2025年高考数学一轮复习：不等式恒成立、能成立问题【七大题型】解析版

不等式恒成立、能成立问题【七大题型】

►题型归纳

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题1...............................................2

【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】.............................................3

【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】...........................................5

【题型4基本不等式求解恒成立问题】.........................................................7

【题型5一元二次不等式在实数集上有解问题】................................................10

【题型6一元二次不等式在某区间上有解问题】................................................II

【题型7一元二次不等式恒成立、有解问题综合】..............................................13

►命题规律

1、不等式恒成立、能成立问题

一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，”含参不等式恒成立与能成立问题”

是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、

综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数

与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养

其思维能力都起到很好的作用.

►方法技巧总结

【知识点1不等式恒成立、能成立问题】

1.一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式办2+6x+c>0,它的解集为

R的条件为4

3—<0；

一元二次不等式OX2+6X+CN0,它的解集为R的条件为乜;心；.wn

H一伏一、0；

一元二次不等式ox2+/>x+c>0的解集为0的条件为］:(亶'0

2.一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成

立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的

范围，谁就是参数.

①若aN+Zzx+c〉。恒成立，则有a>0,且△<()；若ax2+bx+c<Q恒成立，则有a<Q,且△<().

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3.给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求

谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列

式求解.

4.常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

(1)对任意的xe[加用,。次x)恒成立今。次琮™工；

若存在x[m,n],。次无)有解=>。次加；

若对任意x[m,n],a次x)无解今a勺⑴,”加.

(2)对任意的xG[私用，。勺(x)恒成立今。勺(X),”而；

若存在xG[m,n],。勺(x)有解分a<fix)max-,

若对任意X6[加，司,。勺(X)无解"a

►举一反三

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

【例1】(2023―福建厦门二模)“66(0,4)”是“以61那一版+1>0成立，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由V"eR,bx2-bx+l>0成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【解答过程】由VxeR,6久2—bx+1>0成立，则当b=o时，1>o恒成立，即b=o,

当bKO时,{b2解得。(寸<4,

因此V久£R,bx2—bx4-1>0成立时，0W6<4,

因为(0,4)□[0,4),所以“bG(0,4)”是“以eR,bx2-bx+1>0成立”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-1](2023•江西九江•模拟预测)无论x取何值时，不等式久2—2—+4>0恒成立，则k的取值范围

是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-4)C.(-4,4)D.(-2,2)

【解题思路】由题知4k2—16<0,再解不等式即可得答案.

【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式好—2依+4>0恒成立，

所以，4k2—16<0,解得一2<k<2,

所以，k的取值范围是(一2,2)

故选：D.

【变式1-2](2023•福建厦门•二模)不等式a久2—2久+1>0(aeR)恒成立的一个充分不必要条件是(

1

A.a>2B.a>1C.a>1D.0<a<-

【解题思路】

分a=。和a丰0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【解答过程】当a=0时，―2久+1>0,得与题意矛盾，

当a小。时,则｛八—:<o>解得a>1,

综上所述，a>1,

所以不等式a/—2久+1>0(a6R)恒成立的一个充分不必要条件是A选项.

故选：A.

【变式1-3](2023•四川德阳•模拟预测)己知p：0Wa<2,q,任意x6R,a/—a久+120,则〃是q成立

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q：0<a<4,结合充分、必要条件的概念即可求解.

【解答过程】命题q：一元二次不等式a/—a%+120对一切实数x都成立，

当a=0时，1>0,符合题意；

当a片。时，有｛晨〉即｛02雪/0,解为a6(0,4],

•••q：0<a<4,又p：0<a<2,

设4=[0f2]fB=[0,4],则4是8的真子集,

所以夕是9成立的充分非必要条件，

故选：A.

【题型2一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】

【例2】(2023•辽宁鞍山•二模)已知当久>0时，不等式：刀2—爪乂+16>0恒成立，则实数小的取值范围

是()

A.(-8,8)B.(-00,8]C.(-00,8)D.(8,+8)

【解题思路】先由/—TH%+16>0得??1<%+,，由基本不等式得工+?之8,故0V8.

