2025年高考数学压轴题训练：数列通项的求法（学生版+解析）

专题2数列通项的求法

考情分析

新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革，数列解答题的难度增加，作为压轴题出现

的概率变大，求数列的通项是数列中的最基本的题型，也是高考中的热点，本专题总结求数列通项的18种

类型,供大家参考.

解题秘籍

(一)等差数列求通项

若给出｛%｝是等差数列，求凡，通常是利用方程思想整理出关于q与d的方程，解方程(组)，求出％与d，再利

用通项公式求4.

[例1](2024届贵州省六盘水市高三下学期三诊)已知｛为｝为等差数列，且%=34冯+%+%4=%。+24.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵若2"/N%+%++。“恒成立,求实数2的取值范围.

【解析】⑴设数列间的公差为4则根据题意可得葭+I7f+9"24.

=4

解得/0,则。“=2"+2.

[a=2

(2)由(1)可知运用等差数列求和公式，得到S“=4+0++a„=n2+3n,

又2"/+-+。“恒成立，则恒成立，

设f(*=则于5+D-/W=，

当〃=1时,=即/(2)>/⑴；

当"22时,-r-〃+44-2,则/("+1)-<0,则/(〃+1)</(〃)；

则〃叫「/■⑵，故於"2)=|,

故实数力的取值范围为

2

(-)等比数列求通项

若给出｛%｝是等比数列，求％，通常是利用方程思想整理出关于q与q的方程，解方程(组)，求出为与q,再利

用通项公式求4.

【例2】(2024届陕西省富平县高三第二次模拟)已知等比数列｛?｝的各项均为正数，前w项和为S“，且满足

+a2=3,S4—15,

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛优｝满足bn=an+(-1)"(3n-l)，求数列也｝的前2〃项和②

【解析】(1)设等比数列｛4｝的公比为4(4＞。),由q+%=3及邑=15.

得“3+&=q2)=12,

解得4=2,于是q+。2=3%=3,即％=1,

所以数列｝的通项公式是«„=砧1=2-1.

(2)由(1)知也=2"-'+(-1)"(3w-l),

所以岂”=(1+2+2?++22"-1)+[(-2+5)+(-8+11)++(-6n+4+6n-l)]

1_92n

=--------1-3〃=22n+3几一1.

1-2

(三)累加法求通项

若给出an+l—an=bn，且｛"｝刖n项和可求，则可利用累加法求an：=q+(生-q)+(%-。2)+.+(“〃一％)

(n＞2),｛£｝通常为等差数列、等比数列或可裂项求和的数列.

【例3】已知数列｛叫是等差数列，且％=T，数列也｝满足2-2―=a”(心2,〃eN*),且仿=4=1.

⑴求数列抄/的通项公式；

(2)将数列｛4｝,｛〃,｝的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列｛%｝,求数列｛cn｝的通项公式；

⑶设数歹的前”项和为北,证明：北＜"

lcJ4

【解析】(1)由题意可知打-4=%，即dT=T,故4=0,

由a-A=%,可得生=1,

所以数歹也｝的公差d=2,所以q=-l+2（〃-2）=2“-5,

由2-b,i=a,,b,i-b—=a,r，,b2-bx=a2,

叠加可得£8=4+%++%=（"T）y

整理可得，=/一4〃+4,（〃大2）,当〃=1时,满足上式，

所以b”=n2-4n+4-

（2）不妨设金=2（m,〃eN*）,即2—一5=（〃一2。可得加=（-一心+5

当〃=2k,[keN*）时,m=2/_秘+|,不合题意，

当”=2左一L,eN*）时,加=2左2-6左+7=2左（左一3）+7eN*,

所以dI在数列｛4｝中均存在公共项,

又因为仇=4＜么＜•，所以%=为用=（2“T）2.

