2025年高考数学一轮复习讲义：等差数列及其前n项和（解析版）

专题33等差数列及其前n项和（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................8

【考点1】等差数列的基本运算................................................8

【考点2］等差数列的判定与证明..............................................12

【考点3】等差数列的性质及应用..............................................19

【分层检测】...............................................................22

【基础篇】.................................................................22

【能力篇】.................................................................29

【培优篇】.................................................................36

考试要求：

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数的关系.

；知识梳理

1.等差数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个

数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：外+1—z=d(〃GN*,d为常数).

(2)等差中项：由三个数〃，A,〜组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时儿叫做

〃与6的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列｛〃〃｝的首项是ai,公差是d,则其通项公式为an—a\-\-(n—1)d.

n（几—1）dn（〃i+斯）

(2)前〃项和公式:Sn=M41+

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an—am-\-(n—m)d(n,

(2)若｛斯｝为等差数列，且左+/=加+几(左，I,m,几£N*),贝!J四+

(3)若｛斯｝是等差数列，公差为d,则以，ak+m,ak+2m,…(k,zn£N*)是公差为md的等差数列.

(4)若S九为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，则数列Sm,Sim~SmyS3加一S2加，…也是等差数列.

(5)若S〃为等差数列｛丽｝的前n项和，则数列［篇也为等差数列.

|常用结论

1.已知数列｛为｝的通项公式是z=p〃+q(其中.，q为常数)，则数列｛斯｝一定是等差数列，且公

差为p.

2.在等差数列｛板｝中，ai>0,d<0,则S存在最大值；若ai<0,d>0,则S存在最小值.

3.等差数列｛丽｝的单调性：当d>0时，｛诙｝是递增数列；当d<0时，｛服｝是递减数列；当d=

0时，｛斯｝是常数列.

4.数列｛a〃｝是等差数列QS,=A〃2+B〃(A,3为常数).

.真题自测

一、单选题

1.(2024・全国•高考真题)记S“为等差数列｛%｝的前"项和，已知S5=%,%=1，则％=()

2

2.（2024•全国•高考真题）已知等差数列｛4｝的前〃项和为'，若Sg=l,则%+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

3.（2023•全国•高考真题）记S“为等差数列｛q｝的前〃项和.若%+%=1。，。4〃8=45,则=（）

A.25B.22C.20D.15

<?

4.（2023•全国•高考真题）记S,为数列｛q｝的前〃项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛1｝为等差数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

二、填空题

5.（2024•全国•高考真题）记S“为等差数列｛%｝的前九项和，若4+4=7,3a2+a5=5,则儿=.

6.（2024•北京・高考真题）设｛鬼｝与抄“｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合

M=kl4=%#cN*｝,给出下列4个结论：

①若｛4｝与也,｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛4｝与｛2｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛4｝为等差数列，也“｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛%｝为递增数列，｛2｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

7.（2023•北京•高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来

测量物体质量的“环权己知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛%｝,该数列的前

3项成等差数列，后7项成等比数列，且％=1,%=12,%=192,则%=；数列也,｝所有项的和

为.

8.（2022•全国•高考真题）记S“为等差数列也｝的前〃项和.若2s3=3S?+6,则公差仁.

参考答案：

3

1.B

【分析】由S5=S]0结合等差中项的性质可得〃8=。，即可计算出公差，即可得生的值.

【详解】由Sl0—S5=。6+。7+。8+“9+”10=5〃8=。，则。8二。，

则等差数列｛%｝的公差d=曳黄=-g,故卬=%一4〃=1-4x1-gJ=(.

故选：B.

2.D

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成四和d来处理，亦可用等差数列的性质进行处

理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

QXQ

由Sg=l,根据等差数列的求和公式，S9=9q+-^-d=l=9q+36d=l,

22

3^,/+%=4+2d+q+6d-2q+8d——(9q+36d)=".

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，4+绐=4+%，由Sg=l，根据等差数列的求和公式，

9=9(4；%)=9(。3r7)=1,故%+

故选：D

方法三：特殊值法

19

不妨取等差数列公差"=。，则S9=1=94=>%=§,则〃3+。7=2。1=§.

