2025届高考数学一轮复习模拟卷（新课标Ⅱ卷）

高考数学一轮复习收官模拟新课标II卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.[2024春•高一•河北唐山・期中联考]已知复数z=2+i，则zi=()

A.73B.6C.3D.5

1.答案：D

解析：,z=2+i，z­I=(2+i)(2—i)=5,故选D.

2.下列命题中为真命题的是()

2

A.:GR,x+1<0B./?2:VxeR,x+1x|>0

C.:VxeZ,|x|eND.:BxeR,x2-7x+15=O

2.答案：C

解析：VxeR,x2+1>1>0,故Pi是假命题.当x=0时，x+|x|=O,故p2是假命

题.VxeZ,|x|eN,故必是真命题.对于方程V-7%+15=0,A=49-4xl5<0,止匕

方程无解，故凡是假命题.

27r

3.已知平面向量a,〜满足|a|=2,防|=1,且a与方的夹角为苛，则|a+)|=()

A.EB.A/5C.A/7D.3

3.答案：A

27r27r

解析：|a|=2,|〃|=1,且a与方的夹角为‘，.-.a-6=2xlxcos—=-1,

33

.•.|a+〃F=(a+〃)2="+2。.〃+/=22—2x1+12=3,;.|a+Z>|=6.故选A.

4.[2023春•高一•四川宜宾•期末校考]PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国

PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35%/0?以下空气

质量为一级，在35^g/m3~75^g/m3之间空气质量为二级，在75pig/n?以上空气质

量为超标.如图是某地H月1日到10日PM2.5日均值(单位：pig/m3)的统计数据，

则下列叙述不正确的是()

“PM2.5日均值（Mg/m3）

100.............................--

82

Li―2345―6-^7-*11「百期

A.从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低

B.这10天中PM2.5日均值的平均数是49.3

C.这10天的PM2.5日均值的中位数是45

D.从这10天的PM2.5日均值监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率

4.答案：C

解析：由题图可知从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低，故选项A正确;

30+32+33+34+45+49+57+58+73+82

由题图得平均数为=49.3,故选项B正确;

10

由题图可知这10天的数据从小到大排列为30,32,33,34,45,49,57,58,73,

82,故中位数为二一-=47,故选项C不正确；

2

由数据可知，这10天中PM2.5日均值在35%/0?以下的有4天，故空气质量为一级

4?

的概率是3=故选项D正确.故选C.

105

5.已知动圆过定点4-3,0),且与圆3:(X-3>+V=64内切，则动圆圆心的轨迹方程

是()

22222222

A.----1----=1B.-----1---=1C.-----1---=1D.-----1----=1

16716725162516

5.答案：A

解析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则r=M4.因为动圆〃与圆

B:(x—3)2+V=64内切，所以MB=8—r，所以MB+r=8,即

MB+MA^8>AB^6,由椭圆的定义可知，”的轨迹为以A,5为焦点的椭圆，所以

22

a=4,c=3,〃=42-2=7,所以动圆圆心”的轨迹方程为土+匕=1.

167

6.[2024秋•高三•山东泰安•开学考试]曲线y=sin(x+l)与y=lgx交点个数是()

A.3B.4C.5D.6

6.答案：A

解析：作出曲线y=sin(x+l)与y=lgx大致图象，可知y=sin(x+l)«-1,1b而IglO=1,

由曲线y=sin(x+l)与y=lgx图象知，曲线y=sin(x+l)与y=lgx有3个交点.

故选：A.

7.如图，在矩形A3CD中，BC=1,AB=2a,现将△脑£)沿着对角线3。翻折成

△A'BD,并且满足则直线AC与平面BCD所成最大角的余弦值为()

7.答案：B

解析：如图，设点A，在底面BCD中的射影为H,则N4CH是4C与平面BCD所成的

角，cosNA'CH=J.在翻折过程中，AH±BD,又45LAC,则即H

AC

在AB的垂直平分线MN上.

取A2的中点E,连接CE,OE,AO,■-OA=OB,r.ABLOE.又ABLAC,从

而AB_L平面EOC,NBYEC,而E是A3的中点，从而4。=3。，

cos/A(H=里=色.又BC=1,AB=2a,由△ABCSAHMB,得“"=2〃，在

A'CBC

直角梯形3cHM中，CH=2a2—1)2+〃=J4，_3a2+1=卜卜一|：十旨卡

从而cosN4cH=d=乌的最小值为五，当且仅当a=好时取等号.故选B.

A'CBC44

V12

8.已知函数/(x)的定义域为(0,+oo),当々〉石〉0时，x2f(%,)-Xj/(x2)>x2e-x^.