⑶当〃=1时,1=14,结论成立,

1111(11}

当心2时£=两了<(2"2)x2”=案-1力，

所以(<l+；］l_g+；_g+5_^<5

44〃4

综上所述,方＜;

（四）累乘法求通项

若给出嗅="，且｛bn｝前n项乘积可求，则可利用累乘法求an：4=《•生•”.•旦（〃22）,凡｝通常为等

%a?〃〃一1

比数列或皿型的数列.

【例4】（2024届新疆高三下学期第三次适应性检测）若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的

新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1,3,27,729,........已知数列｛4｝是一个二阶

等比数列,％=1,“2=4,。3=64.

（1）求｛为｝的通项公式；

n+2

⑵设、=~-T--------，求数列也,｝的前〃项和S,,.

,logZ4+1

【解析】⑴设手=c“，由题意得数列｛5｝是等比数列，。若=4,生=，=16,

则c“=4",即口=4”,

an

M1,,2n32

由累乘法得：区・展•吐.....£l,^=4-x4-x4-x---x4x4(«>2),

an-lan-2an-3〃2

于是全=4-7,35>2)，故a”4号2=2"<f(心2)，

%=1也满足，所以an=4^~=2"<1)•

n+2_n+2n+2

T-T

W(〃+1)-2"T

(a„)"log2a„+1(2"叩.2"四

=2"5+2)=(11]

n-2"-l-(n+V)-2n[n-2"-1(H+1)-2"J'

令4=-7^r，则"=2(4,-%),

团s〃=4+4+•••+%=2(4-4+，2-4+…+4-"〃+1)=2(4-4+1)

=21---------=2------------.

[(n+l)2nJ(〃+1)2“T

(五)利用a„与S”的关系，把条件化为%M与4的关系式求通项

fSi("=1),

任何一个数列，它的前“项和S”与通项a”都存在关系：a“=1s,—ST(n>2),若内适合SLSi则应把它

们统一起来，否则就用分段函数表示.

【例5】(2024届吉林省吉林地区普通高中高三四模)已知数列｛婚的前n项和为S,,，且%=l,2Sn=3a„+m.

⑴求实数"z的值和数列｛%｝的通项公式；

⑵若或=ajlog3a“+i，求数列｛2｝的前“项和Tn.

【解析】(1)当〃=1时,2S1=3q+根：3=%,「.2q=3%+加，

/.m=—〃]=—1,

当〃22时,2a〃=2Sn-2SnA=3an-l-(3an_x-1),

整理得见=3区I，囚片。；.一^=3,

%

；•数列k｝是以1为首项,3为公比的等比数列,=3"、

n

(2)bn=a„-lOg3an+1=3'i-1暇3'=n-3~\

012,,-2,1-1

.-.7；I=1X3+2X3+3X3+.+(«-1)-3+«-3(1),

37；=1x3+2x3?+3x33++(M-1)-3"-1+H-3,,(2),

①-②得

-2T=3°+3'+32++3n~2+3"-'-n-3".皿―")1'

1-322

1(2»-1)-3-

'"=4-4--

(六)利用册与S,的关系，把条件化为S,i+1与S,的关系式求通项

在利用an与S”的关系求凡时，有时不方便把条件化为an+l与an的关系式,这是可先把条件化为Sn+l与S”的

关系式，求出S“，再求凡.

【例6】已知数列｛%｝的前〃项和为%且S“=++’.

乙an

⑴求凡；

’11

——,n=I

S

(2)数列｛S“｝的每一项均为正数,2="，数列出｝的前〃项和为丁“，当窘21012时，求〃的最小值.

-----------,n>2

【解析】(1)当〃=1时,=?+:=>。；=2,

S-S1

当心2时，"=七口+不一，

2

七f.1

S+S11

所以七3二丁一，所以际-S3=2(常数)，

2

一3〃一1

故数列｛s；｝是以S；=2为首项,2为公差的等差数列.

所以Sj=2〃,S〃=而，

当"22时—S“_]=—N2K-2,q=A/2也适合，

所以4〃=^/2^-\j2n—2.