故选：D

3.C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛凡｝的公差和首项，再根据前”项和公式即可解出;

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛q｝的公差，再根据前〃项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛q｝的公差为d,首项为生,依题意可得，

%+。6=G+d+"i+5d=10,即q+3d=5,

又能为=(G+3d)(6+7d)=45,解得：d=1吗=2,

Sx4

所以S5=54+^x1=5x2+10=20.

故选：C.

4

方法___.：%+4=2%=10,〃4〃8=45,所以〃4=5,/=9,

从而d=^^=l,于是生=。4-4=5-1=4,

8-4

所以S5=5%=20.

故选：C.

4.C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第几项的关系推理判断

作答.，

【详解】方法1,甲：｛%｝为等差数列，设其首项为由,公差为d,

r।cn(n-Y),Sn-1,ddS.2=4

贝US=nctyH-------d,—n=qH-----d=—〃+Q],一〃+i

n2n2212〃+1n2

因此｛'｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之，乙：｛2｝为等差数列，即号詈_&=码+1:1I电为常数,设为乙

nn+1nn(n+l)〃(〃+l)

na.—S

即~~^=’，贝(IS,,+W=(«-1)«„-1-n(n-1),n>2,

n(n+l)

ana

两式相减得：n=n+i~(n—l)an—2tn,gpan+1-an=2t,对〃=1也成立,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛氏｝为等差数列，设数列｛%｝的首项为,公差为d,即S“=〃6+”尸d,

则2=弓+色=+因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

qqqq

反之，乙：｛存｝为等差数列，即T-二=O,i=S]+（〃-1）0,

nn+\nn

即S“=+〃（〃一1）0,=（〃一1）百+5—1）（〃一2）0,

当〃22时，上两式相减得：S“一=S[+2（〃-l）。，当〃=1时，上式成立,

于是。〃=%+2(n—V)D,又an+i—an=ax+2nD-[q+2(n—1)Z>]=2D为常数,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

5.95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出qS,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.

5

fa+2d+a+3d=7｛n——4

【详解】因为数列%为等差数列，则由题意得“》＜，解得：,，

[3(%+d)+%+44=5[a=3

1f)xO

贝ij百0=10%+^—d=10x(—4)+45x3=95.

故答案为：95.

6.①③④

【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的

特征及反证法可判断③的正误.

【详解】对于①，因为｛%｝,｛〃｝均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，

而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故①正确.

对于②，取a“=2"T也=-(-2)",则｛%｝,但｝均为等比数列，

但当〃为偶数时，有4=2"T=〃=-(-2)I,此时M中有无穷多个元素，故②错误.

对于③,设勿=Aq"(Aq*0,qw±l),a“=kn+b(k于0),

若加中至少四个元素，则关于〃的方程A/=加+6至少有4个不同的正数解，

若4＞0应力1,贝|由＞=Aq"和y=初+6的散点图可得关于n的方程Aq-=kn+b至多有两个不同的解，矛盾;

若q＜0应W±1,考虑关于n的方程Aq"=kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，

当Aq-=切+匕有偶数解，此方程即^A\q\'=kn+b,

方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时A-n际＞0,

否则女ln|@＜0,因y=A|q「,y=5+6单调性相反,

方程司司"=初+6至多一个偶数解，

当Aq-=kn+b有奇数解,此方程即为-川同"=kn+b,

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-A6n0＞0即A乂n际＜0

否则A—川同＞0,因y=-则”,y=切+6单调性相反，

方程山城=切+6至多一个奇数解，

因为〃1川同＞0,AZln|q|＜0不可能同时成立，

故A/=初+6不可能有4个不同的整数解，即河中最多有3个元素，故③正确.

对于④，因为｛4｝为递增数列，｛〃｝为递减数列，前者散点图呈上升趋势，

6

后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨

论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.

7.48384

【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解4,，进而可求得结果；方法二：根据

等比中项求生,%,在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.