【解答过程】当%>0时，由％2—血工+16>0得TH<%+至，

X

因x>0,故比+与22Jxx§=8,当且仅当“当即x=4时等号成立，

因当%>0时，znV%+至恒成立，得mV8,

X

故选：C.

【变式2-1](23-24高一上•贵州铜仁・期末)当x6(—1,1)时，不等式2依2—依―?<0恒成立，则k的取值

范围是()

A.(-3,0)B.[-3,0)C.D.(-3,1]

【解题思路】

对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.

【解答过程】当％6(—1,1)时，不等式2k依一(<0恒成立，

当k=0时，满足不等式恒成立；

当kH0时,令f(%)=2kx2—kx-则f(%)<0在(—1,1)上恒成立，

函数/(X)的图像抛物线对称轴为X=p

k>0时，/(x)在(—13)上单调递减，在Q,l)上单调递增,

/(-l)=2fc+fc-1<01

则有解得o<fc<-

/(l)=2fc-fc-1<0o；

o

k<0时，/(x)在(—上单调递增，在(；,1)上单调递减,

G2fk3

有c

-----<O

16-4-8解得一3<fc<0.

综上可知，女的取值范围是(一3,-

故选：D.

【变式2-2](23-24高一上・江苏徐州•阶段练习)若对于任意即+1],都有/+根久—1<。成立，则

实数机的取值范围是()

A.(-|,0)B.(一孝,0)

C[—利D-[-T'°]

【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.

【解答过程】由题意，对于1]都有/'(%)=久2+血％—1<0成立，

.[/(m)=m2+m2-1<0罐得._y/2

"\f(m+1)=(m+l)2+m(m+1)—1<0?用牛你，2n'

即实数血的取值范围是(一旁,0).

故选：B.

【变式2-3](22-23高一上•安徽马鞍山•期末)已知对一切*6[2,3],yG[3,6],不等式一孙+步？。

恒成立，则实数小的取值范围是()

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【解题思路】令t=(,分析可得原题意等价于对一切te[1,3],m—/恒成立，根据恒成立问题结合二

次函数的性质分析运算.

【解答过程]“6[2,3],ye[3,6],贝心晶],

e[1,3],

又—xy+y2>0,且久G[2,3],X2>0,

可得小

x

令t=5e[l,3],则原题意等价于对一切te[1,3],巾2/：一步恒成立，

...y=[一七2的开口向下，对称轴t=g

则当t=1时，y=t一产取到最大值ymax=1-12=0,

故实数小的取值范围是爪>0.

故选：C.

【题型3给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】

【例3】(23-24高一上•山东淄博•阶段练习)若命题，H—lWaW3,a比2一©a—l)x+3—a<0”为假命

题，则实数x的取值范围为（）

A.{x|—1<%<4]B.^%|o<x<||

C.卜1—1W久W0或9<xW41D.卜1—1W久<0或|<久W41

【解题思路】由题意可得：命题"v—lWaW3,a%2一（2a—l）x+3—a20”为真命题，根据恒成立问题结

合一次函数运算求解.

【解答过程】由题意可得：命题"V—1<a<3,ax2—（2a—l）x+3—a>0”为真命题，

即a/_（2a-l）x+3-a=（x2-2x-l）a+x+3>0对aG[一1,31恒成立,

则{3^-2x-S+x+3^，解得一1<久<。或"x<明

5

即实数'的取值范围为卜I—1<X<o或<X<4

--3---

故选：C.

【变式3-1]（23-24高一上•广东深圳•阶段练习）当时，mN一小久一1<0恒成立，则实数久的取

值范围是（）

A.

22

B.

C.

22

D.

【解题思路】将不等式整理成关于m的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果.

【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m的一次函数。2—%）加一1V0,

f(x2—x)xl—1<0即]x2—x—1<0

由一次函数性质可知t(x2-x)x2-l<0,即匕/-2x-1<0;

厘<x<1+V5

解得鬲，综合可得等<无<等;

22

故选：B.