若/⑴=e+l,则不等式/(Inx)>lnx+x的解集为()

A.(0,e)B.(l,e)C.(l,^o)D.(e,+oo)

8.答案：B

解析：由％2/(石)―玉/(*2)〉工2炉一入户士，且刀2〉为〉0，得于-J〉/(%)/.令

g(x)=/(x)-e>,则g(%)>g(w),所以函数g(x)在(0,+00)上单调递减.因为

X

/(l)=e+l,所以g⑴=1.由/(%)的定义域为(0,+8),得lnx>0,得1>1,所以不等

式/(In%)>Inx+%可以变形为了(“')一-—>L即g(lnx)>g(l),所以lnx<l,即

Inx

x<e,所以l<xve.故选B.

二、多项选择题

9.已知函数〃x)=2sin(0x」］的图象的一条对称轴为直线“兀，其中。为常数，

且①e(0,1),则以下结论正确的是()

A.函数/(%)的最小正周期为3兀

C.将函数/(%)的图象向左平移四个单位长度所得的图象关于原点对称

6

D.函数/(x)在区间(0,10071)上有67个零点

9.答案：ABD

解析：因为直线％=兀是/(x)图象的一条对称轴，所以m1-巴=左"+巴，keZ,所以

62

29

CD—k-\--,左£Z.又因为69£(0,1),所以G=—,所以

33

/(%)=2sinf—X--3兀，故A正确;

136J\co\2

3

=2sin巴=6,故B正确；/(x)的图象向左平移工个单位长

36

度得到函数y=2sin12.「+0-m=2sin12%-2］的图象，显然不关于原点对称,

_316J61318J

故C错误；当xe(0,100兀)时，令—2<也(空ksZ,则

3662J62

Q<k<66,左GZ,所以/(x)在(0,100兀)上有67个零点，故D正确.故选ABD.

10.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点R到准线/的距离为2,贝1)()

A.焦点R的坐标为(1,0)

B.过点A(-1,0)恰有2条直线与C有且只有一个公共点

C.直线x+y-1=0与C相交所得弦长为8

D.C与圆好+9=5交于〃，N两点，则肱V=4

10.答案：ACD

解析：由题可知抛物线C的方程为/=4x.焦点R的坐标为(1,0),故A正确.过点

A(-l,0)可作C的2条切线；直线y=0过点A且与C只有一个交点，所以共3条直线

与抛物线有且只有一个公共点，故B错误.设直线x+y-1=0与抛物线C交于

—l=得V+4y—4=0,A=42-4X(-4)=32>0,则

产(和％)，Q(w，%)，由,

[V=4x,

%+%=-4,必％=4PQ=I1+-^^X

%+%)"—4yly2=8，故c正确.由

无2+

'得％2+4X-5=0,解得x=l(l=—5舍去)，所以交点为(1,±2),所以

b=4x,

MN=4,故D正确.

11.设函数/(x)=2+x-e”，对于任意给定的实数K,定义函数

曾富，则下列结论正确的是()

14(x)="

A.函数y=/(x)的零点有3个B.3Ze(0,l),使得为⑺=0

C.若VxeR,人(X)=/(X),则K21D.若/K(X)存在最大值，则KNln2

11.答案：BCD

解析：/(x)=2+x-e\则/'(x)=l—e"令/'(%)=0,解得尤=0.当x<0时,

/'(x)>0,/(x)单调递增；当x>0时，尸(幻<0,/(幻单调递减.故/(x)在R上有最

大值，为/(0)=1.令g(x)=xe=ln2,则g，(x)=(x+l)e，,令g(x)=0,解得x=—1.当

x<-1时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当%>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增.令

/(x)=g(x),则2+x—3=加工—ln2,即x+2+ln2=(x+l)e、，解得该方程的正根为

x=ln2,且/(In2)=g(ln2)=ln2.故作出函数/(x)与g(x)的大致图象，如图1.

当K=1时，人>)<1恒成立，故力(x)=/(x),由图1得y=X(x)有2个零点，故A错

误.由图1知在(0,1)上，f(x)>0,故4(x)=xe、-ln2,xe(0,l),又

启0)=-ln2<0,4(l)=e-ln2>0,所以王e(0,l),使得人⑺=0,故B正确.因为

/。)<1恒成立，所以若X/xeR,/K(X)=/O)，则K21,故C正确.当K21时,

人(x)=/(x),故/K(X)有最大值，为1；当ln2<K<l时，人(x)的大致图象如图2所

示，人(x)有最大值；当K<ln2时，/K(X)的大致图象如图3所示，所以人(x)无最大

值.综上，若人(刀)存在最大值，则K'ln2,故D正确.

