2025年高考数学一轮复习讲义：分类加法计数原理与分步乘法计数原理（解析版）

专题58分类加法计数原理与分步乘法计数原理（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................5

【考点1】分类加法计数原理的应用............................................5

【考点2】分步乘法计数原理的应用............................................8

【考点3］两个计数原理的综合应用............................................13

【分层检测】...............................................................17

【基础篇】.................................................................17

【能力篇】.................................................................22

考试要求：

1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

2.能解决简单的实际问题.

.知识梳理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有机种不同的方法，在第2类方案中有〃种不

同的方法.那么完成这件事共有N=m+”种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么

完成这件事共有N=/nX〃种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种

方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题,

各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

|常用结论

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

（1）分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

（2）分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

等真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

2.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

3.（2023•全国,高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样

调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,

则不同的抽样结果共有（）.

A.CQC短种B.C黑°C鼠种

C.OC2种D.C黑°C鼠种

4.（2023•全国•高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2

名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

2

二、填空题

5.（2024・上海•高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之

积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值____.

6.（2023•全国•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

参考答案:

题号1234

答案BCDD

1.B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为a,b,Gd,e,

假设。连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A；=12

种方法，

同理：6,c,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

2.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C2A；=120种，

故选：C.

3.D

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x黑=40人，高中部共抽取60x型=20,

600oOO

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C%c禽种.

3

故选：D.

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有Cj=6件，

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为：=工.

63

故选：D.

5.329

【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.

【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数.

首先讨论三位数中的偶数，

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有以=72个；

②当个位不为。时，则个位有C；个数字可选，百位有C；=256个数字可选，十位有C；个数字可选，

根据分步乘法这样的偶数共有C；C；C；=256,

最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329个.

故答案为：329.

6.64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

4

考点突破

【考点1］分类加法计数原理的应用

一、单选题

1.（2023•湖南•模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭

州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名

志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

2.（2024・贵州贵阳•模拟预测）2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县"村超"

足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州"村超”总决赛阶段

的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口

寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个

村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）

A.18B.36C.54D.72

二、多选题

3.（2024・重庆•模拟预测）如图，16枚钉子钉成4x4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的

有（不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同）（）

A.可以围成20个不同的正方形

B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等）

C.可以围成516个不同的三角形

D.可以围成16个不同的等边三角形

三、填空题

4.（22-23高三下•浙江杭州•阶段练习）在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，

则连结方式有种.

5.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）有序实数组国孙…，*（〃eN*）称为"维向量，㈤+冈+.••+.为该向量的

范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知"维向量M=（人,尤2,…,龙”），其中

5

龙”{0,1,2},力=1,2,「”.记范数为奇数的6的个数为A“，则4=；4„+i=.（用含力的式子表示）

6.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校

需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有

2名女生的选法有种（用数字作答）.

参考答案:

题号123

答案CBABC

1.C

【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.

【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有C；A；=6种，

②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有C；C；A；=18种，

所以不同的安排方法有6+18=24种.

故选：C

2.B

【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，分别求出不同的选法再相加即可.

【详解】若五位同学最终选择为3,1,1,先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，

剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有C；A；=18种选择，

若五位同学最终选择为2,2,1,将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，

此时有C；C；A；=18种选择，

综上，共有18+18=36种选择.

故选：B

3.ABC

【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.

【详解】不妨设两个钉子间的距离为1,

对于选项A,由图知，边长为1的正方形有3x3=9个，边长为2的正方形有2x2=4个，

边长为3的正方形有1个，边长为0的正方形有2x2=4个，边长为石的有2个，共有20个，所以选项A

正确，

对于选项B,由图知，宽为1的长方形有3x3=9个，宽为2的长方形有4x2=8个，

6

宽为3的长方形有5个，宽为亚的有2个，共有24个，所以选项B正确，

对于选项C,由图知，可以围成C：6-：10C；-4C；=516个不同的三角形，所以选项C正确,

对于选项D,由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，

故选：ABC.

4.14

【分析】根据加法分类计数原理求解即可.

【详解】不妨设圆周上的点依次为A氏C,2E,£G,”，

要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示：

AAA

Gy)DG\

FEFE

①②

符合图①的连结方式有2种；符合图②的连结方式有4种；符合图③的连结方式有8种;

共计2+4+8=14种.

故答案为：14.

