2025年高考数学一轮复习讲义：导数与函数的单调性（原卷版）

专题16导数与函数的单调性（新高考专用）

目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................2

【考点突破】................................................................3

【考点1］不含参函数的单调性.................................................3

【考点2】含参函数的单调性..................................................4

【考点3］根据函数的单调性求参数............................................6

【考点4】函数单调性的应用..................................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培优篇】.................................................................10

考试要求：

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

.知识梳理

L函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

rw>o次均在（a,加上单调递增

函数y=段）在区间（a，

rw<oHx）在（a,力上单调递减

。）上可导

rw=o人x）在（a,力上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域;

第2步，求出导函数/（X）的雯点；

第3步，用的零点将五x）的定义域划分为若干个区间，列表给出了（x）在各区间上的正负，

由此得出函数在定义域内的单调性.

|常用结论

1.若函数1x）在区间（a,b）上递增,则/（九）20,所以'了（x）＞0在（a,上成立”是“外）在（a,

。）上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数人S，'了（xo）=O”是“函数人为在x=xo处有极值”的必要不充分条件.

.真题自测

一、单选题

1.（2023・全国•高考真题）已知函数〃x）=ae'-Inx在区间（1,2）上单调递增，则。的最小值为（）.

A./B.eC.e-D.e'2

-.“317

2.（2022•全国•高考真题）已矢口—,Z?=cos-,c=4sin-,贝(J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

3.（2022•全国•高考真题）设a=0.Ie。」,b=—9c=-ln0.9,贝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

已知函数/（x）7+；,g（x）=sinx,则图象为如图的函数可能是（）

4.（2021•浙江•高考真题）

2

y

A.>=/(x)+g(x)-JB.y-)一

4

c.y=f(x)g(x)D.

二、多选题

5.(2022・全国•高考真题)已知函数/(x)及其导函数八x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若(|-2x

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g]-]=°C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空题

6.（2023•全国,高考真题）设。e（0,1）,若函数"x）="+（l+a），在（0,+向上单调递增，则a的取值范围

是.

电考点突破

【考点1】不含参函数的单调性

一、单选题

1.（2024・四川成都•三模）已知函数”元）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，〃x）=x（l-Inr）,则当x<0

时，〃x）的单调递增区间为（）

A.（f-e）B.（-e,0）

C.（f0）D.（-1,0）

二、多选题

2.（2024•河南南阳•模拟预测）已知函数〃力=/-2小觉-1,则（）

A.若曲线y=/（x）在（1,/。））处的切线方程为>=2犬-2,则。=2

B.若a=l,则函数〃尤）的单调递增区间为。,内）

C.若a>0,则函数f（x）在区间[1,+8）上的最小值为q2-2alnq-l

D.^xe[l,^»）,/（x）>0,贝心的取值范围为（一8』

3

三、填空题

3.（2024•四川成都三模）已知函数〃x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，〃x）=x（l—Inx）,贝悄尤＜0

时，f（x）的单调递增区间为—.

四、解答题

4.（2024•安徽马鞍山•三模）已知函数/（x）=31nx+a（尤2+25）-4，直线/在，轴上的截距为3,且/与曲线

y=〃尤）相切于点（1"⑴）.

⑴求实数。的值；

⑵求函数〃尤）的单调区间与极值.

5.（2024•黑龙江哈尔滨三模）已知函数=

⑴求在处的切线；

⑵比较出2将02目3与-力1的大小并说明理由•

20244047

6.（2024,北京西城一模）已知函数〃彳）=犬+111（词+上馆'，

⑴当a=i时，求曲线y=在点（1,〃3处切线的斜率；

（2）当4=-1时，讨论“X）的单调性；

⑶若集合｛x"（x）2-1｝有且只有一个元素，求a的值.

