2025届高三年级上册月考（二）数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个部选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.（5分）已知集合4={尤|用42},B={»42'48（怎Z）},则AAB=（）

A.[-1,3]B.{0,1}C.[0,2]D.{0,1,2}

2.（5分）已知复数z满足|z-i|=l,则|z|的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2）D.[0,2]

3.（5分）已知p：f（x）=ln（-Z-+a）是奇函数，4：”=-l，则P是4成立的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

4.（5分）若锐角a满足sina-cosa二^"，贝1[！1（2&4-^~）=（）

A.3B.一3C.-3或3D.—或色

555555

5.（5分）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，

一定成立的是（）

A.理科男生多于文科女生

B.文科女生多于文科男生

C.理科女生多于文科男生

D.理科女生多于理科男生

6.（5分）如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4aw,上底面的直径为8cm,高为4cm,

已知点尸是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，且AP=8P,O为上底面圆的圆心，则OP与

平面ABC所成的角的正切值为（）

.2B.AC.FD.正

25

7.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线1：y=kx,与圆C：7+/=1交于A,8两点，则△A08

的面积的最大值为（）

A.1B.—C.医D.亚

224

8.（5分）设函数/（x）=（f+Qx+Z?）Inx,若/（x）20,则〃的最小值为（）

A.-2B.-1C.2D.1

二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）

（多选）9.（6分）已知〃>2,且〃EN*,下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）

A.若X〜B（n,则E（2X+l）jn+l

oo

B-若X~B（n,春），则D（2X+l）-1r

oy

C.若X〜B（n,—则尸（X=l）=PCX=n-1）

3

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

（多选）10.（6分）已知函数/（x）=sin3x+acoso）x（xER,（D>0）的最大值为2,其部分图象如图所示,

B.函数f（X*）为偶函数

C.满足条件的正实数3存在且唯一

D./（%）是周期函数，且最小正周期为IT

（多选）11.（6分）已知抛物线C：/=2/（p>0）的焦点为尸，准线交x轴于点D,直线/经过尸且与

C交于A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若|MW=|NE|,

则（）

A./的斜率为

.△ABD是锐角三角形

C.四边形MNOF的面积是近p2

D.|明•照|>|即2

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)

12.(5分)在中，AD是边BC上的高，若Q=(l,3),BC=(6,3)1则1元।

13.(5分)已知定义在R上的函数/(x)满足4⑴=/(-x)+3ex,则曲线y=/(x)在点(0,/(0))

处的切线方程为.

14.(5分)小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A,3中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷

一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将8中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入8中，

直到无法继续游戏.那么游戏结束时8中没有糖的概率是.

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

15.(13分)已知数列｛斯｝中，ai=l,且即WO,S为数列｛跖力的前"项和，郎-+怖一~=

ar-

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)若c=1)%,求数列｛5｝的前〃项和.

nanan+l

16.(15分)如图，在以A,B,C,D,E,b为顶点的五面体中，四边形A8C0与四边形CDE尸均为等腰

梯形，AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=而，AE=2%.

(1)证明：平面4BCD_L平面CDEE；

(2)若M为线段CD上一点，且CM=1,求二面角A-EM-3的余弦值.

17.（15分）已知函数/（X）=e2x-2ax,aER.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对于任意的x>0,都有/(x)恒成立，求a的取值范围.

.(17分)已知双曲线E：4与=l(a>o,b>0)的左、右焦点分别为Q,Fz,5的一条渐近线

方程为过乃且与x轴垂直的直线与E交于尸，。两点，且△PQB的周长为16.

(1)求£的方程；

(2)A,B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C(0,4),求/ACB的取值范围.

19.(17分)对于集合A,B,定义运算符“A"：A^B={x\xeA,底2两式恰有一式成立},|A|表示集合A

中元素的个数.

(1)设A=[-l,1],B=[Q,2],求AAB；

(2)对于有限集A,B,C,证明|AAB|+|BAC12|AAC|,并求出固定A,C后使该式取等号的B的数量;

(用含A,C的式子表示)

(3)若有限集A,B,C满足|AAB|+|8AC|=|AAC|,则称有序三元组(A,B,C)为“联合对”，定义

1={1,2,n},“6N*,u={(A,B,C)|A,B,CQI].

