2025高考数学专项复习：统计概率大题归类（含答案）

2025局考数学专项复习统计概率大

题归类含答案

概率统计与分布列大题归类

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

题型一：非线性回归型

题型二:数据调整型

题型三：残差型

题型四：相关系数型

题型五：二项分布型

题型六:超几何分布

题型七：正态分布型

题型八：下棋与比赛型分布列

题型九:数列递推型：马尔科夫链

题型十：数列递推型：传球模式

题型十一：多线程多人比赛型

题型十二:跳棋模式分布列

题型十三:分布列导数计算求最值

题型十四：新高考分布列型第19题

题型十五:分布列综合

题型一非线性回归型

1.（24-25高三上•四川眉山•阶段练习）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出

的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费力,

（单位:百万元）和年销售量%（单位:百万辆）关系如图所示:令电=ln&（i=l,2,…⑸，数据经过初步处

理得：

本年销售量（百万辆）

4

2

0

8

6

4

2

0IIII।1A

123456

年广告费（百万元）

5555555

iyi方3-万）2

瑞-可22他一口（纳一访2（仅一万）3一万）

1=1i=l£=1i=l2=12=12=1

444.81040.31.61219.58.06

现有①夕=bx+a和②y=nlnx+m两种方案作为年销售量y关于年广告费比的回归分析模型，其

中a,b,%均为常数.

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出"关于2的回归方程，并预测

年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？

2.（23-24高二下•河北石家庄•阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的

方式,受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动,其主播直播周期次数M其中io场

为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下：

直播周期数工12345

产品销售额水千元）37153040

根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线"=2近+。的周围，据此他对数据进行了一些初步处

理.如下表：

55555

汇冠WX筑Z^XiZi区（功-疗（仇-。）2

i=li=li—1i=li=l

3.75538265978101

1、

其中包=10g2%,。Z=—^Zi

5M

（1）请根据表中数据，建立夕关于①的回归方程；

（2）乙认为样本点分布在直线y=+n的周围，并计算得回归方程为。=9.7刀一10.1,以及该回归模

型的相关指数蹬=0.98,试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（&精确到0.01）

附:对于一组数据（%,％）,（物,外），…，（外,”“），其回归直线v=a+^u的斜率和截距的最小二乘估计

汇3一研（以一五）Za）?

分别为£=上J----------,&=V-的，相关指数：&=1—胃-------.

—日）22（5万）2

i=li=l

3.（24-25高三上•福建泉州•阶段练习）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度比有关,现收集了

该种药用昆虫的6组观测数据如下表:

温度x/°C212324272932

产卵数g/个61120275777

1616666

经计算得：X=—2^=26,y==33,Z（伤-下）（纳一可）=557,Z侬-5丫=84,工（仇一可2=

Oi=lOi=li=l£=1«=1

6

3930,线性回归模型的残差平方和2（%一。）2=236.64•06。5七3167,其中◎，仍分别为观测数据中的

1=1

温差和产卵数，i=123,4,5,6.

（1）若用线性回归方程，求"关于2的回归方程5=应+&（精确到o.1）；

（2）若用非线性回归模型求得夕关于c回归方程为y=0.06《23则,且相关指数&=0.9522.

⑴试与⑴中的回归模型相比，用&说明哪种模型的拟合效果更好.

（W）用拟合效果好的模型预测温度为35°。时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

附:一组数据（刈,%）,（灰，纺），…，（㊃，%），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计为b=

nn

t=12

n-----------,a=y—bx；^关指数7?=1-胃-------------.

22

X（x{-x）E（y（-y）

i=l4=1

4.（2023・四川•模拟预测）下表是某工厂记录的一个反应器投料后，连续8天每天某种气体的生成量（L）：

日期代码，12345678

生成的气体“（乙）481631517197122

为了分析该气体生成量变化趋势、工厂分别用两种模型:①0=b/+a,②9=d/+c对变量c和夕的

关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析,残差图如下：

888

注:残差心=例一“经计算得2出一可（纳一9）=728,2（0一蕾=42,2（&—可（少一方）=6868,

i=li=l

8-18

⑴根据残差图、比较模型①，模型②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；

（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；

（3）若在第8天要根据（2）问求出的回归方程来对该气体生成量做出预测，那么估计第9天该气体生成

量是多少？（精确到个位）

8

Z（为一动（勿一歹）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：6=------------------,a=y-bx.

目（色-可,

题型二

5.（24-25高二上.陕西.开学考试）某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生

的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位:

cm）,计算得男生样本的身高平均数为169,方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

记抽取的第i个女生的身高为g（i=l,2,3,…，10）,样本平均数元=160,方差S2=15.

参考数据：，IK-3.9,1592=25281,1692=28561.

（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一

女生身高在［160,165］范围内的人数；

（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数〃和标准差必求〃，”的值;

（3）如果女生样本数据在2s,5+2s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本

身高的平均数与方差.

