C.。可以等于5D.。可以等于3

6.（23-24高三上•山西运城・期末）已知函数"x）=tan］x+j+l,则（）

A.的一个周期为2B.〃x）的定义域是卜+

C.的图象关于点对称D.””在区间［L2］上单调递增

三、填空题

7.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=；+A/§sin（y尤cos@x-cos2（yx（®>0）,若的图象在［0,兀］上有

且仅有两条对称轴，则。的取值范围是.

8.（2024•四川雅安•三模）己知函数/（x）［e=（Jcos2x是偶函数，则实数a=.

9.（2023・四川达州•一模）函数〃犬）=ln黄|+%tanx+3,且/⑺=6,则/（V）的值为.

反思提升：

⑴三角函数周期的一般求法

①公式法；

②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.

7

（2）对于可化为“x）=Asin（①x+°）（或火x）=74cos（①x+夕））形式的函数，如果求八元）的对称轴，只

7T、

需令公r+9=]+hi（左£Z）（或令5+夕=%兀（左£Z））,求冗即可;如果求火工）的对称中心的横坐标，

只需令5+9=左兀（％QZ）（或令①式+9=号+析（左£Z）j,求元即可.

⑶对于可化为«x）=Atan（①x+夕）形式的函数，如果求人x）的对称中心的横坐标，只需令①x+夕

“7T

=—（^EZ）,求X即可.

（4）三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=而皿（0x+0）

中代入x=0,若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin（（yx+0）为奇函

71

数，贝I9=左兀（左©Z）,若y=Asin（（yx+°）为偶函数，贝U9=/+E（左GZ）.

【考点3】三角函数的单调性

一、单选题

1.（2024•云南•模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且当为,马«y，0），与工务时，"百卜〃/）>。,

xi—x2

/、

若a=/log13,^=/（0.502）,c=/（sinl）,则下列选项正确的是（）

\2）

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<cD.c<a<b

2.（2024•陕西榆林三模）已知ce（O,27i）,若当xe[0,l]时，关于1的不等式

（sina+coscir+l）%?-（2sina+l）x+sin（z>0恒成立，则a的取值范围为（）

C.

二、多选题

3.（2022•湖北武汉•三模）已知函数〃x）=2x-8牍的零点为%,则（）

11

A-%。<5B.

D.x-^-<sitw

C.tanx>——00

n°2

4.（2024・湖南长沙•一模）已知函数〃x）=Atan（0x+e）（（y>O,O<o<7t）的部分图象如图所示，则（）

8

B.〃尤）的图象过点［华，竺

c.函数y=|〃x）|的图象关于直线x音对称

D.若函数>=|〃刈+九〃村在区间（-子年］上不单调，则实数2的取值范围是『1』

三、填空题

5.（2023•陕西西安•模拟预测）已知函数〃x）=Acos（0x+0）+。，（A>0,®>0,H<1）的大致图象如

图所示，将函数外”的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g（x）

的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间为.

6.（2022•上海闵行•模拟预测）已知&e［0,nI,若sina-|cos回>0,则a的取值范围是.

反思提升：

1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin（（«x+e）形式，再求y=Asin（（yx+^）

的单调区间，只需把①x+e看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意票先把①

化为正数.

2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数①的范围的问题，首先，明确已知的单调区间

应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可

求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

I分层检测

9

【基础篇】

一、单选题

1.（2024・福建•模拟预测）若函数/（x）=Asin2x-3在1至,mJ上有零点，则整数A的值是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（2024•贵州黔南•二模）若函数小）=85卜->可为偶函数，则夕的值可以是（）

5兀4兀71

A.—B.—C.兀D.-

632

3.（2024•安徽•三模）"0=土而欢eZ"是"函数y=tan（x+0）的图象关于（加对称"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（22-23高一下•湖北武汉•期中）若函数y=6cos（wx-sin0x（o>O）在区间上恰有唯一对称轴,

则。的取值范围为（）

-17>（17］（171门7-

A.—B.-C.—D.—

|_22）（36J（33j（22J

二、多选题

5.（2024云南模拟预测）己知函数用）=$皿妙+"）,0>0,好（0,71）,如图，图象经过点4，|」），2［：,0

71

B.

11jr

c.x=m是函数/（x）的一条对称轴

D.函数f（x）在区间，詈］上单调递增

6.（2023•辽宁•模拟预测）已知定义域为/的偶函数使/'（%）<0,则下列函数中符合上述条

件的是（）

2Xx

A.f(x)=x-3B./(x)=2+2~C./(x)=iog2ixiD./(x)=cosx+l

7.（23-24高一上•广东肇庆•期末）关于函下列说法中正确的有（）

10

A.是奇函数B.在区间卜去，]上单调递增

C.为其图象的一个对称中心D.最小正周期为兀

三、填空题

8.（2022•江西•模拟预测）将函数/（x）=tan2x的图像向左平移/（f>（））个单位长度，得到函数g（x）的图像，

若=则/的最小值是

9.（2022•重庆沙坪坝•模拟预测）若函数y=cosw在看,0）单调递增，在（0,1]单调递减，则实数。的取

值范围是.

10.（21-22高三上•河南•阶段练习）已知函数/（x）=x3cos[x+^p]为偶函数，且当xe（O,%）时，/（x）>0,

则«的值可能为.

四、解答题

1L（2022・北京门头沟•一模）已知函数/（x）=sin（0x+o）（0>O,|d<m，彳=?是函数/（x）的对称轴，且了⑴

在区间上单倜.

⑴从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得"X）的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数"X）的图象经过点

条件②：[1，。）是/（X）的对称中心；

条件③：0）是/*）的对称中心.

⑵根据（1）中确定的/（X）,求函数y=/（x）|Co,mJ的值域.

12.（2021,浙江•模拟预测）已知函数/（x）=6sin[2x—B]+sin[2x-寻].

（1）求函数/（x）的最小正周期和单调递减区间.

（2）若对任意的相2,2）,方程〃尤）=w（其中xw[0,a））始终有两个不同的根毛，巧.

①求实数。的值；

②求百+%的值.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024•陕西西安,模拟预测）己知函数/■（x）=2sin3x+0）（0>O，m<7r）的部分图象如图所示，将函数“力

的图象向左平移1个单位长度后得到函数g（x）的图象，则