2025高考物理复习教案：带电体在电场中运动的综合问题

第九章静电场

专题十三带电体在电场中运动的综合问题

核心考点五年考情命题分析预测

2023：上海T8；图像问题一般以选择题形

电场中的图像问题

2021：山东T6式考查，其他内容一般以

带电粒子在交变电场压轴选择题或计算题形式

中的运动考查，考查频次一般.预计

“等效法”在复合场2022：全国甲T21,辽宁T14；2025年高考将考查利用

中的运用2019：浙江4月T13“等效法”求解带电粒子

2023：新课标T25,浙江6月在复合场中运动的力电综

T12,浙江1月T12；合问题.另外可能会将电场

电场中的力电综合问2022：浙江6月T15,辽宁T10；中电势能与其他能量相关

题2021：福建T15；问题结合起来考查，要注

2020：天津T12；意与弹簧、斜面等模型的

2019：全国UT20,全国HT24结合.

题型1电场中的图像问题

l.V-f图像

根据V—f图像的速度变化、斜率变化（即加速度大小的变化），可确定电荷所受静电力的

方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化.

2.（p—x图像

（1）电场强度在X轴方向分量的大小等于W—X图线的切线斜率的，电强电场

绝对值，如果图线是曲线，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的八（非匀强电场

直线，电场为匀强电场（如图）.切线的斜率为零时沿x轴方向电场。匕「二工

强度为零.

（2）在p—x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势大小关系确定电场强度

的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向.（如图）

一加处图线切线的斜率为0,即其产0

短处图线切线的斜率

的绝对值比划处的大,

即瓦2>瓦4

■43处3=0，瓦3Ho

电场强度：电场强度向右

向左（正向）

（3）在p-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用%进而分析孙B的正

负，然后作出判断.

（4）电场中常见的p-x图像

①点电荷的9-x图像（取无限远处电势为零），如图.

②两个等量异种点电荷连线上的W-x图像，如图.

③两个等量同种点电荷的9-x图像，如图.

BfF点由荷库线卜两正占由指阵线的中正线卜

3.E—x图像

（1）£—x图像为静电场在x轴上的电场强度£随x的变化关系，若规定x轴正方向为电场

强度£的正方向，则£>0,电场强度£沿x轴正方向；£<0,电场强度£沿x轴负方向.

（2）£—x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差（如图所示），两点的电势高低根据

电场方向判定.在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势

能变化等情况.

E-一所围"面积”的大小表示a

才'A两点的电势差

（3）电场中常见的£-X图像

①点电荷的E-x图像

正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像大致如图所示.

正点电荷负点电荷

②两个等量异种点电荷的£-x图像，如图.

两点电荷连线上两点电荷连线的中垂线上

③两个等量正点电荷的E-x图像，如图.

4.Ep-x图像

由静电力做功与电势能变化关系八x=£pi—耳2=—知Ep-X图像的切线斜率仁鲁

其大小等于静电力，斜率正负代表静电力的方向，如图所示.

率

切线

斜表

在

手

该

示粒

的

到

静

点受

电力

0—~4X

5.£kf图像

当带电体只有静电力做功，由动能定理尸Eko=A£k知Ek-x图像的切线斜率2

等,其大小等于静电力.

△%

命题点1电场中的V-/图像

1.一带电粒子仅在电场力作用下从/点开始以一V0做直线运动，其V

一/图像如图所示.粒子在灯时刻运动到8点，3/0时刻运动到。点，

下列说法正确的是（C）

A/、B、C三点的电势关系为9B＞0d＞叱

B.4B、C三点的场强大小关系为%＞颐＞%

C.粒子从/点经B点运动到C点，电势能先增加后减少

D.粒子从/点经3点运动到。点，电场力先做正功后做负功

解析由题图可知，带电粒子在0〜而时间内做减速运动，电场力做负功，电势能增加，在

力〜3加时间内反方向做加速运动，电场力做正功，电势能减少，C正确，D错误；由于不

知道带电粒子的电性，故无法判断电势的高低，A错误；题图中的斜率表示粒子的加速

度，即〃=竺=些，可知/、B、C三点中2点的场强最大，B错误.