【变式3-2]（23-24高一下•河南濮阳・期中）已知当一IWaWl.时，久2+g―4）x+4—2a>0恒成立，则

实数％的取值范围是（）

A.(—00,3)B.(—oo,l]U[3,+oo)

c.(_8,i)D.(—8,1)U(3,+oo)

【解题思路】将%2+(a—4)x+4—2a>。化为(久—2)a+x2—4x+4>0,将a看成主元，令/'(a)=(%—2)

a+x2-4x+4,分x=2,久>2和x<2三种情况讨论，从而可得出答案.

【解答过程】解：/+(a—4)x+4—2a>0恒成立，

即(x—2)a+/—4x+4>0,对任意得a€[—1,1]恒成立，

令/(a)=(%—2)。+/—4x+4,ae[—1,1],

当％=2时，/(a)=0,不符题意，故万不2,

当%>2时，函数f(a)在aG[一1,1]上递增，

则/(a)min=f(—1)=—X+2+x2—4x+4>0,

解得％>3或x<2(舍去)，

当％<2时，函数<a)在a€1,1]上递减,

则f(a)min=/(I)=X—2+X2—4x+4>0,

解得X<1或X>2(舍去),

综上所述，实数x的取值范围是(—8,1)U(3,+OO).

故选：D.

【变式3-3](2008•宁夏•高考真题)已知的>a2>>0,则使得(1—a/)2<1。=1,2,3)都成立的丫取

值范围是()

A-(%)B.(0谓)C.(0*)D.(0谓)

[解题思路]由(1一◎咨)2<1可求得oV%V>0),

2

【解答过程】由(1—a㈤2<i,得：1—2atx+a?x<1,

即—2ttj)<0,解之得0<x<~{cti>0),

因为>。2>。3>0，使得(1一a/)2<l(i=1,2,3)都成立，

2

所以。<X(不；

al

故选：B.

【题型4基本不等式求解恒成立问题】

【例4】(23-24高一下•贵州贵阳•期中)对任意的久6(0,+8),必一2爪％+1〉o恒成立，则小的取值范围

为()

A.[1,+oo)B.(-1,1)C.(—8,1]D.(-oo,l)

【解题思路】参变分离可得27n<%+，寸任意的xe(0,+8)恒成立，利用基本不等式求出％；的最小值，

即可求出参数的取值范围.

【解答过程】因为对任意的X6(0,+8),*2-2nlX+1>0恒成立，

所以对任意的xe(0,+8),2m<?=x+3亘成立，

又X+工2211=2,当且仅当x=±即比=1时取等号，

xyjXx

所以2mV2,解得zn<l,即m的取值范围为(-8,1).

故选：D.

【变式4-1](22-23高三上・河南・期末)已知a>0,bER,若久>。时,关于％的不等式(a%—2)(/+6%—5)

20恒成立，贝必+?的最小值为()

A.2B.2V5C.4V3D.3近

【解题思路】根据题意设y=—2,y=x25,由一次函数以及不等式(a%—2)(/+取:-5)20分

析得x时，y=/+6x—5=0,变形后代入b+*然后利用基本不等式求解.

【解答过程】设丫=。％—2(%>0),y=x2+bx—5(%>0),

因为a>0,所以当0<%<(时，y=ax—2<0；

当％=，时，y=ax—2=0；

2

当久>，时'y=a%—2>0；

由不等式(ax-2)(/+日―5)2。恒成立，得：｛/f最m0或｛久2丁晟^^()，

即当时，/+bx—540恒成立，

当%>:时，x2+bx—5>。恒成立，

所以当x=：时，丫=%2+以—5=0,则2+号—5=0,即6=苧—|,

则当a>0时，fe+-=^--+-=^+->2l^x-=2V5,

a2aa2a72a

当且仅当竽=：,即a=等时等号成立，

所以6+:的最小值为2遍.

故选：B.