—,n=l

S“

(2)由(1)知,S；=2+(〃-1)2=2”.得b.=<

,n>2

P“+S,T

7

所以>Al"七十存片+石工+…+仁二二］

='(1+后T+石一行+/_6+…+6

当窗21012时，即■|21012n〃上2024,所以〃的最小值为2024.

（七）根据数列m,+〃用｝为等差数列，求%

若数列｛an+a,l+l｝为等差数列，则他i｝，｛%“｝都是等差数列，可分别求通项，再看能否合并・

【例7】（2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知数列｛。“｝满足=4”+4（“€可）,且

“1=3.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

⑵设么=（-2户，数列低｝的前〃项和为S,，，若S„<-2024，求〃的最小值.

【解析】（1）数列｛4｝中,〃《2,。“+1+%=4〃+4,当"22时,。“+41=4〃,

则=4,由q=3,得4=5,

当〃为正奇数时，数列｛““｝是首项为3,公差为4的等差数列，

则〃2〃一1=3+4（〃-1）=2（2〃一1）+1.，即a,=2n+1,

当〃为偶奇数时，数列｛4｝是首项为5,公差为4的等差数列，

贝|a2n=5+4（〃-1）=2-2〃+1,即。〃=2〃+1,即〃〃=2〃+1,

所以数列忖,｝的通项公式是%=2〃+L

(2)由⑴知a=(-2产”=-22用,显然数列出｝是首项为一8,公比4=4的等比数列,

一区“一4〃、o2n+3_oO2n+3

则sn=4)=——^由凡<-2024，得_r——°<-2024，整理得4">760,

1-433

而数列｛4"｝是递增数列,44=256(760,45=1024)760,因此〃25,

所以”的最小值为5.

（八）根据数列｛。/向｝为等比数列J,求an

数列｛氏-｝为等比数列，则｛的“_｝，｛%｝都是等比数列，可分别求通项，再看能否合并.

【例8X2024届河北省沧州市部分示范性高中高三下学期三模）已知数列｛凡｝满足&|四=4",4=2,〃eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

⑵设bn=-^―，数列也｝的前r项和为S"，求证：n-2<Sn<n.

〃〃十1

【解析】（1）气包=4",%=2,;.%=4,

•••乌（y=4向，两式相除，得—=4,

a

2n

2kl

当n=2k-l，・二=2x4"i=2~，即an=T•

2k

当n=2k,a2k=4x4^=2,BPan=T,

综上所述，数列｛4｝的通项公式为4=2〃；

(2)b=^1=1__Z

n+12〃+1'

1-总+1-舄111

•二S”-+…+=n-2--------1----------1-----1<n

I2〃+121+122+1--------2〃+1

1

11111_1_212n—」1

又，0<----------1------------1------1----------<------1-------F•=<1,

212..==1]T

2'+l2+12"+1221—

2

:.n-2<Sn<n.

（九）利用-------=d求知

4+1an

给出。用=或为+为+1=幻/用,通常通过取倒数构造等差数歹（1.

Pan+q

r\

【例9】数列｛。〃｝中q=l,a“M=—%—，求a“.

4+2

【解析】“飞

4+i?an2ctn

•••｛2｝是首项为1,公差为L的等差数列,—=1+-(〃一1)=4里,％=/-

an2an22n+1

【例10】（2024届四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测）已知数列｛%｝满足

%=5，。”一见+1一。"4+1=°•

⑴求｛4｝的通项公式;

7177IIII3

7f+—<

(2)若数列｛2｝满足，=l,b2n-b2n_x=b2n+l-b2n=一,求证：--+■—+7J.

a

n“2"4”2〃，

aa=

【解析】(I)由。n+\~”TA+I=。知，若4+1=。，则〃〃=。，若〃〃=°,则n+l。.

又所以V〃EN*，4w0.