【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4；根据(2+1)2向和(2-1)22的展开式相减得到4.M的通项公

式.

［详解】根据乘法原理和加法原理得到4=C：•23+C•2=40.

奇数维向量，范数为奇数，则%=1的个数为奇数，即1的个数为1,3,5,....2〃+1,

2,2fl224

根据乘法原理和加法原理得到A„+1=CL+12'+CL+12-+Cl„+12-+L+C猾2。,

1=(2_1广+|=以+21+d"T-C誓2。

o2n+li

两式相减得到4“+l=^~—

故答案为：40；---------.

2

6.105

【分析】分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法

7

计数原理，即可求得答案.

【详解】由题意可得恰有两名女生人选的选法有c；XC：=60种，

恰有3名女生人选的选法有C；xC；=40种，

恰有4名女生人选的选法有C；xC：=5种，

所以至少有两名女生人选的选法有60+40+5=105（种），

故答案为：105

反思提升：

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.

（1）根据题目特点恰当选择一个分类标准.

（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两

种方法才是不同的方法，不能重复.

（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.

【考点2】分步乘法计数原理的应用

一、单选题

1.（23-24高二上•辽宁•期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已

知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男

生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生2与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为

（）

A.564B.484C.386D.640

2.（2023・河南开封•模拟预测）有2男2女共4名大学毕业生被分配到A,民C三个工厂实习，每人必须去一

个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）

A.12B.14C.36D.72

二、多选题

3.（23-24高二上•四川•阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六、周天两天，每天从中任选两人

参加服务，则（）

A.只有1人未参加服务的选择种数是30种

B.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种

C.只有1人未参加服务的选择种数是60种

D.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种

4.（2024•甘肃•一模）下列说法正确的有（）

A.数据29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位数是40

8

B.若J~N（25,4）,则P（2O4J425）+尸（230）=J

C.4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为C；种

D.（l-x）8展开式中/项的二项式系数为56

三、填空题

5.（2024•福建厦门•一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名

同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种.

6.（2024•山东潍坊•一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中

甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种.（结果用数值表示）

一、单选题

1.（23-24高二上•辽宁•期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.已

知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男

生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生8与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为

（）

A.564B.484C.386D.640

2.（2023・河南开封•模拟预测）有2男2女共4名大学毕业生被分配到A,民C三个工厂实习，每人必须去一

个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）

A.12B.14C.36D.72

二、多选题

3.（23-24高二上•四川•阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六、周天两天，每天从中任选两人

参加服务，则（）

A.只有1人未参加服务的选择种数是30种

B.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种

C.只有1人未参加服务的选择种数是60种

D.恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种

4.（2024•甘肃•一模）下列说法正确的有（）

A.数据29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位数是40

B.若J~N（25,4）,则尸（204JW25）+尸偌230）=g

C.4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为C；种

D.（l-x）8展开式中X3项的二项式系数为56

三、填空题

9

5.（2024・福建厦门•一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名

同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种.

6.（2024•山东潍坊•一模）第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中

甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种.（结果用数值表示）

参考答案:

题号1234

答案ABADABD

1.A

【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解.

【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.

第一种情况分成2人，2人，4人：女生氏C去同一处景点，当成2人组时，

其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有C：A；=8种方法；

当民C在4人组时，有华"+C；A；=36种方法.

第二种情况分成2人，3人，3人：当反C成2人组时，有C；=6种方法；

当良。在3人组时，有C'Cf+C；C；A；=44种方法.

故这8名同学游玩行程的方法数为（8+36+6+44）xA；=564.

故选：A.

2.B

【分析】根据题意，分A厂只接受1个女生和A厂接受2个女生两类情况，结合民C厂的分派方案，利用

分类、分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，可分为两种情况：

①若A厂只接受1个女生，有C；=2种分派方案，

则B,C厂分派人数可以为1,2或2,1,则有C；+C；=6种分派方案，

由分步计数原理可得，共有2x6=12种不同的分派方案；

②若A厂接受2个女生，只有1种分派方案，

则氏C厂分派人数为1,1,则有C；=2种分派方案，

此时共有1x2=2种不同的分派方案，

综上，由分类计数原理可得，共有12+2=14种不同的分派方案.

10

故选：B.

3.AD

【分析】

有1人未参加服务或恰有1人连续参加两天服务都要先从5人中选出1人，再从余下的人中选取服务于周

六周日，根据分步乘法原理，即可求得答案.

