2025年高考数学一轮复习讲义：函数模型及其应用（解析版）

专题14函数模型及其应用（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................9

【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程................................9

【考点2】已知函数模型解决实际问题..........................................15

【考点3】构造函数模型解决实际问题..........................................22

【分层检测】...............................................................27

【基础篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................36

【培优篇】.................................................................40

考试要求：

1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直

线上升”等术语的含义.

2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题

的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.

.知识梳理

L指数、对数'幕函数模型性质比较

函数y=axy=logaXy=xn

性（Q>1）（Q>1）（H>0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随〃值

图象随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表

变化而

的变化现为与y轴平行现为与X轴平行

各有不同

值的比较存在一个无0,当X>X0时，有

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型j{x}=ax+b（a,人为常数，aWO）

二次函数模型/（x）=^x2+Z?x+c（tz,b,c为常数，〃W0）

与指数函数相关的模型fix）=bax+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,bWO）

与对数函数相关的模型fix）—Mogax+c（a,b,c为常数，〃>0且aWLb丰0）

与募函数相关的模型f（x）—axn+b（a,b,〃为常数，oWO）

|常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，

常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际

问题的合理性.

.真题自测

一、单选题

2

1.（2020・全国•高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单

的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市

某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50

份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

2.（2020•山东・高考真题）基本再生数R。与世代间隔7■是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指

数模型：/⑺=e”描述累计感染病例数/⑴随时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r与Ro,7■近似满足Ro

=l+r7".有学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍

需要的时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

二、多选题

3.（2023•全国,高考真题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

C.p3=100p0D.Pi<100/?2

4.（2019•北京•高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次

购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

3

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则尤的最大值为.

四、解答题

5.（2019・江苏•高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为。的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥

AB（A8是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路尸8、QA.规划要求:线段

PB、QA上的所有点到点0的距离均不小于同O的半径.己知点A、B到直线I的距离分别为AC和BDC

。为垂足），测得AB=10,AC=6,BD=12（单位:百米）.

（1）若道路与桥垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和。中能否有一个点选在。处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路P8和QA的长度均为1（单位：百米）.求当d最小时，P、。两点间的距离.

参考答案：

1.B

【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.

【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900,

黑=18,故至少需要志愿者18名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

2.B

【分析】根据题意可得/（f）=e”=e038,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间

为0天，根据0阚2=26°38，，解得。即可得结果.

4—1

［详解］因为凡=3.28,7=6,+所以「==0.38,所以/«）=，=*3如,

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为。天，

则eo.38（（+（1）=2产,所以=2,所以0.38%=In2,

匚siIn20.6910十

所以％=---x----R1.8天.

10.380.38

4

故选：B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

3.ACD

【分析】根据题意可知4,e[60,90]，4°e[50,60]，43=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：Lne[60,90],LpiG[50,60],Ly40,

对于选项A：可得=20xlg且-20xlg匹=20xlg.,

PoPoP2

因为474,贝匹.一J=20xlg&N0,gplgA>0,

PlPl

所以且且pi，??〉。，可得“Npz，故A正确；

Pi

对于选项B：可得乙八一乙为=2°xlg^-2°xlg4=20xlg匹，

PoPoP3

因为4=4-40210,则20xlgRzi0,gplg^>1,

P3P3/

所以上且22，03>°，可得

P3

当且仅当「2=5。时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为人=20xlgR=40,即恒乙=2,

PoPo

可得良=100,即03=lOOp。，故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：-42=20x1g.,

P2

且4,一乙八490-50=40,贝ij20xlg且<40,

P1

即电且<2,可得旦V100,且?”2>0,所以“WlOOpz，故D正确；

PlP1

故选：ACD.

4.130.15.

【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最

大值.

【详解】（l）x=10,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

⑵设顾客一次购买水果的促销前总价为>元，

y<120元时，李明得到的金额为yx80%，符合要求.

5

”120元时，有(y-x)x80%之yx70%恒成立，即8(y-x"7y,xw2,即xW看=15元.

8V07min

所以X的最大值为15.

【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为

背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

5.(1)15(百米)；

(2)见解析；

(3)17+3百(百米).

【分析】解：解法一：

(1)过A作/场，血，垂足为E利用几何关系即可求得道路尸2的长；

(2)分类讨论P和。中能否有一个点选在。处即可.

(3)先讨论点尸的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当d最小时，P、。两点间的距离.

解法二：

(1)建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路P8的长；

(2)分类讨论产和。中能否有一个点选在。处即可.