三、填空题

12.已知｛%｝为等差数列，公差为-2,且耐=°3。9，则前10项和S10=.

12.答案：110

解析：依题意，有(a1+6d)-=(q+2d)(q+8d).因为d=-2,所以

(q—12)2=(q—4)(q—16),所以a；-24q+12?=a；-20q+64,解得q=20,所以

10x9

A。=104+(^4=10x20-90=110.

13.已矢口e[+，兀],sin(tz+^)=--|,sin1,—,则

cosa+—\-.

I4J

13.答案:

65

解析：-兀)，

.-.«+^e—,2K,4,2E.又.sin(a+尸)=—1,sin/?--

cos[a+：]=cos=cos(tz+cos+sin(tz+,)sin一：

31256

=­Xx—=------

1365

14.把6张座位编号分别为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每个人至少

分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有种.

(用数字作答)

14.答案：144

解析：根据题意，可分为两步进行：

①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少1张，至多2张，则有2个

人各1张,2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1,2,3,4,5,6这6个

数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，即在其中的5个空隙中插入3个

板子，有C；=10种情况，

其中出现三连号的有123,4,5,6；1,234,5,6；1,2,345,6；1,2,3,456,

共4种情况不满足题意，所以有10-4=6种情况；

②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有A：=24种情况.由分步乘法计数原理可

得共有6义24=144种不同的分法.

四、解答题

15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,^.acosC--c=b.

2

(1)求A；

(2)点。在线段BC上，ADVAC,—求tan。的值.

CD4

15.答案：(1)A=—

3

(2)tanC=—

5

解析：(1)由acosC—=b结合正弦定理可得sinAcosC-工sinC=sin_B.

因为A+_B+C=7i,所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosA-sinC,

所以sinAcosC——sinC=sinAcosC+cosAsinC,即——sinC=cosAsinC.

|0TT

因为sinC/0,所以cosA=—土，因为Ae(0/),所以A=e.

23

(2)如图，在RtZVLCD中，AD=CDsinC=4BDsmC,

63

BD4BDsinC

由正弦定理可得破=但故----=——

・兀

simsin3sin—sin

66

即^^cosC-LsinC=2sinC,所以tanC=^^

225

16.已知函数/(x)的导函数为/'(x),且/(x)=e*+/'(0)cosx.

(1)求函数/(x)的图象在x=0处的切线方程；

(2)证明：/(x)在(-兀,+8)上仅有一个零点X。，且1<何伉)〈喧.

16.答案：(1)x-y+2=0

(2)证明见解析

解析：(1)由/(x)=e*+/，(0)cosx,得尸(x)=e*-jT(0)sinx,

所以/'(。)=1一/'(O)sinO=l,

所以/(x)=e*+cosx,即/(0)=1+1=2,

所以所求切线方程为y—2=%—0,即x—y+2=0.

(2)由(1)知/(x)=e*+cosx,则尸(x)=e*-sinx.

当了之0时，ex>1,sinx<l,所以/'(x)=e'-sinxN0,

所以函数/(x)在(0,+oo)上单调递增，

当一兀<%<0时，eT>0,sinx<0,所以/'(x)=e*-sinx〉0,

所以函数/(x)在(-兀,0)上单调递增,

所以函数/⑴在(-兀,+oo)上单调递增.

3兀71

所以函数/（X）在（-兀,+oo）上存在唯一零点/,且不£

T，-2

所以/（%o）=e与+cos/=0,即e"=-cosx0,

所以/'（%）=e殉-sinx0=-cos^0-sinx0=-A/2sin^x0.

.（3兀兀［4日兀（兀兀）

由毛€［一7,一5＞倚/+了€「5,一］，

所以sin［Xo+：］e-1,一与,

所以/'（七）=—\/^sin［xo+；］e（L后），得证.

17.［2024届•江苏南通•模拟考试］如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为。，。「

该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱ABC-4用G的三条侧棱均为圆柱的母线，且

（1）证明：不论尸在何处，总有BCLPA；

（2）当尸为的中点时，求平面4尸5与平面用PB夹角的余弦值.

17.答案：（1）证明见解析

⑵叵

11

解析：（1）证明：连接08,OC,。14，且连接A。并延长，交3c于点M,交圆柱

侧面于点N,如图所示.

因为AB=AC,OB=OC,所以AAO6g△AOC,所以ZfiL4M=NC4M,

所以所以航为BC中点，所以。4,5c.