①设机日，求满足|AAC|=m的“联合对”(A,B,C)J/的数量；(用含〃?的式子表示)

②根据(2)及(3)①的结果，求"中“联合对”的数量.

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个部选项中，只有一项是符合

题目要求的。）

1.（5分）已知集合,A={x||尤|<2},B={f|l42'48（/GZ）},则（）

A.[-1,3]B.{0,1}C.[0,2]D.{0,1,2）

【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合A,B,再利用交集的定义求解即可.

【解答】解：B="|1W2'W8（rez）}={0,1,2,3},4={x||x|W2}={x|-2WxW2},

所以AC8={x|-2WxW2}C{0,1,2,3}={0,1,2）.

故选：D.

【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.（5分）已知复数z满足|z-i|=l,则|z|的取值范围是（）

A.[0,1JB.[0,1）C.[0,2）D.[0,2]

【分析】利用|z-i|=l表示以（0,1）为圆心，1为半径的圆，|z|表示圆上的点到原点的距离可得答案.

【解答】解：因为在复平面内，

\z-z'|=1表示到点（0,1）距离为1的所有复数对应的点，

即|z-q=i表示以（0,1）为圆心，1为半径的圆，

|z|表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0,

最长距禺为1+1=2,

则目的取值范围是[0,2].

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的模长，属于基础题.

3.（5分）已知p：f（x）=ln（'，一+a）（T<x<1）是奇函数，4：-1，则p是q成立的（）

1-x

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】当p成立，判断“是否成立，再由q成立时，判断p是否成立，即可知p是q成立何种条件.

【解答】解：根据题意，由了（尤）是奇函数，且其定义域为（-1,1）,

则/（0）=0,即/〃（2+〃）=0,解得〃=-L

所以p=>q,p是q的充分条件.

当。=-1时，f（x）=in（-r^—1）=1】二+2-iVxVl,

1-x1-x

一］

,*•f（-x）=ln~_X=ln（4-^-）=Tn］士工=_f（x>所以/（%）是奇函数

i+x1-xi-x

所以puq,〃是q的必要条件.

综合可得：p是q的充要条件.

故选：A.

【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题.

4.(5分)若锐角a满足sinCl-cosa3^，则sin(2aV")=()

【分析】首先根据利用辅助角公式得到sin（a1-）「华，再利用角的变换sin（2a吟）=

JT

sin［2（a号）+兀］，结合诱导公式，以及二倍角公式，即可求解・

【解答】解：已知sina-cosasin（a-：），

45

贝usin（aE）

14）10

中斗，一兀、7T.7T兀、

因为a£（0,—）>a-（z―^->丁），

则（a三）纪亚■，

cos7J10

IT

则sin（2CL干）=

jfJT71兀

sin[2(a—)+K]=-sin[2(a—)]=-2sin(d-)cos(a-)

故选：B.

【点评】本题考查了辅助角公式，重点考查了诱导公式及二倍角公式，属中档题.

5.（5分）某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中,

一定成立的是（）

A.理科男生多于文科女生

B.文科女生多于文科男生

.理科女生多于文科男生

D.理科女生多于理科男生

【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.

【解答】解：根据已知条件设理科女生有XI人，理科男生有X2人，

文科女生有yi人，文科男生有”人，

根据题意可知xi+尤2>yi+y2,x2+y2<xi+yi,

根据异向不等式可减的性质有（xi+犯）-（X2+V2）>（yi+y2）-（xi+yi）,

.".xi>y2,

二理科女生多于文科男生，C正确；

其他选项没有足够证据论证.

故选：C.

【点评】本题考查简单的合情推理、根据问题的特征将其转化等价的排列问题等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

6.（5分）如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4"i,上底面的直径为8e",高为4c7小

已知点尸是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，且4尸=8尸，0为上底面圆的圆心，则。尸与

平面ABC所成的角的正切值为（）

C.75。■隼

【分析】作出直线。尸与平面ABC所成的角，通过直角三角形来求得直线。尸与平面ABC所成的角的

正切值.