II1clI1

由4一4+「4。"+1=°，可得---------1=0即-------=1(常数)，

an+\anan+\

故『[是首项为2,公差为1的等差数列，所以：=2+(〃-l)=w+l.

故。，

n+1

(2)由打“一。2〃-1=’-得打〃一人21=〃+1，①

an

由62用一以='=〃+1得如一1一氏一2="(〃22),②

an

①+②可得如—处_2=2几+1(心2).

771C

当〃=1时，b「b\=—=2,则勿=3.

ax

所以邑-4=04-&)+修6-4)+&一d)++®一处.2)

=(2x2+l)+(2x3+l)+(2x4+l)++(2”+l)=2x(2+3+4+…1)

=2义(2+〃!(〃_1)+(〃_1)=(九+3)(〃_]),

所以刈〃=0+(〃+3)(〃-1)=.(〃+2)(〃之2),

当〃=1时，4=3也满足上式，所以处=〃(〃+2).

111

由上可知,，"wN*,

〃(〃+2)〃+2

所以1+；++11+1_1

bn+2

2%b2n21132435n

1113

<4,

22n+1〃+2

1113

即7十二++——<—

b2%4-

（十）构造a„+lb„+l-anbn=d型数列求通项

i口i

【例11】已知数列｛4｝满足2%%=*且q=2,

（1）求｛%｝的通项公式.

（2）设｛?｝的前«项和为S”,［x］表示不大于x的最大整数.

①求加

②证明：当心2时，电］为定值.

%=，，则（2%+「aj2"=，x2"=l,

【解析】（1）由2a用即2"%用-2%=1,

则数列｛2%J是以1为公差的等差数列，又2%=2x：=l,

n

故2"a"=〃，即4

~T

7712n

(2)①由=酒则S„=—+—+

222

1_12n

言c亍了++诃'

则s“一gs”=gs”111n

=-+—+H--------

222T2"+1

1-1

22〃n1nn+2

2n+'

n+2

故S“=2—

T

n+2n+3

②令2=，则第

Ti+i2〃+i

n+3n+2n+3—2n—4—n—1

则<0,

2+l-a=2"+i2”2"+i2"+i

7-|_7

故数列｛2｝为单调递减数列，又4=F=1,

故当心2时,包«0,1］,故S“e［l,2),

即当“22时，［S“］=l恒成立，即［S“］为定值1.

(H^一)构造而二-G7=d型数列求通项

【例12】数列｛a.｝中％=2,an+l=an+\++4%，求an

2,

【解析】a”+i=a〃+1+Jl+4a”可化为l+4a“+i=(1+4an)+4-^1+4an+4=(Jl+4a“+2)

Jl+44+1=Jl+4a〃+2

/.｛Jl+4%｝是首项为3,公差为2的等差数列，

yjl+4an=3+2(n-1)=2n+\,an=tr+n.

(十二)取对数构造等比数列求通项

形如%=醛"(«„>0)，通常两边取对数，构造等比数列.

【例13］若q=l,a“+i=4：+2a“，求.

2

【解析】因为an+i=%,2+2a,，所以an+l+1=a,,+2a„+1=(a“+，

因为q=2,所以%>0,

所以lg(a„a+l)=21g(a„+1),｛lg(«„+1))是首项为lg2，公比为2的等比数列,

所以坨(%+1)=2"一力2,

所以%=2—1.

(十三)根据“用=。为+)?构造等比数列求通项

a=

形如n+iP4+q的数列求通项，一般可变形为an+l+x—p(an+x),若p/°,。”+xH°，贝ij数歹！J

｛4+”是公比为P的等比数列.

【例14】(2024届山东省烟台招远市高考三模)在数列｛为｝中，己知2%=°用+%%+|，4=§.

(1)求数列｛«„｝的通项公式；

⑵若bn=aj,,Sn为数列也,｝的前几项和,证明：1WS,<1.