△tm

命题点29—x图像

2.［多选］在％轴上有两个点电荷夕1、qi,其静电场的电势夕在％轴上分布r

如图所示.下列说法正确的有（AC）］

A.m和/带有异种电荷°\ri

B.X1处的电场强度为零

C.负电荷从XI移到X2,电势能减小

D.负电荷从XI移到X2,受到的电场力增大

解析由题图可知，电势有正有负，且只有一个极值，说明两个点电荷为异种电荷，A正

确；由七=效可知，夕一x图像的切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，因此X1处的电场

AxT

强度不为零，B错误；负电荷从XI移到X2的过程中，电势升高，电场强度减小，由4=

q（p,F=qE可知,负电荷电势能减小，受到的电场力减小，C正确，D错误.

命题拓展

如图，某负点电荷从X3处静止释放，判断其能否到达X4处，并说明理由.

答案能；负点电荷在X3〜X2之间受到沿X轴正方向的电场力，在1

X3〜X2之间加速运动，在X2〜X4之间受到沿X轴负方向的电场力，在卜•'p''-

X2〜X4之间减速运动，又X3和X4两处的电势相等，则负点电荷到达X4。［产，一,

处时速度恰好为0.

命题点3E-x图像

3.一静电场在x轴方向上的电场强度E随x的变化关系如图所示，在x轴上有四点xi、X2、

X3、X4,相邻两点间的距离相等，X轴正方向为场强正方向，一个带正电的点电荷沿X轴运

动，则点电荷（B）

A.在X2和X4两点处电势相等

B.由XI运动到X4的过程中，加速度先增大后减小

C.由XI运动到X4的过程中，电势能先增大后减小

D.从X2运动到XI的过程中，电场力做的功为防，从X3运动到X2的过程中，电场力做的功

为男2，则跖=W2

解析由题图可知X1到X4处的场强沿x轴负方向，则点电荷从X1到X4处逆着电场方向移

动，电势升高，故带正电的点电荷电势能一直增大，A、C错误；点电荷由电

运动到X4的过程中，由题图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，所以电场力先增大

后减小，加速度也先增大后减小，B正确；E—x图线与横轴所围图形的面积的绝对值表示

电势差的绝对值，由题图可知。32＞仿I,故忆〉忆，D错误.

命题点4EP-X\x图像

4.一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动.取该

直线为X轴，起始点。为坐标原点，其电势能为与位移X的关系如图

所示.下列图像中合理的是（D）/;

电场强度粒子动能粒子速度粒子加速度

与位移关系与位移关系与位移关系与位移关系

解析由于粒子只受电场力作用，因此由歹电=I看|可知，瓦一X图像的图线斜率大小表

示粒子所受电场力大小，从题图可知，图线的斜率随位移的增大而越来越小，因此粒子运

动后所受的电场力随位移的增大而越来越小，因此电场强度越来越小，加速度也越来越

小，A错误，D正确；由于粒子只受电场力作用，因此动能与电势能的和是定值，但从B

项图和题图可以看出，不同位置的电势能与动能的和不是定值，B错误；粒子做加速度减

小的加速运动，C错误.

题型2带电粒子在交变电场中的运动

1.带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化（如方

波）的情形.

当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向

的分运动具有周期性.

2.研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正

确地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等.

3.注重全面分析（分析受力特点和运动规律）：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的

对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与运动过程相关的临界条件.

4.对于锯齿波和正弦波类电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿

过电场时可认为是在匀强电场中运动.

5.[If，直线近动/多选]如图甲所示，A、8是一对平行的金属板，在两板间

加上一周期为T的交变电压，/板的电势必=0,随时间的变化规律如图乙所示.现有一

电子从/板上的小孔进入两板间的电场区域，设电子的初速度和重力的影响可忽略，则

(AB)

图甲图乙

A.若电子是在/=()时刻进入的，它将一直向2板运动

B.若电子是在时刻进入的，它可能时而向3板运动，时而向/板运动，最后打在2板

O

上

C.若电子是在/=丁时刻进入的，它可能时而向8板运动，时而向4板运动，最后打在8

O

板上

D.若电子是在/=泄刻进入的，它可能时而向2板运动，时而向/板运动

解析根据题意及电子进入电场后的受力情况和运动情况，作出如图所示的4个图像.