6.（23-24高一下•福建南平・期末）某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生

的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样,抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：

cm）,计算得男生样本的身高平均数为169,方差为39.下表是抽取的女生样本的数据：

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

记抽取的第i个女生的身高为电（i=L2,3,…,10）,样本平均数元=160,方差52=右2。一叶=

1Ui=i

参考数据：V15«3.9,1592=25281,1692=28561.

（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一

女生身高在［160,165］范围内的人数；

（2）如果女生样本数据在（历-2s,Q+2s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本

身高的平均数与方差；

（3）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数〃和标准差叫求”的值.

7.（22-23高二・全国•课后作业）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该

生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）做好记录.下表是检验员在一天内依次抽取

的16个零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得x=卡々©=9.97,s=，击与⑶-窃=，击（与域—16歹）70.212,J5（i—8.5）%

16

18.439,2（色—动（i—8.5）=—2.78,其中为为抽取的第i个零件的尺寸（i=1,2,…，16）.

i=l

（1）求（外i）（i=l,2,…,16）的相关系数度，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程

的进行而系统地变大或变小（若加V0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大

或变小）；

（2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在3s,行+3s）之外的零件,就认为这条生产线在这一天

的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

②在（5-3s高+3s）之外的数据称为离群值,试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的

均值与标准差.（精确到0.01）

8.（20-21高二上•山东德州•期末）某市政府针对全市10所由市财政投资建设的企业进行了满意度测

评，得到数据如下表：

企业abcdef9hi3

满意度对％）21332420252124232512

投资额贝万元）79868978767265625944

（1）求投资额y关于满意度x的相关系数（精确到0.01）;

⑵约定:投资额"关于满意度力的相关系数度的绝对值在0.7以上（#0.7）是线性相关性较强,否则，

线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关,则根据满意度“末位淘汰”规定，关闭满意度最低的那

一所企业,求关闭此企业后投资额夕关于满意度2的线性回归方程（精确到0.1）.

io//io\/iorio

参考数据：了=22.8,亏=71,〉2与一10二7248,J汇曷一10元2Z姆—10丁卜643.7,〉2t加一1°西

i=lN'i=l八i=l'i=l

=406,2282=51984,228x71=16188.

附:对于一组数据（阳仇），（狈统），…，（4,外），其回归直线？=标+a的斜率和截距的最小二乘估计

n

>,x例「ri西^xtyi-nxy

i=l

公式分别为：6=三---------,d—y—bx.线性相关系数『

^Xi-nx2

^—nx2

i=l

9.（23-24高三上•湖南衡阳•阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高

科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入式单位：亿元）的散点

图，其中年份代码1〜10分别对应年份2013〜2022.

根据散点图,分别用模型①v=bc+a,②y=c+d益作为年研发投入,（单位：亿元）关于年份代码T

的经验回归方程模型,并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据,计算得到如下表所示的一

些统计量的值：

10101010_

yt卒T工（VL3）（期一研工（仇一歹）（&-9

i=l2=1i=\2=1

752.2582.54.512028.35

表中ti=y/xt,t=

LUi=i

（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入式单位:亿元）关于年份代码c的

经验回归方程模型？并说明理由；

（2）（i）根据⑴中所选模型，求出y关于①的经验回归方程；

（ii）设该科技公司的年利润L（单位:亿元）和年研发投入9（单位:亿元）满足L=（111.225—u）G（cC

N*且①C[1,20]）,问该科技公司哪一年的年利润最大？

附:对于一组数据（如幼），（必2,纺），…其经验回归直线3=&+%的斜率和截距的最小二乘

n

2（为一动（仇一百）

估计分别为6=三二----------，a=y-bx.

10.（22-23高三下•广西防城港•阶段练习）某互联网公司为了确定下季度的前期广告投人计划，收集了

近6个月广告投入量以单位：万元）和收益9（单位：万元）的数据如表：

月份123456

广告投入量24681012

收益14.2120.3131.831.1837.8344.67

他们用两种模型①-bx+a,®y=ae^分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到

如图所示的残差图及一些统计量的值.

66

Z①iVi

Xy汇点

i=li=l

7301464.24364

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型拟合？并说明理由;

（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除.

⑴剔除异常数据后求出⑴中所选模型的回归方程；

（而）若广告投入量刀=18时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？

附:对于一组数据（◎,%）,（芯,纺），…，（彩,外），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分

TI71

£（叫一研@一研^x^-nx-y

别为：B=上J----------=三---------,&=y-bx

f-可2^Xf-nx2

i=li=l

11.（20—21高二下.湖北孝感・期末）“金山银山不如绿水青山；绿水青山就是金山银山”.复兴村借力“乡

村振兴”国策，依托得天独厚的自然资源开展乡村旅游.乡村旅游事业蓬勃发展.复兴村旅游协会记录

了近八年的游客人数，见下表.

年份2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份代码X12345678

游客人数次百人）481632517197122

为了分析复兴村未来的游客人数变化趋势，公司总监分别用两种模型对变量g和力进行拟合，得到了

相应的回归方程,绘制了残差图.残差图如下（注:残差总=仇-曲：

残差

15

10

5

0

-5

-10

-15

细虚线为模型①，粗虚线为模型②

模型①y=bx2+a；模型②y=dx-\-c.