【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有C；=5种选法，

再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有C；=6种选法，

故只有1人未参加服务的选择种数是5x6=30种，A正确，C错误；

恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选工人，服务周六、周天两天，有C；=5种选法，

再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有C：C；=12种选法，

故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是5x12=60种，B错误，D正确，

故选：AD

4.ABD

【分析】

由百分位数的定义计算结果判断选项A；由正态分布的对称性判断选项B；由分步计数原理判断选项C；由

二项式定理求指定项的二项式系数判断选项D.

【详解】数据29,30,39,25,37,41,42,32,共8个数据，

从小到大排列为25,29,30,32,37,39,41,42,8x75%=6,

所以第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均值，即也产=40,A选项正确；

若自〜N（25,4）,则正态密度曲线的对称轴为4=25,

所以「（2OVJV25）+产仁230）=尸（25VJ<3O）+P偌230）=尸仁N25）=g,B选项正确；

4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为r种，C选项错误；

由二项式定理可知，（1-尤甘展开式中尤3项的二项式系数为C；=56,D选项正确.

故选：ABD.

5.24

【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.

【详解】若三人选书没有要求，则有33=27种，

若三人选择的书完全相同，则有3种，

11

所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27-3=24种.

故答案为：24.

6.120

【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，

则剩下的4人全排列有A：种排法，

故一共有5xA：=120种排法.

故答案为：120.

反思提升：

1.利用分步乘法计数原理解决问题栗按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并

且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这

件事.

2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.

【考点3】两个计数原理的综合应用

一、单选题

1.（23-24高三上•江西南昌•阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树

供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（）种不同的方法.

2.（2024•全国•模拟预测）"142857"这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857

与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从1,4,2,8,5,7

这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是

（）

A.87B.129C.132D.138

二、多选题

3.（22-23高二下•贵州贵阳•阶段练习）甲、乙、丙、丁4人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传

向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的工人，如此不停地传下去，假设

传出的球都能接住.记第”次传球之前球在甲手中的概率为匕，易知4=1，巴=。.下列选项正确的是（）

12

B.卜-；，为等比数列

C.设第"次传球之前球在乙手中的概率为凡,，％＜凡2

D.第4次传球后，球落在乙手中的传球方式有20种

4.（22-23高二下•山东枣庄•阶段练习）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、

9人，则下列说法正确的是（）

A.选1人为负责人的选法种数为30

B.每组选1名组长的选法种数为3024

C.若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335

D.若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种

三、填空题

5.（22-23高二下•湖北•期中）用0~9十个数字排成三位数，允许数字重复，把个位、十位、百位的数字之和

等于9的三位数称为“长久数”，贝V长久数”一共有个.

6.（2023•陕西宝鸡•一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5

个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色,

其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有种.

参考答案:

题号1234

答案CABCDABC

1.C

【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.

【详解】分两类情况：

第一类：2与4种同一种果树，

第一步种1区域，有5种方法；

第二步种2与4区域，有4种方法；

第三步种3区域，有3种方法；

13

最后一步种5区域，有3种方法，

由分步计数原理共有5x4x3x3=180种方法;

第二类：2与4种不同果树，

第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有A；=120种方法；

第二步种5号区域，有2种方法，

由分步计数原理共有120x2=240种方法.

再由分类计数原理，共有180+240=420种不同的方法.

故选：C.

2.A

【分析】按千位数分别是5,7,8进行分类讨论即可.

【详解】若千位数字是5,则百位数字不能是1,故共有C；C；C；=27（个）；

（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200,则其千位上的数字

是5,7或8）

若干位数字是7,则共有C；A：=36（个）；

若干位数字是8,则共有C；A；=24（个）.

故符合条件的四位数共有27+36+24=87（个）.

故选：A

3.BCD

【分析】对于A,求得△=；,可判断A错误；对于B,依题意可得匕=匕_「0+（1-匕-）+=-3匕1+；,

从而可证明，即可判断B选项；对于C,由B选项求得q=^]-3]+；＜；,乜2=；（1-£2）＞；，从而可判

断；对于D,列举法可判断.