【解答】解：设为下底面圆的圆心，连接，C。'和CO,

A

因为所以AB，。尸，

又因为AB_LOO',OPdOO'=O,OP、OO'u平面OO'P,

所以A3_L平面00'P,

因为尸C是该圆台的一条母线，所以O,O',C,尸四点共面，且O'C//OP,

又ABu平面ABC,所以平面A2C_L平面POC,

又因为平面ABCC平面POC=OC,

所以点P在平面ABC的射影在直线0C上，

则OP与平面ABC所成的角，即为/POC=/OCO',

过点C作CD_LOP于点D因为0P=4c〃z,O'C=2cm,

所以tan/POC=tanNOCO'3snnL，

故选：A.

【点评】本题考查异面直线所成的角的正切值的求法，属于中档题.

7.（5分）在平面直角坐标系口中，已知直线L尸kx6与圆。/+/=】交于4B两点，则

的面积的最大值为（）

A.1B.-1C.返D.亚

224

【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出△A08的面积的表达式利用三角函

数单调性即可得出结论.

【解答】解：已知线1：y=kx」，

2

令x—0,

即y=-i,

即直线/恒过点E（0,y）.

又02+够）2<1，

则该点在圆？+，=1内，

圆C：/+y2=l的圆心为c(0,0),半径厂=1,

作CO_L/于点。，如图所示：

所以cos/DCB=

ICDIN

jr

又NDCBt（0，77）'

可得/DCBE嗫，着）；

因此可得/ACB=2/DCBE［与，兀），

所以△A02的面积为SZOB.ICAI|CB|sinZACB<yXlXlXsii

乙乙』O,T：

故选：D.

【点评】本题考查了圆的性质，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题.

8.(5分)设函数/(无)=(/+ar+b)Inx,若/(x)》0,则a的最小值为()

-2B.-1C.2D.1

【分析】根据题意，分析出二次方程根的区间，进而求出。的最值.

【解答】解：f(x)—(/+ox+Z?)Inx,f(x)20,

由对数函数性质，xG(0,1),lnx<0,xE(1,+8),lnx>0,

则xE(0,1),f+ax+bVO,xE(1,+°°),/+以+。>0,

/+〃冗+。=0的一个根小于等于0,一个根为1,

[b4O,所以。的最小值为-1.

Il+a+b=O

故选：B.

【点评】本题考查对函数函数的值域，一元二次方程根的分布，属于中档题.

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)

(多选)9.(6分)已知〃>2,且“6N*,下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有()

A.若X〜B(n,y)>则E(2X+l)Wn+l

B.若X〜B(n,[)，则D(2X-+1)=4T

ay

C.若x〜B(n,—))则P(X=1)=P(x=n-1)

3

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断A&利用二项分布的概率公式

计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D

【解答】解：对于A,由X〜B(n,/)，得E(X)1r，

所以E(2X+l)=|"n+l，故A正确；

对于3,由X〜B(n,、■)，得D(X)[

oooy

所以D(2X+1)=4D(X)=4「故2错误；

y

对于C由X〜B(n,/),得P(X=1)=C：X,X号产,P(X=n-l)=C『x|"X•严

故尸(X=l)WP(X=”-l),故C错误；

对于。，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，故。正确.

故选：BC.

【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式和方差公式，属于基础题.

(多选)10.(6分)已知函数/(x)=sino)x+〃cos3x(xER,a)>0)的最大值为2,其部分图象如图所示,

贝U()

B.函数f(x《)为偶函数

C.满足条件的正实数3存在且唯一

D./(X)是周期函数，且最小正周期为TT

【分析】根据题意，求得函数f(x)=2sin(2x。)，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可

求解.

【角牛答】解：由函数f(x)=sin3x+acos3sin(3x+Q)，且tan(p=a，

因为函数/(x)的最大值为2,可得苗1+&2=2,解得a=±E，

又因为/(0)=a>0,所以a=近，所以A正确；

f(x)=sinWx+V3cosWx=2sin(3x4^-)

因为f(工)=2sin(W-3」L)=]，且函数/(x)在匹的附近单调递减，

4434

所以「_至兀+2kTT,kt2，所以3=2+8左，kez,

4R6

又因为工>工，可得T〉工，所以史-〉•工，解得。<3<4,所以3=2,

24232

TT

此时f(x)=2sin(2*七-)，其最小正周期为T=m所以C、。正确；

、)tJIJI

设F(x)=f(x^-)=2sin[2(x-^-)■>^-]=2sin2x,

尸(-x)=2sin[2(-x)]=-2sin2x=-F(x),所以F(x)为奇函数，

即函数f(X《)为奇函数，所以2不正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用，是中档题.