(3)先讨论点P的位置，然后再讨论点。的位置即可确定当d最小时，P、。两点间的距离.

【详解】解法一：

(1)过A作/a_L3D,垂足为E.

由已知条件得，四边形4CDE为矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因为PBELAB,

84

所以cos/P2Z)=sinNABE=—=—.

所以cosNPBD4

5

因此道路的长为15(百米).

(2)①若P在。处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除8,E)到点。的距离均小于圆。的

半径，所以尸选在。处不满足规划要求.

6

②若。在。处，连结AD,由（1）知AD=〃炉+ED2=10，

AD+ABBD

Affi]cosZBAD=~-'=Z>0,所以&BA。为锐角.

2ADAB25

所以线段AD上存在点到点。的距离小于圆。的半径.

因此，。选在。处也不满足规划要求.

综上，P和。均不能选在。处.

（3）先讨论点尸的位置.

当团08尸<90。时，线段PB上存在点到点。的距离小于圆。的半径，点P不符合规划要求；

当回OBP290。时，对线段PB上任意一点F,OF>OB,即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆O的半

径，点P符合规划要求.

设4为/上一点，且由（1）知，[8=15,

3

此时PtD=《BsinAP{BD=42cosNEBA=15x-=9；

当EIOBP>90°时，在中，PB>PlB=15.

由上可知，应15.

再讨论点。的位置.

由（2）知，要使得QA215,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，

CQ=《QI-AC。=J15?-62=3后.此时,线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.

综上，当PB^AB,点。位于点C右侧，且CQ=3万时，d最小，此时P，。两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+

3A/21.

因此，1最小时，尸，。两点间的距离为17+3万（百米）.

解法二：

（1）如图，过。作OH0/,垂足为H

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=：L2,AC=6,所以08=9,直线/的方程为y=9,点A,2的纵坐标分别为3,-3.

7

因为AB为圆。的直径，AB=10,所以圆。的方程为x2+y2=25.

3

从而A(4,3),B(-4,-3),直线A8的斜率为一.

4

4

因为所以直线PB的斜率为

直线依的方程为y=-g4x-冒25

所以尸(-13,9),PB=7(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路尸8的长为15(百米).

(2)①若P在。处，取线段上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在。处不满足规划要求.

②若。在。处，连结A£>,由(1)知。(-4,9),又A(4,3),

所以线段AD：y=——x+6(-4领k4).

4

在线段A。上取点M(3,y),因为=〈行百=5,

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆。的半径.

因此。选在。处也不满足规划要求.

综上，P和。均不能选在。处.

(3)先讨论点尸的位置.

当团。2尸<90。时，线段尸2上存在点到点。的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当团OBP290。时，对线段PB上任意一点F,OF>OB,即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆O的半

径，点尸符合规划要求.

设A为/上一点，且《8,A3,由(1)知，［8=15,此时片(-13,9)；

当团。2尸>90°时，在△尸［5中，PB>P,B=15.

由上可知，<7>15.

再讨论点。的位置.

由(2)知，要使得0NN15,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.

当。4=15时，设。9),由AQ="2-4)2+(9-3)2=15(°>4),

得。=4+3庖，所以。(4+3@，9),此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.

综上，当尸(-13,9),Q(4+3®，9)时，“最小，此时P,。两点间的距离

产。=4+301-(-13)=17+301.

因此，1最小时，P,。两点间的距离为17+3用’(百米).

8

【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用

数学知识分析和解决实际问题的能力.

庠考点突破

【考点1】利用函数图象刻画实际问题的变化过程

一、单选题

1.(2024•内蒙古赤峰•一模)在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一

周，。、P两点连线的距离y与点尸走过的路程尤的函数关系如图，那么点尸所走的图形是()

2.(2022•甘肃酒泉•模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=\,。是AB的中点，点尸沿着边8C、

8与运动，记=将的面积表示为关于x的函数〃x),则〃x)=()

DPC

AOB

A.当时，/(x)=2tanx

人23几

B.当xi*彳甘时，/(x)=-tanx

「3万、

C.当7，乃)时，/(%)=—tanx

「3万、

D.当时，/(x)=tanx

二、多选题

3.(2021・福建厦门•一模)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药

9

物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间r（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进