111111(1、

【解析】（1）由24=an+\+%a“+i可得%W。,则---=ZX—+Z,W-----1=-----1

-2an2an+l21%)

故1，是以:T=1为首项为公比的等比数列.

11111112向

故丁一］=一］f"_尹厕丁*尸

4unAZ—1

2〃+i

（2）么"a“=a”（a"T）=（*_『

4

易得2>o,故S〃2H=4=§.

…777111111

"12"21-122-122-123-12n-l2"+1-1

14

=1一懑=<1.综上有WWS,<1,即得证•

Z—1y

（十四）根据%M=P%+的”构造等比数列求通项

形如=pa“+做"的数歹!］，可先两边同时除以q",得苧=/,+。,把看成数歹！J,就是

4+1=pa〃+q类型.

n+2

【例15］已知ax=2,an+1=6an+2，求an.

【解析】因为%=2,a用=6%+2”+2,所以需=苓+2,

所以翡+1=3（41］,

因为?1=2,所以数列;生+1］是首项为2,公比为3的等比数列,

所以墨+1=2x3"，所以。”=4x6-2".

（十五）根据=pc1n+qn+r构造等比数歹ij求通项

形如册+i=pan+qn+r(p^0)的数列求通项，通常设an+l+无("+1)+y=p(a“+x”+y),求出x,y,若

%+x+ywO,贝U可根据数歹!］｛a“+xw+y｝是等比数列求通项.

【例16]（2024届四川省宜宾市高三适应性考试）已知数列｛%｝满足q=La“+i=2a,+7Ll,（〃eN

⑴证明：数列｛q+小是等比数列，并求出数列｛%｝的通项公式;

⑵设b"=log?：+〃），数列他也+J的前"项和为T，，若《＜苏一机-1对于任意

neN*恒成立，求实数m的取

值范围.

【解析】（1）由题可知:an+i+〃+1=+2”=2（a"+〃）,又％+1=2w。,

故｛«„+〃｝是首项为2,公比为2的等比数列,a„+n=2",即4=2"-〃.

,111,,111

/9\b=----------=------=—bb=-------=-------

nnn+

〃log2（an+n）log22n,+n〃+l'

++

Tn=~~~~~~+-1=1--tVl,且当〃趋于+8时,，趋近于1,

1223nn+1n+1

所以由北＜机2—w—l怛成立，可知m2_加一1N1,解得根W（_8,_1]D[2,+8）,

（十六）构造双等比数列求通项.

/、\y-^=p

形如。〃+2=P4+I+卯〃的数列，可设。〃+2+刈〃+1=y（“〃+i+也）,则，，求出％v的两组值,构造两个等比

数列求凡.

[例17]若=1,。2=3,a〃+2+4+1-6q=。,求。〃.

/、fy-x=-l[犬=3fx=-2

【解析】设4+2+"+1='（。〃+1+“）,则《二，所以〈。或，公

〔肛=6[y=2[》=一3

当％=3,y=2时an+2+3an+1=2（〃用+3%）,

因为q=1,%=3,%+3q=6,

所以+3%=6x3〃T=2x3〃，

当％=—2,y=-3时an+2-2an+i=-3（^n+1-2an）,

因为q=l,a2=3,a2—2q=1,

所以*-2a“=（-3广，

2x3"-（-3）"1

与%M+3%=2x3"相减得

5

（十七）分段数列求通项

分段数列，常考的是奇数项与偶数项分为特殊数列，求解关键是分n为偶数与奇数讨论.

2a

【例18］已知数列｛。0｝满足an+i=1"鉴膂且q=1.

U+1,"为偶数

⑴求数列｛%｝的通项公式.

(2)求数列｛an｝的前100项和S100.

【解析】(1)由题意，得当左eN*时,%A=2的--1,①

aa+l

2k+i=ik-②

将①代入②，得a*=2%后,所以他j｝是首项为1,公比为2的等比数列,

所以%.1=2修.