【变式4-2](23-24高三上•山东威海•期中)关于x的不等式a%2—.|+2a20的解集是(—8,+8),则实

数a的取值范围为()

A.降+8)B,(—8,同C.[—率同D.(_8,一同U惇,+8)

【解题思路】不等式a/—1%|+2aN0的解集是(一8,+8),即对于a/—阳+2。20恒成立，即

a2悬，分4=0和a40两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.

【解答过程】解：不等式Q%2-|X|+2a>0的解集是(一8,+8),

即对于V%GR,ax2—\x\+2a>0恒成立，

即a>吉匕，

当％=0时，a>0,

当aH0时，a>=|%|+_|_,

万

因为1啊3诉1=今

所以a2*,

综上所述ae[¥，+oo).

故选：A.

【变式4-3](23-24高一上•湖北•阶段练习)已知x>0,y>0,且击-1+]1=2"，若久+2+y>租2+5小恒成

立，则实数小的取值范围是()

A.(-4,7)B.(-2,7)C.(-4,2)D.(-7,2)

【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合％+2+y>m2+5小恒成立得到不等式,

解一元二次不等式求参数范围

【解答过程】因为％>0,y>0,且击1+歹1=也7

所以无+2+y=gxQ+2+y)(++^)=lx(1+1+^2+学)

>|x(2+2信.力=14,当且仅当y=x+2=7时取等号，

又因为％+2+y>m2+5zn恒成立，

所以14>m2+5m,

解得一7Vzn<2.

所以实数m的取值范围是(-7,2).

故选：D.

【题型5一元二次不等式在实数集上有解问题】

【例5】(2024•陕西宝鸡•模拟预测)若存在实数x,使得nt/一(小一2)%+加<0成立，则实数机的取值范

围为()

A.(一叫2)B.(―8,0]U&3

C.(-8,|)D.(-oo,l)

【解题思路】分别在爪=0,m>0和爪<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.

【解答过程】①当巾=0时，不等式化为2x<0,解得：%<0,符合题意；

②当m>0时，y=mx2—(m—2)x+TH为开口方向向上的二次函数，

只需△=(m—2)2—4m2=—3m2—4m+4>0,即0Vm<天

③当m<0时，y=mx2—(m—2)x+6为开口方向向下的二次函数，

则必存在实数%,使得mN-(m_2)x+m<0成立；

综上所述：实数小的取值范围为(—00,|).

故选：C.

【变式5-1](22-23高一上•内蒙古兴安盟•阶段练习)若关于光的不等式久2—4x—2—aW0有解，则实数a

的取值范围是()

A.{a\a>—2}B.{a\a<—2}C.{a\a>—6}D.(a\a<—6]

【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.

【解答过程】若关于对勺不等式/—4%—2—aW0有解，

则4=16+4(2+a)>0,解得a>-6.

故选：C.

【变式5-2](23-24高一上•山东临沂•阶段练习)若不等式—必+a久—1>。有解，则实数a的取值范围为

()

A.a<—2或a>2B.—2<a<2C.a力士2D.1<a<3

【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.

【解答过程】不等式一/+必—1>0有解，即不等式/一奴+1<0有解，

因此A=a2—4>0,解得a<—2或a>2,

所以实数a的取值范围为a<—2或a>2.

故选：A.

【变式5-3](23-24高一上•江苏徐州•期中)己知关于x的不等式一支2+4*2a2—3a在R上有解，则实数a

的取值范围是()

A.{a|—1WaW4}B.{a[—1<a<4}

C.{a\a>4或a<—1}D.{a|—4<a<1}

【解题思路】由题意知/-4%+a2-3a<0在R上有解，等价于A>0,解不等式即可求实数a的取值范围.

【解答过程】因为关于％的不等式—/+4%>a2—3a在R上有解，

即/-4%+a2-3a<0在R上有解，

只需y=x2-4x+a?-3a的图象与%轴有公共点，

所以/=(—4)2—4x(a2—3a)>0,

即a2—3a—4W0,所以(a—4)(a+1)W0,

解得：—1<a<4,

所以实数a的取值范围是{a|—1WaW4},

故选：A.