（多选）11.（6分）已知抛物线C：y1=2px（p>0）的焦点为尸，准线交x轴于点。，直线/经过产且与

C交于A,8两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若|加川=|诋|,

则（）

A./的斜率为

B.△钿£>是锐角三角形

C.四边形的面积是Cp2

D.|BF|.|M|>|F£>|2

【分析】根据题意分析可知△MNF为等边三角形，即可得直线/的倾斜角和斜率，进而判断A;可知直

线/的方程，联立方程求点A,B的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C

【解答】解：由题意可知：抛物线的焦点为F悖，0），准线为x=-1，即D（贵，0），

设A（xi，yi）,B（冗2，”），yi>0，"VO,

则，），N（0,a），所以|MN|=1X［邓

因为|MF|V|AF|V（X［玲）,

所以=^\MN\=\NF\=\MF\,

可知△跖VF为等边三角形，即/NMP=60°,

且MN〃x轴，可知直线/的倾斜角为60°,斜率为k=tan60°=J§，故A正确;

则直线liy=V3（x号），

（r°（卫

y=V3（x3）*6

联立方程2,解制*2或，

2。v=V3p

y=2DX

即A（华,p）-BC1"，"^"P>则H（P，V3p），N（0,*~p>

可得|DF|=P，|AD|=V7P.|BD|=^-P.|FA|=2p,|FB|=4P.|AB|=4p-

Ooo

在△ABO中，\BD\<\AD\<\AB\,M|BD|2+|AD|2-|AB|2<0,

可知/ADB为最大角，且为锐角，所以△AB。是锐角三角形，故B正确；

四边形MNDF的面积为2HHM=SABDF+SA]W卷XpX亨p卷X亨pXp=^"p"故C错误;

2

因为|FB|•|FAIqp2,|FD|=p,所以防•侬|〉|印2,故D正确•

故选：ABD.

【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)

12.(5分)在△ABC中，是边BC上的高，若同=(1,3),正=(6,3)-则I标1=_而_.

【分析】设BD=mBC=(6m,31nA表达出AD=(6m+l,3m+3)，根据垂直关系得到方程，求出m=T，

*-J

进而得到答案.

【解答】解：设BD=mBC=(6m,3m>

则AD=AB+BD=(1,3)+(6mt3m)=(6m+l,3m+3),

由而-BC=G得元•前=6(6m+l)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=(，

解得m=-4,所以而=(1-2,3-l)=(-l,2>

所以IADI=VGO^+P-VB-

故答案为：Jg.

【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

13.(5分)已知定义在R上的函数/(无)满足=/(-%)+3/,则曲线y=/(尤)在点(0,/(0))

处的切线方程为y=x+3.

【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.

【解答】解：因为2f(x)=/(-%)+3",所以2/(-%)=/(x)+3e~x,

联立可解得/(x)=/旺2",所以/(0)=3,

所以，(x)=-ex+2e^,f(0)=1.

所以曲线>=/(无)在点(0,/(0))处的切线方程为y-3=x,

故所求的切线方程为y=x+3.

故答案为：y=x+3.

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于中档题.

14.（5分）小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A,2中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷

一个质地均匀的骰子,如果结果小于3她就将8中的1颗糖放入A中，否则将4中的1颗糖放入8中，

直到无法继续游戏.那么游戏结束时2中没有糖的概率是—.

~17~

【分析】设最初在A中有人颗糖，B中有6-k颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为延（左=0,1,

6）,归纳找出递推关系，利用方程得出“o,再由递推关系求的.

【解答】解：设A中有发颗糖，B中有6-上颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为微（左=0,1,6）.