【详解】方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为4>0,

4Qq192

贝i]q=-=—=16,且q>0,可得q=2,

a512

贝|J〃3=l+2d=~即l+2d=3,可得d=l,

q

空1：可得〃3=3,%=%/=48,

…c63（1-27）

仝2：q+4+L+%=l+2+3+3x2+…+3x26=3+；.，=384

方法二：空L因为{%},3<〃<7为等比数列，则〃；=%%=12x192=482,

且4>0,所以%=48；

又因为。；=。3。7，则。3=%=3;

%

空2：设后7项公比为4>0,则屋=%=4,解得q=2,

a3

r/曰3（%+%）工a3-a9q3-192x2OO1匚匚〜

可得q+〃2+。3=---------=6,〃3+〃4+〃5+。6+%+。8+%=-=---------------=381,所以

21-q1-2

q+4+L+%=6+381—%=384.

故答案为：48；384.

8.2

【分析】转化条件为2（4+W）=2q+d+6,即可得解.

【详解】由283=382+6可得2（%+%+%）=3（4+。2）+6,化简得2%=4+。2+6,

即2（q+2^Z）=2q+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

7

■考点突破

【考点1】等差数列的基本运算

一、单选题

1.（2024•四川攀枝花三模）数列｛q｝的前〃项和为S“，6=-1,也=S,+w（“-l）（〃eN*）,设么=（_1）"风,

则数歹!）｛"｝的前51项之和为（）

A.-149B.-49C.49D.149

2.（2024•陕西安康•模拟预测）已知在正项等比数列｛4｝中，«4=16,且名』0e成等差数列，贝U-

（）

A.157B.156C.74D.73

二、多选题

3.（2024•贵州毕节三模）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且邑=4S2，%,=2a.+l（"eN*）,则（）

2

A.an=2n-lB.Sn=n

c.数列的前〃项和为£D.数歹U｛%+2"｝的前〃项和为2向+/一2

4.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知各项都是正数的数列｛〃“｝的前〃项和为S“，且S"=4+A，则下列结

论正确的是（）

A.当〃？>"（桃〃eN*）时，am>anB.Sn+Sn+2<2Sn+i

C.数列席｝是等差数列D.S“-gzln〃

三、填空题

5.（2024•湖北襄阳•模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某

校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段A8,作一个等边三角形

ABC,然后以点5为圆心，A3为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点。（第一段圆弧），再以点C为

圆心，。为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧......

以此类推，当得到的"蚊香”恰好有15段圆弧时，"蚊香"的长度为.

蚊香

8

6.(2024•内蒙古・三模)假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个

正常细菌和1个非正常细菌)，非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌).若1

个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为.

参考答案：

1.B

【分析】由〃〃与S”的关系，结合等差数列的通项公式求得4=2〃-3,即可得到a=(—1)〃(2几-3),再由并项

求和法计算可得.

【详解】因为〃牝=5,+〃(〃一1)(〃£N*),

当〃>2时，nan=n(Sn-Sn_1)=Sn+<n-l),

即5-1)S“-nSn_x=n(n-1),

可得2-辿=1，又学=%=-!,所以是以-I为首项，1为公差的等差数列，

nn-11InJ

w

所以，=—1+〃—1=〃-2,贝(〃—2),

n

当2时=仇-1)(〃-3),

所以4=一S〃T=n(ji-2)-(w-l)(n-3)=2n-3,当〃=1时4〃=2〃—3也成立,

所以2=(T)"a“=(-1)"(2〃-3),

可得数列也｝的前51项之和为(1+1)+(-3+5)+...+(-95+97)-99=2X25-99=T9.

故选：B.

2.D

【分析】由等比中项性质求得名=4,由等差中项性质得%=32,根据等比数列通项公式基本量运算求得

。=2,进而求解%+%+%即可.

【详解】由等比中项性质知名=m2=4.

由生/吟成等差数列，得20=%+，，所以%=32,

所以等比数列｛%｝的公比=2,所以%=1|=1,%=434=8,出=%</=64,

所以％+2+%=73.

故选：D.