又在圆柱OOi中，平面ABC,BCu平面ABC,所以AAjLBC.

又AO蝴二人，AO,441cz平面AOOJA，所以BC,平面AO^A.

因为不论尸在何处，总有P^U平面AoaA，所以Be，%.

则A3=AC=®a.

(2)设00］="=AN=a(a〉0),

6

\r51

在ZVIBC中，AM=ACcosZCAM=AC--=-a,则0M=—a.

AN63

所以CN®==》.

如图，以a为原点，aa，孰。所在直线分别为丁轴，z轴建立空间直角坐标系

Oxxyz,

其中3G//X轴，y轴是在平面44cl内3c的垂直平分线,

、

则A(0,—ga,。］,B1

}a,—a,0,Ba.—a.a9pf0,0,-62

3J

、7

5,A户=1)，BB=(0,0,6?),(V?ii

所以45=a.—a.a{B\P=------a,—a,——

6I632

77

A^B-m=0,

设平面AXPB的法向量为/w=(x,y,z),则有＜

A^P-m=0,

［际50

—axH—uy+az—0,

即466'取x=l,得m=布).

11八

—uyH—az—0,

、22

设平面与的法向量为〃=（b,c,d）,则有?'."

B]P•n=0,

ad=0,

即,A/511取Z?=2，得zi=（2,-6,0）.

----cib—cicH—ad—0,

I632

设平面APB与平面与P5的夹角为0,

则cos0=|cos〈九n）\=1'〃,

\m\\n\11

所以平面A.PB与平面B]PB夹角的余弦值为洋.

18.[2024秋•高二•江西宜春•月考校考]“英才计划”最早开始于2013年，由中

国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀

中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、

化学学科夏令营活动.

（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，&表

示选取的人中来自A中学的人数，求&的分布列和数学期望.

（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两

人一组，每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3,则取得本轮

胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为必•假设

甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当p+P2=，时，求甲、乙两位同学在每

轮答题中取胜的概率的最大值.

Q

18.答案：（1）分布列见解析，数学期望为N

7

⑵If

解析：（1）由题意知，J的可能取值为0,1,2,3,

仁。)=*[%=1)=害=||

23

PC=2)=Zc'^c=—12,。6=3)c===1一

C；35C；35

所以J的分布列为

0123

418121

P

35353535

E(^)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-

353535357

(2)因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为力，则力〜5(2,pj,

设乙答对题数为7，贝切〜6(2,02).

设4="甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，

则P(A)=P(Z=1)P(7=2)+P(X=2)P(7=1)+P(X=2)P(rj=2)

=CM(i—口)GE+cM2cp2(i—0?)+Gp；c券；

=2p/l—〃i)p；+202(l—2)P；+P；P；

228

=-3〃ip2+飞PR.

4i

由。VP]<1,0<P2<1R,Pi+P2~~93VP]<1,

则〃…唔一

1「14-

又所以8幺€•

8「14一

设1=P]P2，则尸(A)=-3〃,tG—,—.

易知当”[时，P(A)取得最大值

所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为竺.

27

2222

19.在平面直角坐标系中，已知双曲线G：?-、=1与椭圆02：2+]=1，A,

3分别为G的左、右顶点，点尸在双曲线G上，且位于第一象限.

(1)直线0P与椭圆。2相交于第一象限内的点”，设直线以，PB,MA,MB的斜率

分别为6,k2,k3,k4,求左+42+%+%的值；

（2）直线AP与椭圆。2相交于点N（异于点A）,求AP-AN的取值范围.

19.答案：（1）0

(2)(16,+oo)

解析：（1）方法一：设直线=（左＞0）,

y=kx.

k>0,解得0小冬

由＜22T得（1-2左2卜2=4,所以.

，X一y万1-2F>0,

2

1，厂所以p(22k)

设P(%,%)(%!>o,%>o),贝Uv

2kU1-2k2Yl-2k2「

yyji-2k2'

y=kx,

[得(1+2左?=4,

由＜x2y2

U—+—2=

2

2Jl+2%2所以股(22k}

设（%2＞0，上,。），则

2k71+2k2'ql+2k2;

11+2/'

因为A(—2,0),3(2,0),

8k

2%弘1—2公_1

所以匕=19

国+2再一2才-4_4k

1-2F

8k

%_2々为一1+2公

上3+kq~

%2+2%2—2%-44

1+242

以k]+女2+%3+*4=-----1"0.

k

方法二：设P（%,yJ（西〉0,%〉0）,M(x2,y2)(x2>0,%>0),

%