【题型6一元二次不等式在某区间上有解问题】

【例6】(2023•福建宁德•模拟预测)命题Jxe[1,2],/w或为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a>1B.a>4

C.a>-2D.a<4

【解题思路】根据能成立问题求。的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.

【解答过程】••,3%e[1,2],X2<a,则(%2)min<a,即a21,

-''a的取值范围[1,+co)

由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[1,+8)的真子集，

结合选项可知B对应的集合为[4,+8)为口,+8)的真子集，其它都不符合，

符合的只有B,

故选：B.

【变式6-1](22-23高二上・河南•开学考试)设。为实数，若关于》的不等式/—5+720在区间(2,7)上

有实数解，则a的取值范围是()

A.(—oo,8)B.(—8,8]C.(—oo,2V7)D.(―8,弓)

【解题思路】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.

【解答过程】由题意，因为％6(2,7),故QW%：在区间(2,7)上有实数解，则+，又9(%)=%+

x'X,max

彳在(2,")上单调递减，在(77,7)上单调递增，且9(2)=2+:=?,g(7)=7+：=8>g(2),故

7

<8.故aWx+i在区间(2,7)上有实数解则a<8.

故选：A.

【变式6-2](23-24高一上•福建•期中)若至少存在一个x<0,使得关于x的不等式3—|3久一可>/+2久

成立，则实数a的取值范围是()

A.(一%)B,(—3片)C.(一日片)D.(—3,3)

【解题思路】

化简不等式3—|3x—a|>"+2%,根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a的

取值范围.

【解答过程】依题意，至少存在一个工<0,使得关于％的不等式3—|3第一可>/+2%成立，

即至少存在一个工<0,使得关于工的不等式一%2—2x+3>|3x—a|成立，

画出y=—x2—2x+3(%<0)以及y=13%—可的图象如下图所示，其中一/—2%+3>0.

当y=3x—。与y=—x2—2x+3(%<0)相切时，

由｛y='1打3消去y并化简得了+5x-a-3=0,

37

△=25+4a+12=0,a=-不

当y=—3%+a与y=—%2—2x+3(%<0)相切时,

由｛y=3消去'并化简得了一%+a—3=0①，

由△=1—4a+12=0解得a=果代入①得/一汽+；=(%—=0,

解得》=今不符合题意.

当y=-3%+a过(0,3)时，a=3.

结合图象可知a的取值范围是(一冬,3).

故选：A.

【变式6-3](22-23高一上•江苏宿迁•期末)若命题“VxoC(O,+8),使得密+ax()+a+320”为假命题,

则实数a的取值范围是()

A.(—8,—2),(6,+8)B.(—oo,—2)

C.[-2,6]D.[2—77,2+77]

【解题思路】根据题意可知“三配e(0,+oo),使得超+ax0+a+3<0”为真命题，然后参变分离，将问题转

化为最值问题，利用基本不等式可解.

【解答过程】因为“Vxo6(0,+oo),使得就+ax0+a+3>0”为假命题，

所以叼Xoe(0,+00),使得郎+ax0+a+3<0”为真命题,

即。<一鬻在(°，+8)内有解，即。〈(一鬻)■

因为一阴=_=_(+1_2+工)W—2,

X

%o+lo+J-Vux0+l/

当且仅当Xo=1时等号成立，

所以(一宅)=—2,所以实数。的取值范围为(一8,—2).

、xo+1'max

故选：B.

【题型7一元二次不等式恒成立、有解问题综合】

【例7】(23-24高一上•山东潍坊•阶段练习)已知关于％的不等式2x—1>爪(久2—1).

(1)是否存在实数小，使不等式对任意XCR恒成立，并说明理由；

(2)若不等式对于me[—2,2]恒成立，求实数x的取值范围；

(3)若不等式对xG[2,+8)有解，求ni的取值范围.

【解题思路】

将2%—1>m(x2—1)转化为Hi/—2%+(1—m)<0,

(1)讨论爪=0和m丰0时的情况；

(2)/(m)=(x2-l)m-(2x-l),显然该函数单调，所以只需｛/当；鲁°即可.