又因为%+2=2%/+1-1,

所以%+2=2a2k+1,所以02k+2+1=2(%+1).

a

令bk=2k+1,则4+i=24,而%=2°]-1=1,4=a2+1=2,

所以｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以4=21所以'=2、1.

n-1

2可〃为奇数

所以凡=《„

25-1,"为偶数

(2)5100=(a,+tz3H----1-tz99)+(a1+a^-\-----^4oo)

=(2°+21+---+249)+(21-1+22-1+---+250-1)

=(2°+2'+---+249)+(21+22+---+250)-50

5050

lx(l-2)2x(l-2)50

=—------->-+_V--------i_50=3x250-53.

1-21-2

(十八)两个数列的公共项组成的新数列的通项求法

两个递增的等差数列的公共项组成的数列仍然是等差数列,若公差为原来两个数列公差的最小公倍数，对于

其他数列｛%｝,｛£｝,通常是根据%=b.确定使m,n都为正整数的条件.

【例19]已知数列｛%｝是等差数列，且的=-1,数列也｝满足勿-%=。“(〃22,〃eN*),且4=么=1.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)将数列｛/｝,｛〃,｝的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列｛%｝,求数列｛4｝的通项公式；

⑶设数列的前〃项和为T,,证明：?；<|.

【解析】由题意可知82—4=。2，即%—1=—1，故人2=。，

由4一%=。3，可得〃3=1，

所以数列｛%｝的公差d=2,所以q=一1+2(〃-2)=2〃-5,

由b”-be=a”,b”_i-b“_2=a“_i，，瓦-瓦=电,

ML-rzp,,,(n-l](-l+2n-5]

登力口可用一4=〃2+“3+-+Q,=--------------------------------------------，

整理可得2=1一4九+4,(心2),当久=1时，满足上式，

所以2=〃2一4〃+4；

(2)不妨设%,=6“(m,〃eN*),即2M一5=(〃一2>，可得机=四二?_±1

当〃=2匕(keN*)时，m=2k2-4k+^,不合题意，

当〃=2左一l,(AeN*)时，租=2左,一6左+7=2左(左一3)+7eN*,

所以为1在数列｛4｝中均存在公共项，

又因为仇=&<&<。7<,，所以C”=d用=(2"T)2.

(3)当”=1时，7J=1<-1,结论成立，

1=1<11]

当“22时,c„（2n-l）2（2w-2）x2w4（“-1nJ

所以（<1+；1_1+；_:+5_J_<5

44〃4

综上所述，吟.

典例展示

【例1】(2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次质量抽测)己知S,,是等差数列｛4｝的前〃项和,

S5=孙=20,数列｛2｝是公比大于1的等比数列，且尺=4也-仇=12.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

s

(2)设％/，求使c“取得最大值时n的值.

bn

【解析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,

,S,=5a,+—d=20〜,c

则,2，解传4=0,d=2,

Qu=q+10d=20

所以%=2〃一2,设等比数列也｝的公比为4(q＞1),

则卜如?)=如5,解得=；,所以2=2"；

丽3_丽=123=2

(2)由⑴得=

_+n(n-l)_3n-n2

0〃+ig2"+i2〃2”+i9

当九=1,2时,C“+1—%＞0,。］＜。2＜。3,

当〃=3时,&+1-4=0,。3=0,

当〃"时＞Cn,

所以当"=3或4时,％取得最大值.

【例2】已知数列｛4｝满足:4=1,%=4,%+2=2/+1-g+2.

(1)证明：｛。向-4｝是等差数列，并求｛4｝的通项公式；

⑵设bn=a,,+—，若数列｛bn｝是递增数列,求实数k的取值范围.

an

【解析】(1)因为。“+2=2g+1-风+2,所以an+2—an+\2见+1-%+2-2g+I+%=2为常数,

又电-％=3,所以数列是公差为2，首项为3的等差数列.