由图4可知，当电子在f=0时刻进入电场时，电子一直向3板运动，A正确；若电子在工时

8

刻进入电场，则由图4知，电子向8板运动的位移大于向/板运动的位移，因此最后仍能

打在8板上，B正确；若电子在乎时刻进入电场，则由图4知，在第一个周期内电子即返

回至/板，从/板射出，C错误；若电子在彳时刻进入电场，则它一靠近小孔便受到排斥

力，根本不能进入电场，D错误.

方法点拨

交变电场中的直线运动处理方法

轨迹图

6.[/2024四川泸县四中月考]如图甲所示，在坐标系中，

两金属板平行放置，。。与x轴重合，板的左端与原点。重合，板长£=2m,板间距离4=

1m,紧靠极板右侧有一足够大荧光屏.两金属板间电压〃。随时间的变化规律如图乙所示，

变化周期为7=2X10-35,Q)=5X：103v,/=0时刻一带正电的粒子从左上角/点附近，以

vo=lOOOm/s的速度平行于48边射入两板间，最终打到荧光屏上.已知粒子带电荷量q=

1XIO-5C,质量加=ixi(p7kg,不计粒子所受重力，求：

(1)粒子在板间运动的时间；

(2)粒子打到屏上的速度；

(3)若N处的粒子源以vo=lOOOm/s的速度平行于N3边连续不断发射相同粒子，求荧光

屏上的光带长度是多少？若向右移动荧光屏，屏上光带位置和长度如何变化(写出结论，

不要求计算过程).

答案(1)2X10%(2)大小为500V^m/s,方向与w的夹角6满足tan0=g(3)

0.5m光带位置下移，长度不变

解析(1)粒子在板间沿X轴方向做匀速运动，运动时间为根据£=

代入数据解得/0=2X10-3s

(2)设/=0时刻射入板间的粒子射到荧光屏上时沿y轴方向的分速度为4，合速度为v,

v与vo的夹角为仇有

T

vy=a，2

根据牛顿第二定律有a=£=也

mma

粒子打到屏上的速度v=Jvg+vy,tanO=?

代入数据解得v=500V^m/s,tan0=|

(3)粒子在f=2〃X10-3s(其中〃=o,1,2,3,••­)时刻射入两板，射到荧光屏上时有

最大侧移JVmax,有

打入％ax=；弊(?)2+写⑸2=o.75m

粒子在/=(2〃+1)X10-3s(其中〃=0,1,2,3,•••)时刻射入两板，射到荧光屏时有

最小侧移J/min,有

ymin—G)2=0.25m

2ma2

光带长度A£=ymax—Vmin=0.5m

若向右移动荧光屏，光带位置下移，长度不变.

题型3“等效法”在复合场中的运用

1.等效重力场

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是物体处在匀强电场和重力场中的

运动就会变得复杂一些.此时可以将重力场与电场“合二为一”，用一个全新的“复合场”

来代替，可形象称之为“等效重力场”.

2.等效重力场的相关知识点及解释

等效重力场O重力场、电场叠加而成的复合场

等效重力0重力、电场力的合力

等效重力加速度Q等效重力与物体质量的比值

等效“最低点”o物体自由时能处于稳定平衡状态的位置

等效“最高点”O物体做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置

等效重力势能=等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

3.举例

重力场与电场在一条宜线上

等效重力场

［［等效"最低点'

，0±

,磁驹E-mg

等效重力加速度

等效重力加速度

7.［多选］如图所示，空间存在一竖直向卜的匀强电场，电场强度为E该空

间有一带电小球用绝缘细线悬挂在。点，可在竖直平面内做完整的变速

圆周运动，且小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大.已知带电小球

的质量为加，带电荷量为细线长为/,重力加速度为g,则

（BD）

A.小球带正电

B.电场力大于重力

C.小球运动到最低点时速度最大

D.小球运动过程的最小速度为泌-mg”

解析因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力（等效重

力）方向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；

因重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C错误；由于等

效重力竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足即

Vmm=心抖，故D正确.

8.如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环一—

固定在竖直平面内，。是圆心，48是竖直方向的直径.一质量为〃八电―V~~\~

荷量为+q（g>0）的小球套在圆环上，并静止在尸点，。尸与竖直方.

向的夹角6=37。.不计空气阻力，已知重力加速度为g,sin37o=0.6,--------------------►

cos37o=0.8.求：

（1）电场强度£的大小；

（2）若要使小球从尸点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件.