【详解】对于A,因为第2次传球之前球不在甲手中，所以A错误；

对于B,因为第"次传球之前球在甲手中的概率为4,则当〃22时，第”-1次传球之前球在甲手中的概率

为P-,第次传球之前球不在甲手中的概率为1-£T，

则匕=匕一「。+（1_匕一）：=一:七|+:,从而匕一:（匕一又44=:

..•卜-?是以|■为首项，公比为一;的等比数列，故B正确；

14

对于C,由B选项可得月一gj+：〈:典2=；。一&）＞:，故心＜»12,故C正确；

对于D,第3次传球后球在甲手中有：甲乙丙甲，甲乙丁甲，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丁乙甲，甲丁丙甲，

共6种传法，

第3次传球后球在丙手中有：甲乙甲丙，甲乙丁丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，甲丙丁丙，甲丁甲丙，甲丁乙

丙，共7种传法，

第3次传球后球在丁手中有：甲乙甲丁，甲乙丙丁，甲丙甲丁，甲丙乙丁，甲丁甲丁，甲丁乙丁，甲丁丙

丁，共7种传法，

所以第4次传球后，球落在乙手中的传球方式共20种，故D正确.

故选：BCD.

4.ABC

【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项

C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D.

【详解】对于A,选1人为负责人的选法种数：6+7+8+9=30,故A正确；

对于B,每组选1名组长的选法：6x7x8x9=3024,故B正确；

对于C,2人需来自不同的小组的选法：6x7+6x8+6x9+7x8+7x9+8x9=335,故C正确；

对于D,依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种

选择，共有J种选择，

所以不同的选法有：43-33=37,故D错误；

故选：ABC.

5.45

【分析】将“长久数”的排列转化为将9个表示1的球与2个表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解.

【详解】设01M2，%对应个位到百位上的数字，则/€旷,生€?^（，=1,2）旦4+4+。3=9,相当于将9个表

示1的球与2个表示0的球排成一排，如图，

11111111100,

这个数有10个空，用2个隔板隔开分为3组，左起第一组数的和作为。3,第二组数的和作为出，第三

组数的和作为q,

故共C：°=45种，

故答案为：45.

6.72

15

【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可.

【详解】由题意，一共4种颜色，板块A需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.

又板块B,C,D两两有公共边不能同色，故板块AB,C,。必定涂不同颜色.

①当板块E与板块C同色时，则板块EG与板块良。或板块3分别同色，共2种情况；

②当板块E与板块B同色时，则板块厂只能与。同色，板块G只能与C同色，共1种情况.

又板块AB,C,D颜色可排列，故共（2+1）xA：=72种.

故答案为：72

反思提升：

1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：

⑴一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.（2）对于较复杂的两个原理综

合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.

2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（2023•广东广州•模拟预测）小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备"小歌手"比赛他想要选出至少

一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，

则小明一共有（）种练习的方案.

A.31B.18C.21D.33

2.（2023•河北唐山•一模）将英文单词历""中的6个字母重新排列，其中字母6不相邻的排列方法共有

（）

A.120种B.240种C.480种D.960种

3.（2022・辽宁•二模）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了"底同

火不同，汤通油不通"它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象

成数学形状如图（同一类格子形状相同）：

16

“中间格"火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；

"十字格"火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；

“四角格"属文火，火力温和，适合婀菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放

入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同

时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）

4.（2023•云南昆明•模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代

表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围A8C。四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，

要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）

二、多选题

5.（2023•湖南•三模）已知一组数据：0,1,2,4,则下列各选项正确的是（）

A.该组数据的极差，中位数，平均数之积为10

B.该组数据的方差为2.1875

C.从这4个数字中任取2个不同的数字可以组成8个两位数

D.在这4个数字中任取2个不同的数字组成两位数，从这些两位数中任取一数，取得偶数的概率为（

三、填空题

6.（2023•河北保定•一模）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛

课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科

的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为.

7.（22-23高三•广东汕头•阶段练习）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10,则称

此四位数为“完美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中，奇数的个

17

数为—.

8.（2023・安徽•模拟预测）数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3

方格图（小正方形边长为1）,一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只

能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜

色变成另外一种颜色，比如选择（L1）变成绿色，则与之相邻的（0,1）,。,0）,（1,2）,（2,1）四个点也要变成

绿色，那么最少需要步，才能使得位于直线y=-x+3上的四个点变成绿色，而其他点都是红色.

参考答案:

题号12345

答案BBCDBD

1.B

【分析】根据练习唱歌的课间个数进行分类讨论，利用列举法来求得正确答案.