(3)讨论当7n=0时，当mVO时，当zn>0时，如何对工£[2,+8)有解，其中血<0,m>0,均为一元

二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.

【解答过程】(1)

原不等式等价于mN—2x+(1—m)<0,

当m=0时，―2久+1<0,即x>：,不恒成立；

当m*0时，若不等式对于任意实数x恒成立，

则m<0且△=4—4m(l—m)<0,无解；

综上，不存在实数小，使不等式恒成立.

(2)

设/'(m)=(%2—l)m—(2%—1),

当me[一2,2]时，f(rri)<0恒成立，

当日仅当(/(2)<0即12%2—2x—1<0

当且仅刍(——2)<0'即I—2/-2x+3<0'

1~V31W3

解得；<-1-^7->-1+V7即呼<“<等，

所以工的取值范围是(二用，喑.

(3)

若不等式对久€[2,+8)有解，

等价于％E[2,+8)时，mx2—2x+(1—m)<0有解.

令g(%)=mx2—2x+(1—m),

当m=0时，―2%+lVO即%>：,此时显然在％E[2,+8)有解；

当m<0时，％E[2,+8)时，结合一元二次函数图象，—2汽+(1—血)<0显然有解；

当m>0时，y=g(%)对称轴为％=、，△=4—4m(l—m)=4m2—4m+4=(2m—l)2+3>0,

%G[2,+8)时，mx2—2x+(1—m)<0有解，

结合一元二次函数图象，易得：9(2)<0或『12募。，

fm>1

解得m<l或^^<工(无解)，

又,:m>0,

/.0<m<1;

综上所述，ni的取值范围为(一8,1).

【变式7-1](23-24高一上・江苏扬州•阶段练习)设函数y=a/—(2a+3)x+6,a€R.

(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：

(2)当a=1时，Vt>-2,关于久的不等式yW-3x+3+m在[-2用有解，求实数m的取值范围.

【解题思路】(1)利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解；

(2)根据已知条件及二次函数的性质即可求解.

【解答过程】(l)y+2>0恒成立，即。*2一(261+3户+8〉0恒成立，

O

当a=0时，-3x+8>0,解得x<]舍去；

<a<

当a丰0时,{4a2_20a+9<0,解得2l

(2)当a=l时，Vt>—2,关于%的不等式y4-3%+3+??1在[-2月有解，

则一2是久2—2x+3—m<0的解，

因为抛物线y=%2-2汽+3开口向上，对称轴％=1,

所以11—mW0,解得mN11,

所以血的取值范围为[11,+oo).

Q-1

【变式7-2](23-24高一上•浙江台州•期中)已知函数/'(x)=2/一4%+a2—4,g(x)-x2—x+a2—

(aER)

(1)当a=1时,解不等式/'(x)>g(x)；

(2)若任意久〉0,都有/(x)>gQ)成立，求实数a的取值范围；

(3)若\/田€[0,1],3x2€[0,1],使得不等式f(xi)>9(冷)成立，求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)作差后解一元二次不等式即可.

(2)解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；

解法二：分离参数，构造函数k=x+^,利用基本不等式求解最值即可求解；

(3)把问题转化为/(X)min>g(%)min，利用动轴定区间分类讨论即可求解.

27

【解答过程】(1)当a=l时，/(%)=2x2—%—3,gQx)=x2—x——

所以f(x)—9(%)=久2+?>0,所以f(x)>g(x),所以f(x)>g(x)的解集为R.

(2)若对任意x>0,都有/⑺〉g(x)成立，即%2+(1一口"+号>0在％>0恒成立，

解法一：设h(x)=%2+(1—a)久+学，%>0,对称轴％=一，由题意，只须h(x)min>0，

①当等W0,即a01时，依)在(0,+8)上单调递增，所以g)>h(0)=5符合题意，所以awl；

②当?>0,即a>l时，h(x)在(0,与%)上单调递城，在(手，+8)单调递增，

所以仅%)>%(三)=一色券+?>。，解得1—危<a<1+VI困a>1,

所以1<a<1+V15.

综上，a<1+V15.