3.ABD

【分析】由等差数列的性质和前〃项和公式可求出"=20=1,可判断A；由等差数列｛%｝的前〃项和公式

9

可判断B；由裂项相消法可判断C；由分组求和法可判断D.

【详解】对于A,设等差数列｛4｝的首项和公差为q,d,

4x31

所以S4=44H—-—d=4S2=4(2%+d),化简可得：=—d9

又因为%〃=2%+1,则%=2q+l,

所以a1d—a1+2q—2〃]+1,所以d—2,a1—1,

所以为=6+(〃一l)d=l+2(〃-1)=2〃-1,故A正确；

2

对于B,Sn=nax+—^―-d=n+n(n-l)=n,故B正确；

1_1_1(1______]

对于C，anan+l(2n-l)(2n+l)212〃一12n+1j

所以数歹]的前〃项和为:自一-n

故C错

aa

[„„+lJ2(335572n+l

误;

对于D,令2=4+2"=(2〃-1)+2",

所以数列｛%+2'｝的前"项和为：(1+3+5+……+2»-1)+(21+22+23+...+2")

」(1+2〃-1)+2(1-2")=〃2+2用_2,故D正确.

21-2

故选：ABD.

4.BCD

【分析】计算数列首项及第二项可判定A,利用等差数列的定义及S“,％的关系可判定C,从而求出S”的通

项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D.

【详解】对A,由题意可知％=争5=d=1,所以4=1,

21

则…=5+五=>蜡+2%-1=0,所以%=0-l<q,故A错误;

对C,由s〃=++/-=>S,1

nS；-S3=l(〃22),故C正确;

22(Sfj

对C,所以S；=l+(〃-l)="=>S"=«,

则s.+S“+2=〃■+旧工<2『号2=2s用，故B正确；

1/-11

对D,易知S〃一T一至，令/(%)=%----21nx(x>l),

10

贝U/'(x)=1+3-2=(工—20,贝I]/(X)单调递增，

所以/(%)之/⑴=0n«一~，之ln〃，即S〃一/之In*故D正确.

7几»〃

故选：BCD

5.80兀

兀

【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为2茎，半径5满足/1=5+1,6=1,结合等差数列的通项

公式和求和公式分析运算.

【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为三，

设第〃段圆弧的半径为5，则可得*=5+1北=1,

故数列上｝是以首项4=1,公差d=l的等差数列,

贝房=1+〃T=〃，

则"蚊香"的长度为

2兀2K27r27r/\27r15x(1+15)

-----KH-------K.+…H-------片=石(/+0+…+电)="yx=80K

313232

故答案为：807t.

6.217/131072

【分析】设经过"小时，有。“个正常细菌，2个非正常细菌，则〃用=24,,bn+l=an+2bn,由等比数列的

性质求出｛见｝的通项公式，再证得|与｝是与首相和公差均为g的等差数列，即可求出抄“｝的通项公式，进

而求出答案.

【详解】设经过“小时，有凡个正常细菌，2个非正常细菌,

则%+i=2%,bn+1=an+2bn.

又％=2,4=1,所以%=2”，bn+1=2bn+2",

AZ?1h1

则"=2+_L,所以也一组=_L,

7J2n+iT2”2〃讨2n2

所以［上:是首项和公差均为3的等差数列，

LL..b11/t\〃

所以=一~F—(〃-1)=一,

T22V72

所以么="•2"-1,所以％+%=04+14X2”=16X213=217.

故答案为：2。

反思提升：

11

1.等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量m,an,d,n,S”，知其中三个就能求另

外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而ci和d是等差数列的两个基

本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

【考点2】等差数列的判定与证明

一、解答题

1.（2024・四川自贡•三模）已知数列｛%｝的前项和为S“，且

⑴证明：数列｛%｝为等差数列；

（2）若%,均，知成等比数列，求S,的最大值.

2.（2024・重庆•三模）已知在数列｛q｝中，“产14+1=3].

⑴求证：数列是等差数列，并求数列｛%%+J的前W项和S.；

（2）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且——-,bcosC+ccosB=-2acosA,求AAFC面

%+ian

积的最大值.