反思提升：

确定函数单调区间的步骤：

（1）确定函数火X）的定义域；

（2）求了（X）;

（3）解不等式/（x）＞0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式/（劝＜0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

【考点2】含参函数的单调性

一、单选题

1.（2022,全国•模拟预测）己知函数y=是定义域为R的奇函数，且当x＜0时，〃x）=x+£+l.若函

数y=〃x）在口，+8）上的最小值为3,则实数。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

4

2.(2023•全国模拟预测)已知函数〃x)=x-alnx,其导函数为尸(x),下列结论正确的是()

A.7'(%)在(。,+℃)上单调递增

B.当。>e时，有两个零点

C.一定存在零点

D.若存在x产尤2，有/(%)=/(%)，贝1Ja>0

三、填空题

3.(2023・广东广州•模拟预测)已知函数〃尤)=e2-2a(尤-2”-〃尤2(4>0)恰有两个零点，则。=

四、解答题

4.(23-24高三下•江西,阶段练习)已知函数/(x)=/-#+x(aeR).

(1)若。=1,求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)若a>B讨论/(X)的单调性.

5.(23-24高三下•湖北武汉•阶段练习)已知函数/(x)=lnr-依+日

⑴若a=-l,求曲线y=/(x)在点(L〃l))处的切线方程；

⑵讨论〃尤)的单调性.

6.(2024•河南・二模)已知函数/(x)=alnx-2x+a(aw0).

⑴讨论的单调性；

12

(2)若ae'i-一f(x)—-xNO对任意x>0恒成立，求。的取值范围；

aa

in1

(3)证明：—£e；>ln折由+L

反思提升：

1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；

若不能因式分解，则需讨论判别式/的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义

域内.

2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如汽用=%3,/(%)=3X2O(f(x)=0在x=0时取

到)，人S在R上是增函数.

【考点3］根据函数的单调性求参数

一、单选题

5

L(23-24高二上•福建南平•阶段练习)已知函数〃x)=lnx-依在区间［1,3］上单调递减，则实数。的取值范

围为()

I、11

A.B.tz>1C.一D.a>—

33

二、多选题

2.(2024•广东茂名•一模)若/(力=-+3+；尤2+2了+1是区间(〃L1,M+4)上的单调函数，则实数比的值可

以是()

A.-4B.-3C.3D.4

三、填空题

3.(22-23高二下广西•期中)若函数〃尤)=+尤在［1,3］存在单调递减区间，则。的取值范围为

四、解答题

4.(2024•安徽芜湖•二模)已知函数f(x)=lnx+?-依，aeR

⑴若〃x)在定义域内是减函数，求。的取值范围；

(2)当a<g时，求〃尤)的极值点.

5.(2023•全国•模拟预测)己知函数〃x)=e*+ax-6,其中e为自然对数的底数.

⑴若在区间。,2］上不是单调函数，求。的取值范围.

(2)当xNO时，〃无)21+；_?_万恒成立，求a的取值范围.

6.(2024高三下,全国•专题练习)已知函数〃x)=J(lnx)2-%.

⑴若F(x)在(0,+“)上单调递减，求实数。的取值范围；

(2)若〃x)的最小值为6,求实数。的值.

反思提升：

根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在(a,0)上单调，则区间(a,。)是相应单调区间的子集.

(2)成x)为增(减)函数的充要条件是对任意的xG(a,0)都有/(x)N0(/(x)W0),且在(a,0)内的任

一非空子区间上，不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【考点4】函数单调性的应用

一、单选题

1.(2024•全国•模拟预测)若a=b=~,。=手，则。，b,c的大小顺序为()

e22e4

6

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

二、多选题

2.（2023•江苏•三模）三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦

表"，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多

涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是

（）

A.sin3>sin1cos1B.tan1>—

2

C.ln(cosl)<sin(cos

三、填空题

3.（2024高三•全国•专题练习）已知函数〃尤）的定义域为（0,+8）,且满足川（力+海〃引=1（/'（X）为函

O1

数“X）的导函数），/卜2）=4，若存在xe-,2，使得2x+〃，则实数。的取值范围为_______.

e_e

四、解答题

4.（2023•山东•模拟预测）已知函数〃x）（xeR）及其导函数广⑺满足广（力+/（力=葭，且/⑼二」.

⑴求小）的解析式，并比较/图,/（cosj,/'sin：］的大小；

（2）试讨论函数g⑺=/⑺+cosx在区间［0,可上的零点的个数.