解法二：不等式可化为(a-1)%</+泉即a-l<%+*设忆=%+^|,x>0,

由题意，只须a—1Vk(X)min，k=x+2lx-=V15,

74x

当且仅当万=葛即3苧时等号成立，则kmin=VI^,

所以a—1<V15,即。<1+V15.

(3)若对任意的6[0,1],存在X2C[0,l]，使得不等式f(Xi)>g(X2)成立，

即只需满足fCOmin>g(x)min，XE[0,1],

g(x)=x2-x+a2-y,对称轴x=g,。(久)在[of递减，在g,l]递增，

g(x)min=g(9=a?—8,/(x)=2x2—ax+a2—4,xG[0,1],对称轴x=*

就WO即aWO时，f(x)在[0,1]递增，/COmin=f(0)=口2—4>g(x)min=a2-8恒成立；

②0<(<l即0<a<4时，/(X)在[o,3递减，在G，l]递增，

f(%)min==/2-4,g(x)min=—8,所以92一4>。2-8,故0<a<4;

22

就21即a24时，f(x)在[0,1]递减，/(x)min=y(l)=a-a-2,g(x)min=a-8,

所以a?—a—2>a?—8,解得4Wa<6,综上：aC(—8,6).

【变式7-3](23-24高一上•山东威海•期中)已知函数〃X)=x2—(a+3)*+6(aeR)

(1)解关于x的不等式/(久)<6-3a；

(2)若对任意的xe[1,4],f(x)+a+520恒成立，求实数。的取值范围

(3)已知g(x)=mx+7—3m,当a=l时，若对任意的久ie[1,4],总存在亚e[1,4],使/(久力=。(冷)成立,

求实数心的取值范围.

【解题思路】(1)由不等式/(%)W6—3a转化为(x—3)(x—a)W0,分a<3,a=3,a>3讨论求解；

(2)将对任意的久e[1,4],f(%)+a+520恒成立，转化为对任意的xe[1,4],a(x—1)W/-3尤+日恒

成立，当x=l,恒成立，当xe(1,4]时，aW(x—1)+言一1恒成立，利用基本不等式求解；

(3)分析可知函数/(尤)在区间[1,4]上的值域是函数9(©在区间[1,4]上的值域的子集，分m=0、m<0.

m>0三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数小的不等式组，综合可得出实数小的取值范

围.

【解答过程】(1)因为函数/(%)=%2-(a+3)%+6(aER),

所以/(汽)<6—3a,即为％2—(a+3)x+3a<0,所以(％—3)(%—a)<0,

当a<3时，解得a<久<3,当a=3时，解得久=3,当a>3时，解得34黑工a,

综上，当aV3时，不等式的解集为第〈3},当Q23时，不等式的解集为{%|3工XW吗

(2)因为对任意的工£[1,4]/(%)+。+520恒成立，所以对任意的工€[1,4],a(%—1)4/-3%+11恒成

立，

当％=1时，049恒成立，

所以对任意的Xe(l,4]时，aw(x—1)+腺一1恒成立，

令Q—1)+9一122](%一1).高一1=5,当且仅当％—1=言，即x=4时取等号，

所以aW5,所以实数。的取值范围是(一8,5]

(3)当a=l时，/(x)=X2-4x4-6,因为所以函数/'(%)的值域是[2,6],

因为对任意的56[1,4],总存在“26[1,4]>使/(均)=9(冷)成立，

所以TO)的值域是g(x)的值域的子集，

(m>0

当?n>0时，g(x)6[7—2m,m+7],贝必7—26<2,解得m>-

lm+7>62

(m<0

当mV0时，g(x^)6[m+7,7—2m],则[7—2mN6,解得mW—5,

Im+7<2

当m=0时，g(x)e{7},不成立；

综上，实数"?的取值范围(一8,—5]U[|,+8).

►过关测试

一、单选题

1.(2023•河南•模拟预测)已知命题F&e[-1,1],一盘+3乂0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是

A.(-8,-2)B.(—8,4)C.(-2,+8)D.(4,+oo)

【解题思路】由题知1,1]时，a>（%2-3x0）min）再根据二次函数求最值即可得答案.