4111cp,

3.（2024•四川绵阳•模拟预测）已知---+---+…+------=2--------（WGN<H>1,〃为常数）.

a\a2。2a3anan+l〃〃+1

⑴数列｛4｝能否是等比数列？若是，求生的值（用P表示）；否则，说明理由；

（2）已知q=。=1,求数列｛4｝的前〃项和S..

4.（2024•全国•模拟预测）已知数列也,｝的前几项和为S,，，且满足a“+l=d,〃eN*,a5=9.

n

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）已知4包=（a„+*）•2",求数列也｝的前“项和】.

5.（2024•广东深圳一模）设S”为数列｛见｝的前〃项和，已知％=4/=20,且为等差数列.

⑴求证：数列｛氏｝为等差数列；

（2）若数列也｝满足伉=6,且驾=詈，设1为数列也｝的前〃项和，集合V=KM，eN*｝,求M（用列

举法表示）.

6.（23-24高三上・北京东城•期末）若有穷数列A：…>4）满足：at+=c（ceR,z=1,2,•••,n）,

则称此数列具有性质R.

12

(1)若数列A：-2,4,%，2,6具有性质月,求的，4，。的值；

(2)设数列A具有性质《，且4</<•••<〃”,”为奇数，当4，%>0(lWi,1/W〃)时，存在正整数3使得

%一生=飙,求证：数列A为等差数列；

⑶把具有性质R，且满足|%1+%力=〃2为常数)的数列A构成的集合记作4(〃M).求出

所有的"，使得对任意给定的北。，当数列AeZ5，〃z)时，数列A中一定有相同的两项，即存在

o;=aj(/wj,l<i,j<n).

参考答案：

L(1)证明见解析

(2)78

【分析】(1)根据%=5"-5"_"〃之2)作差得到为-%7=-1,结合等差数列的定义证明即可；

(2)根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出生,即可得到｛4｝的通项公式，结合｛%｝的单调性及求

和公式计算可得.

【详解】(1)数歹£%｝满足5"一"q=3"5-1)①，

当“22时，有S,T-(〃-1)%-=：(〃一1)(〃一2)②，

(J)—(2)可得：S”-S,T-na“+(〃-l)a“_]=-n(n—1)--(n—1)(>?—2),

即(l-n)a„+(/7-l)a„_1=1(n-l)[n-(n-2)],

变形可得4-④4=-l(M>2),

故数列｛4｝是以-1为等差的等差数列；

(2)由(1)可知数列｛凡｝是以-1为等差的等差数列，

若生,a9,0n成等比数列,则有4=%一%1，

即(q-8)2=(%-4)(q-10),解得％=12,

所以+(〃_l)d=13_〃，

所以｛%｝单调递减，又当"〃<13时，an>0,当”=13时，%=0,当九>13时，an<0,

故当”=12或13时，S.取得最大值,

13

且⑸L=几=%=12X12+智X(-1)=78.

n

2.⑴证明见解析,—

(2)T

【分析】（1）根据已知条件，由等差数列的定义写出｛,｝的通项公式，进而可得｛q，4+J的通项公式，应用

an

裂项相消法求前”项和S“即可；

（2）根据题设三角恒等式，结合正弦定理得sinA=-2sinAcosA,由三角形内角性质求角A,由余弦定理

及基本不等式求品的范围，应用三角形面积公式，求AABC面积的最大值.

11+2。1c11-

【详解】（1）由题意，一=——-=—+2,即-------=2

%an4+i4

为等差数列：首项工=1,公差d=2,

11

二.一=2n-lf贝ijan=------,

2n—l

.二由正弦定理，有sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA,.

即sin(B+C)=sinA=—2sinAcosA,又A£(0,兀),sinA>0,

.1PA2%

/.cosA=—,即mA=—

23

11c

由。=-------=2,

%+lan

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bc-cosA=b2+c2+bc，.

.-.a2=4>3bc,即当且仅当b=c=时取等号，

33

5ABe=—^c-sinA=^-bc<^---=，即0ABe面积最大值为.