显然ao^a]，a6=|a5+y,2卜卷2卜+][@卜1（l〈k（5），

可得延+i-延=2（ak-ak-i）,则%-@5=2,（a「ao）=26aj

所以a6=a5+26ao=a4+25a（j+26ao=ai+22a（）+…+26残0

=326

«o+2a0+-+2a0

2+6

=ao+2ao+2a0+2a0

=lX（l-27）,°

1-2

=（27-1）ao,

同理a5=ai+22a（,+…+25ao=（26-l）a/

所以（9^-1）af.=~~（2^-1）a+~,解得acn1n1，

ana

a030303X85255

所以a3=（24-l）ao=15X康

故答案为：

17

【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题.

四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15.（13分）已知数列｛斯｝中，田=1,且即WO,Sa为数列｛为｝的前九项和，J晨+4一-=a.

（1）求数列｛小｝的通项公式；

（2）若0=1）%,求数列｛5｝的前〃项和.

口anan+l

【分析】(1)求出~二］,可求出通项公式，即可求得｛斯｝的通项公式；

(2)求出ci!)”再讨论〃为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列｛c"的前〃

%J4k2n-l2n+l7

项和.

【解答】解：⑴国+瓦？

当〃三2时，Sn一S〃-l=Cln，

两式相除可得卮-再;1,n>2-

可得强｝是以何=1为首项，1为公差的等差数列，

则^^=l+nT=r所以Sn=n'，

an=Sn-Sn-i=2n-1,n>2,当〃=1时。i=l也满足该式，

所以an=2n-1.

(2)由(1)结论可知斯=2〃-1,

所以C=（＞）%（-1）、二（-l）n1「1

aa

nnn+i（2n-l）（2n+l）42n-l2n+l

设｛Cn｝的前〃项和为〃，当〃为偶数时,

T/"（1号）+母*-i+（2nHl）]=i[-1W]=-篇

当”为奇数时，T"=〃.1+Cn=nTnn+1

4n-2（2n-l）（2n+l）4n+2

n

n为偶数

~4n+2

所以■=

_n+1

n为奇数

~4n+2

【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能

力，属于中档题.

16.(15分)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC。与四边形CD所均为等腰

梯形，AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=遥，AE=2&.

(1)证明：平面ABCZ5_L平面CD£F；

(2)若M为线段C。上一点，且CM=1,求二面角A-EM-B的余弦值.

【分析】(1)根据线面垂直判定定理得出线面垂直，再结合面面垂直的判定定理得出面面垂直;

(2)应用空间向量法计算二面角余弦即可.

【解答】解：(1)证明：在平面CDEF内，过E作E。垂直于CD交于点0,

由CD=2EE=4,得。0=1,且。所以OE=2,

连接A。，由△^。。^△即。，可知A0_LCD且40=2,

所以在三角形0AE中，AE2=OE2+OA2,从而0E_L0A,

又0E_LCD,OAHCD^O,0A,ABCD,所以0E_L平面A3CZ),

OEu平面CDEF,所以平面ABCD_L平面CDEF-,

(2)由(1)知，平面ABC。，平面CDEP,以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,2),E(2,0,0),M(0,2,0),B(0,2,2),

AE=(2,0,-2),H=(-2,2,0),NB=(O,0,2)，

设平面AEM的法向量为(x,y,z)，

则日电。『2x-2z=0

取Z=l,则会=(1,1,1?

n-EI=0I-2x+2v=0

设平面BEM的法向量为m=(xi，y1，zP，

*0,即12z",取y=l,则益=(1,1,0)，

则4

-2x+2y=0mu，L,“

m•EM=0

所以|cos<u，

3

由图可以看出二面角A-EM-B为锐角，故二面角A-EM-B的余弦值为也.

【点评】本题考查面面垂直的判定定理以及二面角的求法，属于中档题.

17.(15分)已知函数/(x)=*-2ax,aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间;

(2)若对于任意的x>0,都有/(x)恒成立，求°的取值范围.

【分析】(1)对/(x)=e"-2办求导，可得/(%)=2户-2a,再分类讨论。的取值，得出导数的

正负即可得出单调区间；

(2)对。进行分类讨论，根据导数的正负求得了(x)的最小值，判断是否满足了(x)21,即可求解.