所以a“+i-a“=3+(n-l)x2=2n+l

当2时,(a“_a“_J+(a“T_%_2)++(%-q)=2(〃-1)+1+2(〃-2)+1++2x1+1,

所以q,-q=〃2T,又g=1,所以““="2,又〃=1,满足

所以数列｛叫的通项公式为4=日

(2)由⑴知么=“2+与，因为数列色｝是递增数列，

n

kkk

所以bn\-bn=("+I)'+7——7-I/+—)=(2〃+1)[1--->。,对〃£N-恒成立，

+(«+1)n(n+1)n

得到k<(n+1)2*对〃eN*恒成立，所以％<4.

【例3】(2024届陕西省安康市高新中学高三高考模拟)记I为数列｛g｝的前"项和，已知

卬=1,科+i-(〃+1w+〃.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵若bn=(-lfa„+[(-ir+1]2",求数列色｝的前2〃项和T2n.

【解析】(1)解:由电+i-(”+1电="+〃,可得呜+「5+1居="("+1),所以步-｝=1,

又由4=1,所以?=?=1,所以数列[2]是以1为首项,1为公差的等差数列，

11InJ

所以—•=l+=则S=n2,

nn

当〃22时,S,T=(力一1)2,所以S“一S,T=an=-5-1)2=2〃-1,

又当”=1时,4=1满足上式，

所以｛6｝的通项公式为«„=2»-1.

(2)由⑴可知当”为奇数时=-。“=1-2”；

当〃为偶数时,2=。“+2x2"=2〃-1+2向，

所以％”=4+N+&+&++&"

=(/?,+b3+b5++b2n_i)+(b2+b4+b6++b2n)

=2n+23+25+27+29++22"+1=2/7+8(l+22+24+26++22"-2)

cc1—4"c2）用8

=2〃+8x----=2〃+—x4——.

1-433

【例41（2024届湖南省邵阳市高三第三次联考）已知数列｛4｝，｛2｝，函数/（力=加+6x+csinx,其中〃eN*,

a,b,c均为实数.

(1)若“=-/?=1,c=0,—4=2,"=In

（i）求数列｛〃｝的通项公式;

2

b”2

（ii）设数列，的前〃项和为，，求证：Tn>-n+n+-.

，兀兀

八J—+an+l\~~9an+\<an„//「w

⑵若/⑺为奇函数,/色卜］+1,历CWQ,4+2={(2)2且〃2=6%=6,问：当2时,

J(q，+i),%+R%

是否存在整数加，使得加4%成立.若存在，求出加的最大值；若不存在,请说明理由.（附：sin6»-0.28,

COS5.72Q0.85)

【解析】(l)(i)/(x)=x2-x,r(x)=2x-l,

由/(%)=-/'4)，

2

得片一为=(%-%+1乂2%-1)，解得4+1=4二，

又仇=2,么>1)

.也+i=In=In[23'T]=ln],；“、

、24T>

b

:•胃=2,也}是以2为公比,2为首项的等比数列.

：q=2".

b“2"11

(ii)令3=，则c"-Q"-1乂2"+1—1)-2,-12,,+1-1,

「•(=4+Q+。3+…+%

=p---M+p-M+…+p___M=i--

(21一122-lJ(22-123-lJU"-l2"+1-lJ2"+1-l'

o

显然当“21时,{(,}是递增数列，g⑺=f2+〃+§在“21时，单调递减,

122

可得7；之［=1——=§,g⑺Wg⑴=§.

72

TnN—YI+M+—.

（2）/⑺为奇函数,

f(-x)=ax2-bx-csinx=-f(x)=-cue-bx-csinx.

an+i+cosa„+i,an+1<a„,

f^x)-x+smx,an+2

an+l+sman+1,an+1>an.