答案⑴舞（2）不小于图7

解析（1）当小球静止在尸点时，小球的受力情况如图所示，

则有/=tan。，所以£=电电

mg4q

/22r

（2）小球所受重力与电场力的合力尸=J（mg）+（qE）=不陪.当小球做圆周运动时，

可以等效为在一个“重力加速度”为也的"重力

场”中运动.若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的0点.设当小球从P

点出发的速度为Vmin时，小球到达。点时速度为零，在小球从尸运动到0的过程中，根据

动能定理有一］?g-2r=0—/瑶皿，所以Vmm=J5gr,即小球的初速度应不小于，5gr.

方法点拨

等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路

1.求出重力与电场力的合力F,.,将这个合力视为一个“等效重力”.

2.将。=空视为“等效重力加速度”.

m

3.找出等效“最低点”和等效“最高点”.

4.将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.

题型4电场中的力电综合问题

1.解题关键

通过审题抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特

点来选择相应规律求解.动能定理和能量守恒定律在处理电场中的能量问题时仍是首选的方

法.

（1）用正交分解法处理带电粒子的复杂运动问题：可以将复杂的运动分解为两个互相正交

的比较简单的直线运动.

（2）用能量观点处理带电粒子在电场中的运动问题：对于受变力作用的带电粒子的运动问

题，必须借助于能量观点来处理；即使是受恒力作用的运动问题，用能量观点处理常常也

更加简便.

2.用能量观点处理带电粒子的运动问题

（1）用动能定理处理

思维顺序一般为：①弄清研究对象，明确所研究的物理过程.

②分析粒子在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功.

③弄清所研究过程的始、末状态（主要指动能）.

④根据少=公民列出方程求解.

（2）用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理

列式的方法常有两种：

①利用初、末状态的总能量相等(即©=瓦)列方程.

②利用某些能量的减少量等于另一些能量的增加量列方程.

(3)两个结论

①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变.

②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变.

9.［，023黑龙江哈尔滨质量监测/多选］如图所示，NC是

圆。的一条水平直径，AD是竖直直径，M点是圆上的点，。〃连线与。。的夹角为60。，

该圆处于方向与圆面平行的匀强电场中.将电荷量为g(q>0)、质量为根的粒子从圆心O

点以相同的动能Eko射出，射出方向不同但都与圆共面，粒子在重力和电场力的作用下可

以经过圆周上的所有点.其中经过C点时粒子的动能最小且为等.已知圆的半径为凡重力加

速度的大小为g,匀强电场的电场强度E=誓，则下列说法正确的是(AD)

A.M点的电势高于/点的电势

B.2点的电势等于。点的电势/\

C.粒子经过河点时的动能为:四0

D.粒子经过AB连线中点时的动能为］及0

解析由题意知，因为经过。点时粒子的动能最小，所以粒子从。点

到。点克服合外力所做的功最多，而重力和电场力对粒子做的功只与

粒子的初、末位置有关，与路径无关，由此可推知重力和电场力的合

力厂的方向一定水平向左，如图所示，又因为q£=2"zg,则根据几何

关系以及平行四边形定则可知电场强度方向与水平方向夹角为30°,

根据沿电场强度方向电势降低可知M点的电势高于N点的电势，8点的电势低于。点的电

势，A正确，B错误；根据前面分析可知粒子所受合外力大小为对从。

点到C点的粒子，根据动能定理有害一Ek0=—FR,根据几何关系可知。“垂直于电场

线，所以。河为一条等势线，粒子从。点到M点的过程，电场力不做功，重力做负功，根

据动能定理有£kM-Eko=-〃?gAsin6O°,解得£kM=|Eko,C错误；48连线中点G在

上的投影点为瓦根据几何关系可知770=*根据动能定理有a6一反0=尸》。，解得EkG

=：Eko,D正确.

1O.［］如图所示，左边竖直半圆光滑绝缘、尸之、

轨道与水平光滑绝缘轨道相切于4点，整个空间有斜向左上飞

方的匀强电场，与水平方向夹角0=30。，电场强度£="'

1.0X103N/C,2点是轨道的最高点，半圆半径R=2m.在水平轨道上距/点工=#111的。

处由静止释放一质量冽=2X10一《kg、电荷量q=2Xl(T6c的带正电小球尸，小球沿水平轨

道运动一段时间，从4点冲上半圆轨道，并沿半圆轨道到达轨道最高点瓦取/点电势为

零，重力加速度g取10m/s2.求小球在半圆轨道上运动的过程中:

(1)电势能的最小值；

(2)最大速度的大小.