一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

D.注射一次治疗该病_的有效时间长_度为5考31时

4.（22-23高一上•新疆乌鲁木齐•期末）设/（x）=x2,g（x）=2*,/z（x）=log2X,当xe（4,+oo）时，对这三个函

数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是（）

A.外”的增长速度最快,h（x）的增长速度最慢

B.g（x）的增长速度最快,蛆）的增长速度最慢

C.g（x）的增长速度最快,的增长速度最慢

D.“X）的增长速度最快,g（x）的增长速度最慢

三、填空题

5.（21-22高二下•江苏南通•期中）根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒.若从喷洒

'0”,溺10

0.U-1

药物开始，教室内空气中的药物浓度y（毫克/立方米）与时间，（分钟）的关系为：＞=I,r>10

根据相关部门规定该药物浓度达到不超过0.25毫克/立方米时，学生可以进入教室，则从开始消毒至少—分

钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度超过0.5毫克/立方米持续8分钟以上时，才能

起到消毒效果，则本次消毒效果（填：有或没有）.

6.（2020•江西南昌•三模）如图，有一块半径为R的半圆形广场，M为AB的中点.现要在该广场内以加为

中轴线划出一块扇形区域。PQ,并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆N和圆S）,使得圆N内切于扇形。PQ,

圆S与扇形OPQ的两条半径相切，且与圆N外切.记则圆S的半径）可表示成。的

10

函数式为,圆S的半径y的最大值为

参考答案：

1.D

【分析】

由点尸在第二条边上运动时，y的单调性可排除A,由图象的对称性可排除5,由一开始y与x是线性的可

排除c,对于D,当图形是正方形时，可以验证它满足题意.

【详解】对于A,点尸在第一条边上时，y=x,

但点尸在第二条边上运动时，y是随尤的增大先减小（减到最小时v即为三角形的第二条边上的高的长度），

然后再增大，

对比图象可知，A错误；

对于B,y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；

对于C,一开始y与尤的关系不是线性的，C错误；

对于D,因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为。，

点P在第一条边上时（即OVxWa时），y=彳，

点户在第二条边上运动时（即aVxV2a时），y=^a2+（^x-a）2,依然单调递增，

点尸在第三条边上运动时（即2aWxV3a时），y=^a2+（3a-x）2,单调递减，

点尸在第四条边上运动时（即3aVxV4a时），y=^a-x,单调递减，

且已知丁与x的图象关于x=2a=，（其中/=4〃）对称，D正确.

2

故选：D.

2.C

【分析】分、xeg,手、xe与，万1三种情况讨论，求出ABIB的边AB上的高，结合三角形

的面积公式可得出/（%）的表达式.

JT________

【详解】■.•Q8=OC=1,则N2OC=I，易得0c=OD=Jc+a=®,OC2+OD2^CD2,

所以，ZCOD=-,贝IJN20D=匹+2=物.

2424

11

此时，f(x)=JABtanx=tanx；

当XE丁刁时，点尸在线段D4上（不包括点A）,

止匕时NPOA=TT_X,则PA=OAtan（7r-x）=-tanx,贝ij/（x）=AB-PA=-tanx.

故选：C.

3.AD

【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决.

4/（0,,t<V）

【详解】由函数图象可知y二小丫一、八，

当/=1时，y=4,即（；尸=4,解得a=3,

12

4/(0,,t<1)

y=\(iY-3/故A正确，

［国('刈

药物刚好起效的时间，当4,=0.125,即='，

药物刚好失效的时间g尸=0.125,解得f=6,

故药物有效时长为6-《1=5/31小时，

3232

药物的有效时间不到6个小时，故8错误，。正确；

注射该药物，小时后每毫升血液含药量为4x：=0.5微克，故C错误，

OO

故选：AD.

4.ACD

【分析】

做出三个函数/(x)=d,g(x)=2，，Mx)=log2X的图象，结合图象，即可求解

【详解】画出函数〃元)=/,g(x)=2f(元)=厩2%的图象，如图所示，

结合图象，可得三个函数/(x)=d,g(x)=2*,/z(x)=log2x中，

当xe(4,+s)时，函数g(x)=2工增长速度最快，Mx)=log2%增长速度最慢.

所以选项B正确；选项ACD不正确.

故选：ACD.

【分析】由已知只需即可确定几分钟之后学生可进教室，计算出药物浓度超过Q5毫克/立方米的

24

时间段，即可判断是否有效果.

【详解】由题设，只需(《产”它］，即0.1—122,可得年30分钟，

24

13

所以30分钟后药物浓度不超过0.25毫克/立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习,

当0.1出g,则此5,当。产一心：，贝可得Y20,

即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过0.5毫克/立方米，故20-5>8分钟,

所以本次消毒有效果.