由%=6a{=6得，a2>ax=l,

%=/(%)=6+sin6«5.72<%,

〃4=/+cos/=6+sin6+cos(6+sin6)r5.72+0.85=6.57>的,

:.a5=/(^4)=6i4+sina4>a4,a6=/(%)=%+sin%,

/(x)=x+sinx在(0,+8)上为增函数，

/.当2兀〈工<3兀时，sinx>0,2TI<X<X+sinx</(3兀)=3兀；

a4仁6.57G(2兀,3兀),

a5=/(。4)=〃4+sin%£(2兀,3兀).

当an«2兀,3兀）时，2兀＜见兀）=3兀.

时，4>4一1，又出>%,

当时，(〃/同=%”•加W%=6+sin6.

XmeZ,m的最大值为5.

【例5】(2024届江苏省苏州市高三下学期第三次模拟)现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同

的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作.重复进行"(weN*)次操作后，记甲

盒子中黑球个数为X“，甲盒中恰有1个黑球的概率为«„，恰有2个黑球的概率为bn.

⑴求随机变量X1的分布列;

(2)求数列｛为｝的通项公式;

^^6-10o,9

（3）求证：2^---------

M94aHi5

【解析】(1)由题可知X］的可能取值为0,1,2,

根据相互独立事件的概率公式得到：X=0即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换=1即为甲盒中拿黑球乙

盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换,毛=2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则

=0）=|x|=|,P（XI=l）=|x|+|x|=|,P（X1=2）=|x|=|,

X1的分布列为：

（2）由全概率公式可知：

P（X,5=1）=P（X“=l）P（X向=1区=1）+P（X“=2）P（X向=1|X“=2）

+P（X„=0）P（Xn+1=l|Xn=0）

=[.+m3打工=1）+]《113，=2）+]14卜（匕=。）

577

=§尸（X“=l）+§尸（X“=2）+§尸（X”=。）,

52,123If3

即Bn4+1=6""+a2+a（1_%A'即Bn4+1=_84+W，4+1_与=_314,一不

又a,=「（屈=1）=|,

所以数列““一|:是以的-1为首项，以-3为公比的等比数歹山

即｛%｝的通项公式%=

6-10@

9叫1

32332

-+--+—I—

55555

^,6-10a.1111

所以白9a1,1(3,211丫3,2(1丫3,2(

flM55t9J55[~9)55^9^55<9J

-9--------1------<-9

+1

5|+|(4J5得证.

跟踪检测

1.(2024届天津市南开区高三下学期质量监测二)已知｛%｝是等差数列，公差dw0,q+%=8,且％是为与生

的等比中项.

(1)求｛?｝的通项公式

⑵数列｛bn｝满足与含=2%，且乙=4.

(I)求也｝的前〃项和s..

(ii)是否存在正整数机箱(力7N”)，使得S4,S2“，邑”成等差数列，若存在，求出九〃的值；若不存在,请说明

理由.

2.设正项数列加“｝的前〃项和为S“，并且对于所有的正整数“，为与1的等差中项等于S,,与1的等比中项.

(1)求数列｛%｝的通项公式.

111c

(2)证明：—+—++-<2-

8.(2024届江苏省宿迁市高三下学期三模)在数列｛4｝中,卬=2,/+*=3.2"(〃eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)已知数列也｝满足4-4审..44--1=消；

①求证：数列也｝是等差数列；

②若么=3，设数列g=勺的前”项和为7；，求证：7；,<14.

9.(2024届江苏省苏州大学高三下学期高考考前)已知数列｛q｝满足q=1,。向=。,+2".

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵记bn+求数列｛2｝的前2〃-1项和S2“T.

10.(2024届天津市河西区高三下学期质量调查三)已知递增数列｛凡｝的前"项和为s“，且4S,=d+4〃，

〃£N*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设bn=+a2c+生C：+■••+a„C".

(i)求数列也｝的通项公式；

山求到吐q.

a

t=lki,4+2>

11.(2024届陕西省渭南市瑞泉中学高三第