答案(1)—6X103J(2)10m/s

解析(1)设过。点的电场线与半圆轨道的交点为

则小球在M点电势能最低，如图所示.

与竖直方向成60。角，Ep=O,小球从/到M的过程

Amg

中，根据功能关系有WAM—EVA—EPM

电场力做功%(l+sin0)

3

联立并代入数据解得EpM=-6X10-J

(2)小球从C到/的过程中，根据动能定理有

EqLcosO=^mv\

因为mg=Eq,且重力与电场力的夹角为120°,所以合力为Fa=mg,方向斜向左下方，与

竖直方向成£=60。角，过。点沿尸令的方向作直线，交半圆轨道于。点，如图所示，则小

球在。点时速度最大

小球从N到。的过程中，根据动能定理有

F(1—cos60°)—^mv\

联立并代入数据解得vD=10m/s

所以小球在半圆轨道上运动的最大速度为10tn/s.

11.［更动+抛体「72024云南昆明“三诊一模"摸底］如图所

示，质量为加、带电荷量为+［的小球(可视为质点)与不可伸长的

绝缘轻绳相连，绳子另一端固定在。点的拉力传感器上(拉力传感

器没有画出)，。点距离水平地面的高度为2R,空间存在竖直向下

的匀强电场.现使小球获得一初速度后绕。点在竖直平面内做半径为尺的圆周运动，拉力传

感器显示出绳子拉力的最小值为0,最大值为12mg,g为重力加速度.

(1)求匀强电场的场强大小后

(2)若小球运动到最低点时绳子断裂，求小球落地点到O点的水平距离.

答案(1)%(2)V107?

q

解析(1)依题意，小球通过最高点时，由牛顿第二定律有

।口_诏

mg-rqh—m—R

从最高点到最低点，据动能定理有

(mg+qE)X2R=-|mv2—

2

通过最低点时，由牛顿第二定律有12冽g—(mg+qE)=冽一

R

联立解得£=吗

q

(2)绳断后小球做类平抛运动

竖直方向上：R=^at2

水平方向上：x=vt

根据牛顿第二定律有mg-\-qE=ma

联立解得

解析由夕一s图像可知，沿s轴正向电势逐渐降低，由公式与=夕夕可知负电荷在低电势点

的电势能大，所以负电荷向右移动的过程中电势能逐渐增大，又各点的电势为正值，则负

电荷在各点具有的电势能为负值，故C正确，ABD错误.

2.［电场中的图像问题〃021山东］如图甲所示，边长为。的正方形，四个顶点上分别固定一

个电荷量为+夕的点电荷；在OWX<YQ区间，x轴上电势夕的变化曲线如图乙所示.现将一

电荷量为一。的点电荷P置于正方形的中心。点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为

零.若将尸沿工轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是(C)

o

图甲图乙

A©=41，释放后尸将向右运动

8.。=当口4，释放后尸将向左运动

C©=等与，释放后尸将向右运动

D.Q=^R,释放后P将向左运动

解析对。点上方的点电荷，受力分析如图所示，由平衡知识可得鱼礁■十

1-2=k-,解得。=空普，因在OWxV与区间内沿x轴正向电

(V2a)

势升高，则场强方向沿X轴负向，则将尸沿工轴正向向右略微移动后释

放，尸受到向右的电场力而向右运动，C项正确.

3.［+力能，022浙江6月/多选］如图为某一径向电场示意图，电场

强度大小可表示为£=巴，。为常量.比荷相同的两粒子在半径厂不同的圆轨道运动.不考虑粒

r

子间的相互作用及重力，则（BC）

A.轨道半径厂小的粒子角速度一定小

B.电荷量大的粒子的动能一定大

C.粒子的速度大小与轨道半径r一定无关

D.当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动

解析粒子在半径为r的圆轨道运动，有qE=m（o2r,将£=2代入上式得可知轨

rm产

道半径小的粒子，角速度大，A错误；由《£=加匕瓦=引丫2、£=;解得即电荷量

r2r2

大的粒子动能一定大，正确；由石=冽上、可得俨=丝，即粒子速度的大小与轨道半

Bqr£1=2rm

径r无关，C正确；带电粒子的运动方向和垂直纸面的磁场方向是向里还是向外未知，粒

子所受洛伦兹力方向未知，D错误.