【详解】七个课间编号为1,2,3,4,5,6,7,

如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案，

若有两个课间练习，选法有{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,5},{2,6},{2,7},{3,6},{3,7},{4,7},

共10种方案，

三个课间练习,选法为{1,4,7},共1种，

故总数为7+10+1=18种.

故选:B

2.B

【分析】先排除6之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.

【详解】由题意可先排除匕之外的其余四个字母，有A：种排法，

再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b,有C；种放法，

故字母b不相邻的排列方法共有A：C；=24x10=240（种），

18

故选：B

3.C

【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.

【详解】由题可知中间格只有一种放法；

十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；

四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放

两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；

所以不同放法共有1X3X3=9种.

故选：C.

4.D

【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后

相加即可求解.

【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：

当种植的鲜花为两种时：A和C相同，B和。相同，共有A；=12种种植方法；

当种植鲜花为三种时：A和C相同或3和。相同，此时共有2C：A；=2x4x6=48种种植方法；

当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有A：=4x3x2x1=24种种植方法，

综上：贝IJ不同的种植方法的种数为12+48+24=84种，

故选：D.

5.BD

【分析】对于AB选项，根据极差、中位数、平均数、方差的求法计算即可；对于C选项，利用分步计数原

理计算即可；对于D项，根据古典概型计算即可.

【详解】由数据计算可得：该组数据的极差为4-0=4,中位数为（1+2）+2=1.5,平均数为（0+1+2+4）+4=1.75,

它们之积为4x1.5x1.75=10.5,故A错误；

方差为（0-1对+（1-1.75）2+（2-1.75）2+（4-1.75）2=2]875,故B正确；

4

先排十位数，有三种排法，再排个位数也是三种派发，故可以组成9个两位数，即C错误；

7

而组成的9个两位数其中只有21,41两个奇数，从中随机抽一数，抽到偶数的概率为x，故D正确.

9

故选：BD.

6.96

【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到

19

其他竞赛课程中即可.

【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，

贝U有：C=6种情况，

剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：

①2名同学选择1个学科竞赛则有：C：=4种情况，

②2名同学各选择1个学科竞赛则有C；C；=12种情况，

所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：

6x02+4)=96种情况，

故答案为：96.

7.44

【分析】分尾数为1，3,5,7,四种情况，每种情况下考虑有0,无。的情况，结合排列组合知识进行求

解，最后相加得到答案.

【详解】若尾数为工，前三位的数字为2,7,0,或0,3,6,或0,4,5时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行

全排列，故共有3C；A；=12个完美四位数，

若前三位数字为2,3,4时，则有A；=6个完美四位数；

若尾数为3,前三位的数字为0,1,6,或0,2,5时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，故共有

2c困=8个完美四位数，

若前三位数字为1,2,4时，有A；=6个完美四位数；

若尾数为5,若前三位数字为0」,4或0,2,3时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，共有2C；A；=8

个完美四位数，

若尾数为7,若前三位数字为0,1,2时，0放在百位或十位上，剩余两个数进行全排列，有C；A；=4个完美四

位数；

综上所述：共有12+6+8+6+8+4=44个完美四位数.

故答案为：44

8.4

【分析】先确定点的颜色，再根据题意分步求解即得结果.

20

【详解】由题意可知，需要使（0,3）,（1,2）,（2,1）,（3,0）变成绿色，其他点都是红色，

第一步：（0,3）变成绿色,则（0,2）,（1,3）也变成绿色;

第二步：（1,2）变成绿色，则（0,2）,（1,3）变成红色，（1,1）,（2,2）变成绿色；

第三步：（2,1）变成绿色，则（1,1）,（2,2）变成红色,（2,0）,（3,1）变成绿色;

第四步：（3,0）变成绿色,则（2,0）,（3,1）变成红色.

故答案为：4.

【能力篇】

一、单选题

1.（23-24高三上•山西•期末）某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生

不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（）

A.48种B.32种C.24种D.16种

2.（2023・四川雅安•一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有A,B,C,£）,E五

个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择

种数共有（）

A.420B.460C.480D.520

3.（2024•福建泉州•二模）2024年"花开刺桐城"闽南风情系列活动在泉州举办，包含美术、书法、摄影民间

文艺作品展览，书画笔会，文艺晚会等内容.假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某