【解答过程】解：因为命题“三久0e[-1,1卜一/+3沏+a>0”为真命题，

所以，命题叼尤0e[-1,1],a>W-3尤0”为真命题，

所以，xoea>（就一3出）min，

因为，y=/_3%=（%一|）-p

所以，当工€[—1,1]时，ymin=-2,当且仅当x=1时取得等号.

所以，沏€[—1,1]时，a>（就一3x°）min=—2,即实数a的取值范围是（一2,+8）

故选：C.

2.（2024・浙江•模拟预测）若不等式k/+（k—6户+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）

A.2</c<18B.-18<fc<-2

C.2<fc<18D.0<k<2

【解题思路】分类讨论k=0与k彳0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.

【解答过程】当k=0时，不等式依2+（k—6）x+2>0可化为—6x+2>0,显然不合题意；

当k牛。时，因为k/+（fc—6）%+2>0的解为全体实数，

所以｛△=（k—#~04kx2<0,解得2<卜<18；

综上：2<k<18.

故选：C.

3.（2023•辽宁鞍山•二模）若对任意的xe（0,+8）,%2—爪％+1>°恒成立，贝的取值范围是（）

A.（—2,2）B.（2,+8）C.（—8,2）D.（—8,2]

【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.

【解答过程】（0,+8）,%2—血％+1>0=772<%+工，而当%>0时，X+->2lx--=2,当且仅当

xxy]x

%=2即x=l时取等号，

则mV2,所以加的取值范围是（一8,2）.

故选：C.

4.（2023•宁夏中卫•二模）已知点4（1,4）在直线=l（a>0,b>0）上，若关于t的不等式a+b>t2+5t+3

恒成立，则实数t的取值范围为()

A.[—6,1]B.[—1,6]

C.(—8,—1]U[6,+oo)D.(—8,—6]U[1,+oo)

【解题思路】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a+b的最小值，从而将问题转化92t2+5t+3,

解之即可.

【解答过程】因为点力(L4)在直线?+r=l(a>0,b>0)上，

所以/=L

故a+Z)=(a+b)@+3=《+竽+5之2^^+5=9,

当且仅当?=7且!+?=1,即a=3/=6时等号成立，

因为关于t的不等式a+b>t2+5t+3恒成立，

所以92t2+5t+3,解得一6W1W1,

所以te[-6,1].

故选：A.

5.(23-24高二上•山东潍坊•阶段练习)若两个正实数x,y满足工+?=2,且不等式x+(<爪2一血有解,

则实数机的取值范围是()

A.(—1,2)B.(—8,—2)U(1,+8)

C.(一2,1)D.(—8,—l)U(2,+8)

【解题思路】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.

【解答过程】％+衿蛆+以“》=41+1+左+同

>1(1+1+2)=2,要使得不等式久+3V血2一7n有解，只需加2一7n>2有解即可，

解得m>2或者zn<—1,

故选：D.

6.(23-24高一上•全国•单元测试)不等式2必—+y2之o,对于任意1<I<2及14y43恒成立，则

实数Q的取值范围是()

A.{a|a<2V2}B.{a\a>2V2}

x

【解题思路】由于在不等式2久2-axy+y2>0中出现两个变量，对其进行变形令t=亍则转化为含参数t的不

等式2t2—矶+120,在te上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可.

【解答过程】由ye[1,3],则不等式2%2—a孙+y220两边同时乘以能不等式可化为：2停丫—哨+1*

令t=：,则不等式转化为：2t2-at+l>0,在上恒成立，由2t2-at+120可得aW安1即aW

忸+1.，

CJ

Lmin

又2t+：22J2txl=2也当且仅当1=日时取等号，所以当"争寸，2t+：取得最小值2也

故可得a<2V2.

故选：A.

7.（2023•江西九江•二模）已知命题p：3x6/?,x2+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数a的取值范围

为（）

A.（1,+co）B.[1,+co）C.（—8,1）D.（—C