4.［黄+斜面〃022辽宁/多选］如图所示，带电荷量为60（。＞0）的

球1固定在倾角为30。的光滑绝缘斜面上的。点，其正上方/处固定1£

一带电荷量为一。的球2,斜面上距。点Z处的6点有质量为正的带

电球3.球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态，此时弹簧的压缩量为

T，球2、3间的静电力大小为詈.迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动.g为重力加速度，

球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（BCD）

A.带负电

B.运动至a点的速度大小为J战

C.运动至a点的加速度大小为2g

D.运动至ab中点时对斜面的压力大小为注二mg

解析假设球3带负电，则球1对球3的作用力沿斜面向下，球2对球3的作用力为斥力，

由于球之间的距离相等，则球1对球3的作用力一定大于球2对球3的作用力，弹簧不可

能处于压缩状态，因此球3一定带正电，A错误.移走球1前，弹簧的压缩量为右则移走球

1后球3运动至a位置时，弹簧的伸长量为5，则球3在6点与在a点时弹簧的弹性势能相

等，又由于a、6两点到球2的距离相等，则在球2形成的电场中°、6两点的电势相等，a、

6两点的电势差为零，则球3由6到a的过程，由动能定理得mgLsin30。=；〃7V2,解得v=

y［gL,B正确.对移走球1前的球3受力分析，如图甲所示，由力的平衡条件，沿斜面方向

上有加gsin30°+g3sin30°+F=B3,又用3=鬻=詈，Fi3=^=3mg,解得尸="g;

当球3在a点时，受力分析如图乙所示，由于弹簧的伸长量为|,则尸三尸，对球3由牛顿

第二定律得尸+尸23sin30°一加gsin30°="皿，解得a=2g,C正确.球3运动到"中点时，

受力分析如图丙所示，球3与球2之间的距离为》=£＜：0$30。=也，则两球之间的库仑力

大小为F"23=-^-=—,由力的平衡条件知在垂直斜面的方向上有Fm=mgcos30°一尸’23,

,G郎）23

解得后2=%4wg,D正确.

图甲图乙图丙

5.［能量守恒定律+带电体在电场中的运动/2022辽宁］如图所示,

光滑水平面AB和竖直面内的光滑;圆弧导轨BO在B点平滑连

接，导轨半径为R.质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A

点后由静止释放，脱离弹簧后经过2点时的速度大小为历，

之后沿导轨80运动.以。为坐标原点建立直角坐标系宜内，在x2一R区域有方向与x轴夹

角为0=45。的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为近加g.小球在运动过程中电荷

量保持不变，重力加速度为g.求：

（1）弹簧压缩至4点时的弹性势能；

（2）小球经过。点时的速度大小；

（3）小球过。点后运动的轨迹方程.

答案⑴3mgR（2）（3）工=9

解析（1）小球从/点静止释放，根据动能定理有

EPA=^mvl—0

可得弹簧压缩至N点时的弹性势能EPA^mgR

（2）小球从3运动到。的过程中重力、电场力对小球做功，根据动能定理有

其中F电=dmg

可得刃=/研

（3）小球离开。点后的受力分析如图所示，根据受力分析可知重力与电场力

的合力方向沿水平方向，大小为方合=Awg,即小球离开。点后，在水平方向以

加速度g做匀加速直线运动，有其中

在竖直方向以速度vo做匀速直线运动，有y=vot=tyj3gR

联立可得轨迹方程为x=£

6R

基础练知识通关

1.［多选］如图所示，在粗糙绝缘水平面上间隔一定距离放置两个带

AB―►F

~77777777777777777777777777777/777777777

电的物体/、B,带电荷量分别为+。和一9（设两电荷间只有库

仑力），开始时，4、5均处于静止状态，在物体5上施加一水平向右的恒力产，使物体

/、2向右运动.在此过程中，下列说法正确的是（AD）

A.力F、库仑力及摩擦力对物体B所做的功之和等于物体B的动能增量

B.力尸做的功与摩擦力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量

C.库仑力及摩擦力对物体/做的功等于物体N的动能增量与电势能增量之和

D.力/做的功及摩擦力对物体N和8做功的代数和等于物体/和B的动能增量及电势能增

量之和

解析根据动能定理知，力尸做的功与摩擦力对物体8做的功及库仑力对物体8做的功之

和等于物体3的动能增量，故A正确，B错误；根据动能定理知库仑力及摩擦力对物体/

做的功等于物体N的动能增量，C错误；根据能量守恒可知：力/做的功及摩擦力对物体

/和3做功的代数和等于物体/和2的动能增量及电势能增量之和，故D正确.