【解答】解：(1)对/(x)=e2x-2ar求导，可得/(x)=2elx-2a,

令/(x)=0,即2e2x-2a=0,即e2x=a,

当aWO时，/(x)>0恒成立，/(x)在R上单调递增；

当a>0时,g^x-a>2x=lna>x=^_lna,

当x<^Ina时，f⑴<3/(X)在(-8,/ma)上单调递减；

当X〉/Ina时，f'J)>0,于(x)在小na,g)上单调递增；

综上，当aWO时，/(%)的单调递增区间为风

当。>0时，/(x)的单调递减区间为(-8,-Llna),单调递增区间为更加，XQ).

(2)因为对于任意的x>0,都有/(x)恒成立，

对/(%)=理-2以求导，可得/(x)=2e2x-2a,

令f(x)=0,即2e2x-2a—0,即e2x=a,

①当〃W0时，f'(x)>0,则/(%)在(0,+°°)单调递增，f(x)>f(0)=1,符合题意；

②当OV〃W1时，0=a,贝Uxh^"]na<0，

则/(x)>0,f(x)在(0,+8)单调递增，y(x)>/(o)=1,符合题意；

③当〃>1时，，%=〃，贝！Jx="^lna〉C，

当x€(0,/lna)时，，(无)<°，则/(无)在(O,^Ina)单调递减，

当x£Rina,+co)时，/(%)>0,则/⑴在Rina,Q)单调递增，

所以f(x)>f(~lna)=elna-2a,'^-lna=a-alna,

令g(a)—a-alna,a>l,贝!Jg'(a)=Tna<0,

所以g(〃)在(1,+°°)上单调递减，所以g(〃)Vg(1)=1,不合题意；

综上所述，aE(-8,1].

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题.

18.(17分)已知双曲线E：4-4=i(a>o>b〉0)的左、右焦点分别为Q，F2,5的一条渐近线

方程为y=6x,过乃且与x轴垂直的直线与E交于尸，。两点，且△尸。乃的周长为16.

(1)求E的方程;

(2)A,B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C(0,4),求/ACB的取值范围.

,2,2

【分析】⑴将尤=-c代入曲线£得丫=±2，故得|PF|=|QFJ="，从而结合双曲线定义以

a11a

a

及题意得，2，解出a，b即可得解.

&-+4a=16

a

(2)设AB：y=kx+m,联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得NACM的正切值，进而得

/ACM范围，从而由/ACB=2NACM即可得解.

【解答】解：(1)先将尤=-c代入双曲线方程E：4A=l(a>0,b>0)>%=±—>

a2b2a

22

因此|PF/=|QF1|=旦-，因此〔PF21=lQF21="+2a，

11a乙乙a

因此根据题意可得a,

&-+4a=16

a

整理方程组可得[an

Ib=V3

因此双曲线£■的方程为Eiv2--=1.

3

(2)由题意可知直线AB斜率存在且斜率kW±J5,

令AB：y=kx+m,B(股，")，A(xi，yi),令A3的中点为M.

y=kx'+ni

根据49消去y并整理得(3-F)x2-2kmx-m2-3—0,3-FWO,

3x-y=3

所以△=Q2km)2+4(3-Q)(m2+3)=12(3+m2-^2)>0,所以加2>庐-3,

3+m2

2kmy[+y2=k(x[+x2)+2m=k•*'+%=

X.+x=------3,X,X2=-------26',

23-k23-k23—k3-k

3m,

—4c

yM-yc3-k23m-12+4k2

因此3（景帝/

XMkmkm

x-k2

2

根据中垂线知如CMAB=-1，因此3m-12+4k.-1,解得：m=3-

kmk

因此根据A,B在双曲线的右支上可得:

22

S22

x1x2=-^y=-^->0=>m=3-k<0=>k>3>

123-k2m

并且Xi+x2=上1=2k>0nk〉C，

1'3-kJ

并且A=4（3"，-3^+9）>0,

整理得（3-必）2+（3-^2）=（3-后）（4-必）>0,

所以严<3或M>4,

又因为户>3,

所以后>4,

综上所述，户>4,所以左>2,

又因为|CM|J2-4）=板1+产，

V3-k23-k'3-k"

2

AH-^/（x1+x2）-4x1x2-Vb?

因此tan/ACM戈计i--------礼2---------