2025年高考数学一轮复习讲义：二项式定理（原卷版）

专题60二项式定理（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................3

【考点1】展开式中的通项问题.................................................3

【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题..................................4

【考点3】二项式系数的最值问题..............................................5

【分层检测】................................................................6

【基础篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................8

考试要求：

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简

单问题.

:知识梳理

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a+b)n=C%"+C%'「%H-----h-------bC防"5eN*)；

(2)通项公式：Tk+i=C¥a"F眇,它表示第1+1项;

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数C2,CL…，CL

2.二项式系数的性质

性质性质描述

对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C—CQ

Yl~\~1

当左＜〃时，是递增的

二项式系2(©N*)

增减性

数an+1

当左＞2(〃©N*)时，是递减的

n

('

二项式当〃为偶数时，中间的一项1“取得最大值

系数最大值n-1»+1

当〃为奇数时，中间的两项，〃'与，"相等且取得最大值

3.各二项式系数和

(1)3+。)〃展开式的各二项式系数和：C2+CRC^——HC—名

⑵奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即cHcHcH-=cHcHc5

---=2"-1.

|常用结论

(a+0)”的展开式形式上的特点

(1)项数为n+1.

⑵各项的次数都等于二项式的募指数n,即。与6的指数的和为n.

⑶字母。按降嘉排列，从第一项开始，次数由〃逐项减1直到零；字母6按升嘉排列，从第

一项起，次数由零逐项增1直到机

⑷二项式系数从c2,ct一直到cL,a.

.真题自测

一、单选题

2

1.（2024•北京•高考真题）在k-石了的展开式中，V的系数为（）

A.6B.-6C.12D.-12

2.（2022•北京•高考真题）若（2彳一1）4=%/+的/+/尤2+aiX+a（），则%+的+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

二、填空题

3.（2024•全国•高考真题）+的展开式中，各项系数中的最大值为.

4.（2024・天津•高考真题）在+；]的展开式中，常数项为.

5.（2024・上海,高考真题）在（x+1）”的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为

6.（2023・天津•高考真题）在12尤3一:]的展开式中，/的系数为.

7.（2022•全国•高考真题）的展开式中x?/的系数为（用数字作答）.

8.（2022・浙江,[WJ考真题）已知多项式（％+2）（x-1）4=。0+〃]%++〃4冗4+，则。2=

%+%+%+〃4+〃5=

考点突破

【考点1】展开式中的通项问题

一、单选题

1.（2022•全国•模拟预测）己知（a+x）（l+J的展开式中，的系数为10,则实数。的值为（）

11

A.一B.一C.-2

22

2.（2022・广东•模拟预测）若〃是一组数据0,2,0,2的方差,的展开式的常数项为（

A.-210B.3360C.210D.16

二、多选题

3.（2022•江苏扬州・模拟预测）已知/（元）=（尤,则下列说法中正确的有（）

A.“X）的展开式中的常数项为84

3

B.的展开式中不含，的项

C.f（x）的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等

D./（元）的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项

22222022

4.（2022•江苏泰州•模拟预测）^（l+x）+（l+x）+•••+（1+x）°=•••+d!2022x,则（）

A.佝=2022B.2=C；o23

20222022

c.£（-1）4=-iD.Z（T）'%4=1

i=li=l

三、填空题

5.（2022・上海,模拟预测）在（1+36）3（1-哄门的展开式中，尤的系数为.

6.（21-22高三下•山东德州,阶段练习）在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为1:64,

则展开式的常数项为.

反思提升：

（1）求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，

指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数氏+1,代回通项公式即可.

（2）对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合

思想求解，但栗注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.

（3）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.

【考点2】二项式系数的和与各项系数的和问题

一、单选题

1.（2021・江西•模拟预测）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0,

则含/的项系数为（）

A.45B.-45C.120D.-120

2.（2022•山东德州・二模）己知。＞0,二项式1+/，的展开式中所有项的系数和为64,则展开式中的常

数项为（）

A.36B.30C.15D.10

二、多选题

3.（2022•福建龙岩•一模）已知二项式（«-工丫的展开式中各项系数之和是工，则下列说法正确的有（）

\128

4

A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项

C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项

4.（2022•广东深圳•二模）己知（2-x）8=%+%*+%彳2-----|_4彳8,贝।（

8

A.a0=2B.%+/+•••+%=1

C.同+同+同+…+同=38D.4+2a?+3/+,,,+84=—8

5.（2022•辽宁沈阳•一模）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为号，则二项展

开式中的常数项为.

6.（2022・湖南长沙•一模）已知（1一4到2必=%+qx+…+生必/期，贝1］3+学+学+…+翳•=.

反思提升：

1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一^中重要的方法，对形如（QX+6）",（“F+bx+c）"（Q,Z?£R）

的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.

2.若/OOuQo+aix+Qi/H----\~anxn,则於）展开式中各项系数之和为/（I）,奇数项系数之和为

III于⑴+/（-1）僖卅加岩用夕知为III于⑴一于（-1）

ao+a2+a4~\---------0,偶数项系数之和为41+。3+。5-1---------、.

【考点3】二项式系数的最值问题

一、单选题

1.（2022•山西临汾•二模）1«+幺丫的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（）

D.-2

2.（2024•安徽•二模）已知心-工］的展开式二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

、多选题

3.（2022•广东茂名•二模）已知［2工+力）的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）

A.所有奇数项的二项式系数和为2。B.所有项的系数和为3“

C.二项式系数最大的项为第6项或第7项D.有理项共5项

4.（2024高三下•河南•专题练习）已知章］（“cN*）的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,

5

且展开式的各项系数之和为2187,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64

B.展开式中存在常数项

C.展开式中含/项的系数为560

D.展开式中系数最大的项为672户

三、填空题

5.（21-22高三下•全国•开学考试）已知，2的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为;,

则展开式中最大的二项式系数值为.

6.（2024高三上•全国•竞赛）在（1+办『的展开式中，若V的系数为-56,贝匹=；若展开式中有且仅

有X4项的系数最大，则。的取值范围是.

反思提升：

二项式系数最大项的确定方法：当〃为偶数时，展开式中第W+1项的二项式系数最大，最大

值为°，，；当〃为奇数时，展开式中第亍项和第亍项的二项式系数最大，最大值为或

分层检测

【基础篇】

一、单选题

L（2024・北京怀柔・模拟预测）在,2—：］的展开式中，常数项是（）

9999

A.一B.——C.—D.——

4422

z1\23

2.（2023•江苏•二模）已知2'=%+色+$+...+粤+缘，则卷+今+…+等+%=（）

VX）XXXX222

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024•辽宁•一模）的展开式中W的系数为（）

A.55B.-70C.30D.-25

4.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）已知42°24能被9整除，则整数。的值可以是（）

6

A.-12B.-7C.9D.13

二、多选题

5.（2024•山西临汾・三模）在［2-次］的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为38

6.（2023•山东青岛•一模）在12犬-：|的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256

7.（23-24高二上,山东青岛•期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项

式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）

杨辉三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

14641

行

第5

第

6行15101051

第

7行1615201561

第172135352171

8行

第18285670562881

9行

第1193684126126843691

ot一

丁

第11104512021025221012045101

H一

丁115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

B.1+C"C"C=C；

C.第2020行的第1010个数最大

D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

三、填空题

556

8.（2023,河北•模拟预测）已知多项式（x—2）+（x—I），=/+H----1-a5x+a6x,贝！.

9.（22-23高二下•湖南•期末）在二项式］的展开式中只有第4