2.［多选］某条电场线是一条直线，上边依次有。、/、B、。四个

点，相邻两点间距离均为力以。点为坐标原点，沿电场强度方

向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所

示.一个带电荷量为+夕的粒子，从。点右侧某处（到。点间距离

极小，可忽略）由静止释放，仅受电场力作用，则（AD）

A.若O点的电势为零，则/点的电势为一萼

B.粒子从A到B做匀速直线运动

C.粒子在OA段电势能减少量小于段电势能减少量

D.粒子运动到B点时动能为空

解析由图可知E—x图像所围成图形的面积表示两点间的电势差大小，因此瓦心

由于9。=0,因此0,4=一；瓦乙故A正确；粒子由4到8过程电场力一直做正功，则带正电

粒子一直加速运动，在该过程电场强度不变，带电粒子做匀加速直线运动，故B错误；粒

子在04段的平均电场力大于2C段的平均电场力，则0/段的电场力做的功大于2C段电

场力做的功，由功能关系知，粒子在0/段电势能的变化量大于在2c段电势能的变化量，

或者从04段和3c段图像所围成图形的面积分析可知UOA>UBC,根据电场力做功公式W

=qU和〃=-A£p,也可得出粒子在。4段电势能的变化量大于在8c段电势能的变化

量，故C错误；对粒子从。到B点过程，根据动能定理，则有少08=4。08=£砥-0,而

UoB=^E0(d+2d),联立方程解得知=耍，故D正确.

3.［2024湖北“宜荆荆恩”起点考试］如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，一个质子仅在

电场力作用下沿x轴正方向运动，经过间距相等的/、B.C三点，该质子的电势能稣随坐

标x变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(A)

图甲图乙

A.4点电势高于3点电势

B.A点的电场强度小于8点的电场强度

C.质子经过A点的速率大于经过B点的速率

D./、2两点电势差SB小于3、C两点电势差Sc

解析由题图乙可知，质子沿x轴正方向运动的过程中，其电势能逐渐降低，所以电场力

做正功，又质子带正电，则电场线沿x轴正方向，故/点电势高于2点电势【另解：电势

高低亦可通过电势能的高低来判断】，A正确；与一x图线斜率的绝对值表示电场力的大小

【点拨：电场力做的功少=一小身=小，则堂=一尸］，又£=；,则图线斜率绝对值的变

化可以间接反映场强大小的变化，由题图乙可知，图线斜率的绝对值逐渐减小，则场强逐

渐减小，即N点的场强大于3点的场强，B错误；质子从/点运动到8点的过程，电场力

做正功，质子的动能增大，速度增大，则质子经过/点的速率小于经过2点的速率，C错

误；结合B项分析，/、8之间的平均场强大于8、C之间的平均场强，根据。=£d定性分

析可知，UAB>UBC,D错误.

4.[2024山东黄泽明德学校月考/多选]两个等量同种正点电荷固定于光滑绝缘水平面上，其

连线中垂线上有/、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为+2X10-3C、质量为o」kg的

小物块（可视为质点）从C点静止释放，其在水平面内运动的v—f图像如图乙所示，其中

B点处为整条图线切线斜率最大的位置（图中标出了该切线），则下列说法正确的是

(ACD)

，4

A.由C到/的过程中物块的电势能逐渐减小

B.B、/两点间的电势差加=5V

C.由。点到/点电势逐渐降低

D.3点为中垂线上电场强度最大的点，场强为100N/C

解析由v—/图像可知，由C到N的过程中，物块的速度一直增大，电场力对物块做正功,

电势能一直减小，A正确；由y—f图像可知，Ay3两点的速度分别为v,4=6m/s,VB=4

m/s,再根据动能定理得夕以=；加诺一;机位，解得g=-500V,故为=500V,B错误；

两个等量同种正点电荷连线中垂线上电场强度方向由。点沿中垂线指向外侧，故由。点到

/点的过程中电势逐渐降低，C正确；小物块在3点的加速度最大，为am=<m/s2=2

7—5

m/s2,所受的电场力最大为%1=冽%=0.1X2N=0.2N,则场强最大值为&1=纽=7■*J

q2x10'

N/C=100N/C,故D正确.