故答案为：30,有.

Rsin6（1-sin8）

6.

（1+sin^）27

（R-a）sin。=a

【分析】设圆N的半径为。，有几何关系可得消去。即可得到圆s的半径y与。的函

（7?-2〃一y）sin6=y

数关系；令l+sin，=(l<r<2),则y+再由二次函数求出最大值，即可求出结果.

【详解】设圆N的半径为。，过N作NKLOQ,STLOP,垂足分别为K、T,如下图所示：

在RNOKN中,可得&=sin。,即（H-a）sin9=a；

R—ci

在RMTES中，可得5_y=sin6>,即（R—2a—y）sin<9=y；

（H-a）sin。=aHsin。。一sin。)

贝!jy=

（R_2〃_y）sin6=y（1+sin8）2

则.如个

令l+sin6=《lv/<2）,=7?|-1+--4

Itr

134

当一二［,即/=2时,R

t43

D

故圆S的半径y的最大值为£.

O

Rsine(l—sin6)R_

故答案为：尸…行

【点睛】本题主要考查了函数的应用，同时考查了利用换元法和二次函数求最值，是中档题.

反思提升：

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合,

14

从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

【考点2］已知函数模型解决实际问题

一、单选题

1.（2024•北京通州•二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间f（单位:

月）的关系式为5=“用且4W1）,图象如图所示.则下列结论正确的个数为（）

①浮萍每个月增长的面积都相等；

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是％,t2,t3,则4+芍=g.

A.0B.1C.2D.3

2.（2022•黑龙江哈尔滨•三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，A3为球门，在某次小区居民友谊

比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tanNAPB=（,假设甲沿着平行边线的方向向

前带球，并准备在点。处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为

（）

c.10V2D.10A/3

二、多选题

3.（2023•河南•模拟预测）若物体原来的温度为为（单位:.C）,环境温度为4（单位:℃）,物体的温度冷却

15

至i]e（e>q,单位:。c）与需用时间”单位:分钟）满足"/（。）=：山3号水为正常数.现有一杯开水（100©

放在室温为20°C的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（eg2.7,ln2g0.7）,贝|（）

A.当％=5时，经过10分钟，这杯水的温度大约为40℃

B.当左=，时，这杯开水冷却到60°C大约需要14分钟

C.若f（60）=10,则/（40）=20

D.这杯水从100°C冷却到80°C所需时间比从80°C冷却I至160°C所需时间短

4.（2024・重庆・模拟预测）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量

随时间f的衰变公式N（，）=Noe-：，时表示物质的初始数量，，是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质

常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln2=0.7,右表

给出了铀的三种同位素t的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为（，T2,T3,则（）

物质T的量纲单位t的值

铀234万年35.58

铀235亿年10.2

铀238亿年64.75

A.T=rln0.5B.T与丁成正比例关系

C.工>工D.T3>100007；

三、填空题

5.（2023•上海长宁,一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值》（单位：dB）定义为

y=101g,淇中/为声场中某点的声强度，其单位为W/m：。=10"W/m2为基准值.若blOW/n?,则其相

应的声强级为dB.

6.（2007・湖北•高考真题）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室

内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间f（小时）成正比；药物释放完毕后，y与f的函数关系式为

为常数）.根据图所提供的信息，回答下列问题:

16

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间/（小时）之间的函数关系式为；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始,

至少需要经过小时后，学生才能回到教室.

参考答案：

1.B

【分析】由已知可得出S=，+L计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判

断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断

③的正误；利用指数运算可判断④的正误.

【详解】由已知可得=2,则5=2'。

对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为2,-2?=8（平方米），①错；

对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32（平方米），②对；

对于③，浮萍蔓延第"至"+1个月的增长率为'2二=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，

③错；

对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是1,t2,t3,

则》+i=3,2f2+1=4，2fj+1=12=3x4=2，1+1-2，l+1=2，1+，2+2,所以4=,1+%+1，④错.

故选：B.

2.B

【分析】先根据题意解出A3长度，设QH=h,得到cosZAQB=',“+"。，再分析求值域，判

J/+325/+22500

断取等条件即可求解.