5.（2024•河南开封•二模）已知函数〃x）=ln尤—4.

X

（1）讨论/'（X）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

（2）函数g（x）=£；若方程〃x）=〃g（x））在无J。,：］上存在实根，试比较外片）与Int的大小.

1-x\）4

zl9-

xx

6.（23-24高三下•浙江杭州•阶段练习）已知函数=+――--m,g（＜x^=e+e.

⑴当〃2=0时，证明:/（x）＜e-x；

（2）x＜0,g（x）4f,求f的最小值；

⑶若在区间（0,+动存在零点，求加的取值范围.

反思提升：

1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利

用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.

2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在人x）与了（X）

的不等关系时，常构造含人%）与另一函数的积（或商）的函数，与题设形成解题链条，利用导数

7

研究新函数的单调性，从而求解不等式.

■分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（23-24高二下•北京•阶段练习）已知函数/（x）=2x—sinx,则下列选项正确的是（）.

A./(2)</(?!)</(e)B./（7t）＜/（e）＜/（2）

C./(e)</(2)</(7r)D./(2)</(e)</(7t)

2.（23-24高二下•四川凉山,期中）函数/«=尤111》-2尤的单调递减区间是（）

A.(0,e)B.C.(e,+<»)D.(l,e)

11

3.（23-24高二下•重庆渝北•期中）若函数心）=11-5奴2―21在（5,2）上存在单调递减区间，则实数，的

取值范围为（）

A.[-1,+co)B.(-l,+oo)

C.[0,+8)D.(0,+a)

4.（23-24高二下•天津,期中）已知函数/⑺=；/+--依+i在R上单调递增，则实数。的取值范围为（）

A.（-co,-l]B.（-co,-l）C.（-1,+co）D.[-1,+ao）

二、多选题

5.（23-24高二下,重庆,阶段练习）设函数在R上可导，其导函数为尸（x）,且函数y=。-同/⑺的

图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.函数“X）在（2,+8）上为增函数

B.函数"%）在（-2,1）上为增函数

C.函数〃尤）有极大值"2）和极小值〃1）

D.函数/'（%）有极大值/'（-2）和极小值/'（2）

8

6.(23-24高二下•安徽合肥・期中)已知函数/。)=尤3+依2+法+，，下列结论中正确的是()

A.3x0eR,/(xo)=O

B.函数/(x)的值域为R

C.若不是/⑺的极值点，则r(%)=0

D.若为是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-co,Xo)单调递减

三、填空题

7.(21-22高二下•天津滨海新•阶段练习)已知函数〃%)=%2-3%+5,g(x)=2«x—lnx,若对X/xe(0,e),初，

尤2e(O,e)且％*%，使得/(x)=g(xj[=l，2),则实数a的取值范围是.

8.(23-24高二下•湖北•期中)若函数/(x)=ge2，+办+。在区间(0,+向上单调递增，则实数。的取值范围

为.

9.(23-24高二下•江苏•期中)如果定义在R上的函数/(口=加+加+X的单调增区间为(-M),那么实数

a+人的值为.

四、解答题

10.(23-24高二下•北京■期中)已知函数4x)=ae"-2x—l.

⑴当a=l时，求曲线y=〃x)在点(0,〃0))处的切线方程；

(2)当尤＞0时，若曲线y=/(x)在直线丁=-％的上方，求实数。的取值范围.

11.(23-24高二下•江西宜春•期中)己知函数〃x)=lnY+f+办+2在点(2"(2))处的切线的斜率为g

⑴求

⑵求〃x)的单调区间和极值.

k

12.(23-24高二下•江苏•期中)设函数〃x)=lnx+7kwR.

⑴若曲线y=/(x)在点(e〃e))处的切线与直线x=2垂直，求k的值：(其中e为自然对数的底数)；

(2)在(1)的条件下求的单调区间和极小值：

⑶若g(x)=〃x)-x在(。，用)上存在增区间，求人的取值范围.

【能力篇】

一、单选题

1.(2024•辽宁•二模)已知定义在R上的函数/(x)=e，-e-',设。=207./。方)，*=,

9

c=-log071.25./(log070.8),则a,b,c的大小关系是()