5.[2023海南统考/多选]如图所示，空间存在着方向竖直向下的匀强电场，光滑绝缘斜面N8

与粗糙绝缘水平地面平滑连接，斜面与水平面的夹角a=37。.质量为m=0.5kg、电荷量

为q的带正电小物块（可视为质点）从N点由静止释放，经过3点后进入水平面，最后停

在C点.若小物块经过3点前后速度大小不变，电场的电场强度大小为£=强，5=24m,

<?

&c=36m,重力加速度g取10m/s2,sin37o=0.6,cos37o=0.8,下列说法正确的是

(BC)

A.小物块在斜面上运动的加速度大小为6m/s2

B.小物块从/点运动到C点所用的时间为5s

C.小物块与水平地面间的动摩擦因数为0.4

D.小物块从/点运动到C点，静电力所做的功等于系统内能的增加量

解析由牛顿第二定律知小物块在斜面上运动的加速度大小为Q=(mg+q©sma=葭zs2,故

m1n

A错误；小物块从/点运动到2点，有漏,所用的时间为fi=2s,到2点的速度为

v=ati=24m/s,小物块从5点运动到C点，市IBC=*,所用的时间为，2=3S,贝U小物块

从4点运动到C点所用的时间为t=t\+t2=5s,故B正确；小物块在水平地面上的加速度

tz,=-=8m/s2,由牛顿第二定律有〃(冽g+g£)=zw优，可得小物块与水平地面间的动摩擦因

数〃=0.4,故C正确；小物块从4点运动到。点，静电力和重力做正功，摩擦力做负功，

由此+吸一%=0,叼=0可知静电力所做的功与重力所做的功之和等于系统内能的增加

量，故D错误.

6.［2024四川宜宾第二中学开学考/多选］如图所示，质量为机、带电荷量厂1、，

为十夕的小圆环套在半径为R的光滑绝缘大圆环上，大圆环固定在竖直(［、列

平面内，。为环心，/为最低点，5为最高点.大圆环所在的竖直平面内k\0)

存在水平向右、场强为詈(g为重力加速度)的匀强电场，现给在N点一~,

的小圆环一个向右的水平初速度V0,小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，则小圆

环运动过程中(BC)

A.动能最小与最大的位置在同一等势面上

B.电势能最小的位置恰是机械能最大的位置

C.在/点获得的初速度为12(1+V2)gR

D.在B点受到大圆环弹力大小为mg

解析由于匀强电场的电场强度为盥，易知小圆环所受电场力与重力大小相等，作出小圆

q

环的等效最低点C与等效最高点。，如图所示，小圆环在等效最低点时速度最大，动能最

大，在等效最高点时速度最小，动能最小，根据沿电场线电势降低，可知30>pc,两者不

在同一等势面上，A错误；小圆环在运动过程中，只有电势能、动能与重力势能的转化，

即只有电势能与机械能的转化，则电势能最小的位置恰是机械能最大的位置，B正确；小

圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，即小圆环通过等效最高点。的速度为0,对小

圆环由/点运动到。点过程进行分析有一q£Rsin45o-"?g(R+Rcos45o)=0—SnV解得

vo=J2(l+V2)g7?,C正确；小圆环由/点运动到3过程有一加g-2R=)?v1一；〃鬲，在B点

有N+mg=*,解得N=(2近-3)mg<0,可知，小圆环过3点受到大圆环的弹力大小为

(3—2V2)mg,D错误.

7.[2024四川成都七中零诊]如图，空间存在水平向右的匀强电场(图中未画出)，一带电

荷量为q(g>0)、质量为加的小球，自距离地面高力的/点由静止释放.落地点8距离释

放点的水平距离为斜，重力加速度为g,求：

(1)电场强度E的大小；

(2)落地时小球的动能.

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