【详解】设=并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

所以tanZBP7?=^=W=2,S.tanZAPB=—,

HP25531

17

52

--H——

所以tanZAPH=tan(ZAPS+ZBPH)=5,=1,

1-—x-5

315

T-7✓AnrrAHAB+BHx+10x+103,J

XtanZAPH=—=—所以一^=三，A解7/I得=tx=5,n即nAB=5,

jtLJLJLlx乙J乙JJ

设QH=h,/ze[0,25],则AQ=⑺*也=,犷+152,

BQ=y)QH2+BH2=V/z2+102，所以在AAQB中，

+,…A^+BQ'-AB2A2+150

有cosZAQB=—------------------=,

2A0xBQ7^4+325/I2+22500

令m=为+150(150<m<775),所以==二一150,

cosZAQB=f]

所以-150)2+325(ft?-150)+22500/37^°।25।i,

\m2m

因为150<zn<775,所以；二工一<；£二，则要使—AQ3最大，

775m150

cosZAQB=।I375025

即375025;要取得最小值,即J-W+仝+1取得最大值,

J——厂+——+17m2m

\mm

即—W3750+225+1在3iwl'wl士取得最大值,

mm775m150

令制，-3750/+25/+1,

所以/⑺的对称轴为：，=击，所以在《，击单调递增，在击，击单调递减，

所以当一需时，4）取得最大值，即48最大,止匕时〉+,即根=300,

所以外=150,所以/z=5«,即为获得最佳的射门角度（即-AQB最大）,

则射门时甲离上方端线的距离为：5瓜

故选：B.

18

ABH

3.BCD

【分析】根据解析式f="O)=：ln*萼中各量的意义，代入求解即可.

k"a

【详解】r=/(e)=；ln?多,左为正常数.

k"a

对于A,k=—,0Q=100,^=20,t=10,

,.100—20/日180

由10=101n-------,得In------=1,

6>-200-20

ononon

所以贰/e,解得*2。+12。+1r5。,故A错误;

对于B,k=――,q=100,4=20,8=60,

t=20In100-20=201n—=20In2«20x0.7=14,故B正确;

60-2040

r_LTIr/rc\\1/口I1100—2011801,„„.1

对于C,由/(60)=10,-fg1—In-------=—In—=—In2=10,即n左二—In2,

k60-20k40k10

则“40)=总白田总n2=2。，故C正确;

对于D,设这杯水从100°C冷却到80°C所需时间为％分钟,

则公"吐

1k80-20k3

设这杯水从80°C冷却到60°C所需时间为芍分钟,

80-20

则

k60-20

因为…】

k3x3k9

所以4<4，故D正确.

故选：BCD.

4.BD

19

【分析】A选项，根据半衰期的定义得到N0=NJ；/，从而得到方程，求出T=71n2；B选项，由A选

项得到结论；C选项，由B选项可得C错误；D选项，计算出人,工，作商得到D正确.

【详解】A选项，由题意得N«）=N（）

又N«）=Noe：，故乂N-,两边取对数得，

T=rln2,A错误；

B选项，由A可知，T与丁成正比例关系，B正确；

C选项，由B可知，T与r成正比例关系，由于铀234的T值小于铀235的r值,

故】＜（，C错误；

D选项，7；=rIn2=6.475xlO9ln2,

7；=rIn2=3.558x10sln2,

6.475xlO9In2

故一-->1,D正确.

100007；3.558x1()9ln2

故选：BD

5.130

【分析】

将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.

122

【详解】因为/=10W7m2,Z0=WW/m,

所以其相应的声强级为＞=10坨而7=10恒10"=130dB.

故答案为：130.

10z,0<r<—

103

6.-/0.6

【分析】⑴当04芯上时，可设y=打，把点（„入直线方程求得般得到直线方程；当得时，

把点弋入＞「求得。，

曲线方程可得.最后综合可得答案.

20

1

io<1

（2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，可出

1

t>——

10

解此不等式组即可得解.

【详解】解：（1）依题意，当时，设y=公，则:后=1，解得％=1。，

_1t—a

、历代入尸，解得

将I可得^=1a=W

y=1AA

1

10t,0<?<——

10

综上所述，＞=1

t-----

\101

t>——

A10

⑵由题意可得y＜°-25=；,因为药物释放过程中室内药量一直在增力口,

即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室,

所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室,

3

,解得1＞飞,

由题意至少需要经过（3小时后，学生才能回到教室.

10/,0</<—

10

故答案为：（1）y=,1;（2）

101

A,z>io

反思提升：

1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

【考点3】构造函数模型解决实际问题

一、单选题

1.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中P是

空气密度，s是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

21

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=A.当夕,s不变，V比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则尸比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

2.（23-24高三上•江苏南通,期