“ABC244333

3.(D{%}不可能是等比数列，理由见解析

⑵=”eN,且〃21.

14

【分析】（1）利用。，与s”的关系计算可得。向-。“=’力0（〃分2）,结合等差、等比数列的定义即可下结论;

P

[1,n=l

（2）由（1）可得见=,,结合等差数列前“项求和公式计算即可求解.

IH-l,n>2

111cp

【详解】（1）已知—+——+…+-----=2—

111cp

当“22时，——+——+--•+-----=2--,

«1«2a2a3an-\an4

Jp___p1。(q+1-q)

两式相减得:=

anania“aaaaa

+n+ln„+1n„+l

显然P*0,所以=3#。（〃力2）.

于是｛%｝可能是等差数列，若又是等比数列，则｛4｝必为非零常数数列，则4+「%=0,

因。向-。“=5片0,故｛%｝不可能是等比数列.

（2）由⑴知—=：=1（心2）,且9=2-1,即％=>]a2=l.

1,n=1

1、c，所以当〃=1时，S1=4=1.

n-1,n>2

、“八c(火1)n(n-l)

当M22,=q+%+/■*---1■%,=1+-----------=-----+1.

一22

n(n—]]

而当〃=1时，&=4=1,所以S”=—-----+1,HGN,且

2

4.⑴%=2〃-1

(2)北=(〃_1>2角+2

【分析】（1）根据题意结合。“与S”之间的关系可得收=（〃-1）%+|+1,利用等差中项可得数列｛4｝为等差

数列，进而求4，d;

（2）由（1）可得%2"，利用错位相减法运算求解.

2V

【详解】（1）因为。,+1=--,2S„-na=n,贝I]2s2-（n+l）-="+1,

nn

两式相减并整理得啊,=（H-l）a„+1+1,则（〃+1）%+1="4+2+1，

两式相减整理得a„+。,+2=2an+l,

所以数列｛4｝为等差数歹!J.

15

当”=1时，251-％=1,所以4=1.

设等差数列{%}的公差为d,

因为。5=%+4d=9,解得d=2,

所以为=1+2(〃-1)=2〃-1.

(2)由(1)可得42=(%+%+)2"=4分2",则或=〃2,

贝IJ7；=1x2+2x2?+…+小2”,27；=1x22+2x2'+…+〃.2用，

可得-1=2+22+23+―+2"-小2向=^^--n-2"+1=(l-n)-2"+1-2,

所以r=(〃一1)-2角+2.

5.(1)证明见解析

(2)M={6,8,9,10,11}

【分析】（1）设等差数列的公差为d,由题意可得H+3d=5、S]+2d=4,解得。=2,d=l,结合

。“=S「3-求得4=2n[neN*）,即可证明；

Z?,I〃j121c/11、/RT*\

（2）由（1）可得请M^=工，根据累乘法可得么，=7^八=12（———）«eN，结合裂项相消求和法

v7

bnn+2n^n+1）nn+1

计算即可求解.

【详解】⑴设等差数列[叫的公差为d,则斗=鼻+3（即S[+3d=5,①

[nJ41

因为52=%+g=51+4,所以由'=｝+1，得d+2d=4.②

由①、②解得S1=2,d=l,所以2="+1,即邑=〃m+1）,

当儿22时，an=S〃一Sn_]=n(n+l)-(fz-l)n=2n,

当〃=1时，q=S]=2,上式也成立，所以a〃=2〃（〃£N*）,

所以数列｛%｝是等差数歹！J.

(2)由(1)可知卧=区=2n_n

b

„a,+22〃+4n+2

b=红&…刍也上X三

当时,-x—x6=-----

"b"_\b"_2b\n+1n3n(n+l)

因为4=6满足上式，所以“=瑞pl2（l±）（〃N）

16

因为当geN*时,"=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}.

6.(1)2；2；4

⑵证明见详解

(3)〃=4A：+2(Z:eN*)

【分析】（1）由数列A:-2,%,%2,6具有性质金的定义可得；

（2）由数列具有性质R的定义和等差数列的定义可得.

（3）分〃=4左+2,eN*）、〃=4M^eN*）和〃=4左+3,eN*）三种情况讨论即得.

【详解】（1）由已知可得数列A共有5项，所以〃=5,

当i=］时，有。［+。5=_2+6=4,

当，=2时，有%+g=%+2=4,所以4=2,

当i=3时，有。3+%=4,所以〃3=2,

（2）数列A具有性质《，且%<%<…〈。〃,〃为奇数，令〃=2左+1,

可得ak+l=。，

设2V.<以+1=0〈%+2<%+3<・・・〈出心1，

由于当4.吗>0（1<，"《九）时，存在正整数3使得%•一4•=%,

所以以+3—以+2，4+4—以+2，％:+5—以+2…，。2Z+1—W+2这%—1项均为数列A中的项，

且°<ak+3~%+2<ak+4—ak+2<ak+5~ak+2…<。2左+1-%+2<。2%+1，

因此一"定有%+3—以+2=。左+2，以+4~ak+2=%+3，％+5—%+2=%+4,…，％Z+1一%+2=。2左，

即ak+3~ak+2=ak+2，%+4—%:+3=%+2，以+4—4+3=〃攵+2，…，。2女+1一。2左=4+2，

这说明：％+2，%+3，%+，・・，。2"1为公差为以+2的等差数列，再数列A具有性质不，

以及以+1=0可得，数列A为等差数列；

（3）当〃=4女+2（k£N*）时，

设A：%，〃2，“3，04L，。2"1，〃2左，Q2A+1，〃24+2，02H3，〃2无+4，.­，〃4左+1，〃4k+2

由于数列具有性质E,且满足|。2"1+%&|=m，

17

ama

由\2k-\+%J=和ik-i+a2k=c,得c=±〃z,

当。=机时，不妨设弓+的=根，此时：a2=m-ai,a4k+l=a1,此时结论成立,

当c=r篦时，同理可证，所以结论成立.

当"=4左（［<N*）时,不妨设c=0,机=1,反例如下：

-2k,2k-l,-2k+2,2k-3,---X~t2,---,-2k+3,2k-2,-2k+l,2k,

当"=4上+3peN*）时，不妨设。=0,机=1,反例如下：

（-1）“,•（4+1）,（-［）・•忆・••，一1,0,1,_2,・一（_1）人2-（左_1）,（-1）"1上,（_1）°（左+1）

综上所述，〃=4左+2仅eN*）符合题意.

【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：

（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；

（3）将已知条件代入新定义的要素中；

（4）结合数学知识进行解答.

反思提升：

1.证明数列是等差数列的主要方法：

（1）定义法：对于〃三2的任意自然数，验证如一0一为同一常数.即作差法，将关于以一1的a”

代人的；一所-1,再化简得到定值.

（2）等差中项法：验证2a,i=a"+a”_2（”N3,”©N*）都成立.

2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：

（1）通项公式：an=pn+q（p,q为常数）Q｛。"｝是等差数列.

⑵前〃项和公式：Sn=An2+Bn（A,3为常数）=｛a〃｝是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.

【考点3】等差数列的性质及应用

一、单选题

1.（2024・山西运城•三模）已知数列｛%｝是等差数列，g%-%=2,则%+%（）-4=（）

A.4B.-2C.-4D.-8

2.（2023•吉林白山•模拟预测）若等差数列｛q｝的前“项和为S",且满足$4043〉034044<0,对任意正整数"，

都有同斗」，则小的值为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

二、多选题

18

3.（23-24高二上•河北石家庄•阶段练习）关于等差数列｛%｝和等比数列也“｝,下列四个选项中正确的有（）

A.等差数列｛%｝,若m+n=p+q,则%

B.等比数列也｝,若4•%=%•%,ljl!|m+n=p+q

C.若5,为数列｛%｝前〃项和，则s”,邑”-5“,邑“-,2,,仍为等差数列

D.若S“为数列也｝前〃项和，则3$,-S“,SM-S2,,仍为等比数列

4.（2024•辽宁•二模）设｛4｝是等差数列，