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果,应该选择哪个模型？并简要说明理由;

（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；

（3）根据（2）问求出的回归方程来预测2021年的游客人数.

[8

2

参考数据见下表:其中：Z=X,Z=—,^JZi

汇（@一可♦（%一9）=728汇（g—W）2=42汇（包一可•（纳一岁）=6868

汇（0—寸=35702>=204£yi=400

〉2（为一元）•（%一]）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：6=上一-----------,d=y-bx

12.（2023全国•模拟）（本小题满分12分）

为了研究黏虫孵化的平均温度M单位：°。）与孵化天数4之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到

如下6组数据：

组号123456

平均温度15.316.817.41819.521

孵化天数16.714.813.913.58.46.2

他们分别用两种模型①y=bx+a,®y=cedx分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,

得到如图所示的残差图：

HMD

经计算得了=17,y=13.5,Z◎仇=1297,Ex-=1774,

nn

⑴根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除,剔除后应用最小二乘法建立“关于c的线

性回归方程.（精确到0.1）

相关系数型

13.（2023•重庆沙坪坝•模拟预测）党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、

创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛

道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统

OAP,采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数

作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018-2022年）如下折线图：

2018-2022年研发人数折线图

600-------------------------------------------------

500-----------------------------------------------

400--------------------------------—

100—堡------------------------------

0-------------------------------------------------

12345

（1）根据折线统计图中数据,计算该公司研发人数y与年份代码X的相关系数度,并由此判断其相关性

的强弱；

（2）试求出y关于T的线性回归方程,并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.

_5

参考数据：一（%—刃2=54944,“549440"741.2当|r|G[0.75,1]认为两个变量间的相关性较强

1=1

研（y「研

参考公式:相关系数/口,，

r=/n/n

、研7请

Vi=lVi=l

n

%）y）

回归方程少=应+3中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=上y-----------，石=万一

之⑶-前

i=l

bx.

14.（22-23高三上•河南•期末）随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具

以其轻巧便携、工作效率高、环保、可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携

无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司

为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对

2017-2021年的研发人数作了相关统计，如下图：

2017-2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017〜2021年）

（1）根据条形统计图中数据,计算该公司研发人数y与年份代码X的相关系数r,并由此判断其相关性

的强弱；

（2）试求出y关于T的线性回归方程,并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）

5研（仇一研

参考数据：E（%—可丫=55960,V1399«37.4.参考公式:相关系数r=「~.

1（◎-浮,\£（仇-斤

V«=1Vi=l

汇⑶一可（t/j—y）

线性回归方程的斜率b=上y----------，截距&=亏一bx.附：

£（工厂行）2

i=l

M[0,0.25][0.30,0.75)[0.75,1]

相关性弱一般强

15.（2021・云南•模拟预测）西尼罗河病毒（WW）是一种脑炎病毒，SV通常是由鸟类携带，经蚊子传播

给人类.1999年8-10月，美国纽约首次爆发了皿NU脑炎流行.在治疗上目前尚未有什么特效药

可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制

WAV的复制，抑制其对细胞的致病作用.现某药企加大了利巴韦林含片的生产,为了提高生产效率,

该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量M千克）和利巴韦林含片产量9（百盒）的

统计数据如下：

投入量，（千克）12345

产量以百盒）1620232526

由相关系数「可以反映两个变量相关性的强弱，HG[0.75,1],认为变量相关性很强；加G[0.3,

0.75],认为变量相关性一般；|r|€[0,0.25],认为变量相关性较弱.

（1）计算相关系数度,并判断变量小“相关性强弱；

⑵根据上表中的数据，建立y关于C的线性回归方程0=bx+G；为了使某组利巴韦林含片产量达到

150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？

555

参考数据：V660«25.69,22(^-^)(%-y)=25,22=10,22(^-y)2=66.

1=1i=li=l

n

(少一))

参考公式:相关系数丁="，线性回归方程。=标+a中，B=

、伯3厂前/£(%―疗

V«=1Vi=l

〉2(@一云)(依一百)

i=l八一仑一

---------------------,Q=y-bx.

-前

i=l

16.（2022高二•全国•专题练习）某数学小组从气象局和医院分别获得了2021年1月至2021年6月每月

20日的昼夜温差以单位：。C,c>3）和患感冒人数少的数据，并根据所得数据画出如图所示的折线

图.

（1）求"与①之间的相关系数小,并判断"与re的相关性的强弱（上J>0.8时,认为g与z高度相关,

即认为y与c的相关性很强）；

（2）建立y关于c的回归直线方程（回归系数的结果精确到0.01），并预测昼夜温差为4℃时患感冒的

人数.

66/~6

参考数据：2©=54.9,2（©—可（少一歹）=94,JZ（g—可2=6,V7=2.646.

i=li=lVi=l

_n_

£（x「研（功-9）

参考公式:相关系数度叫=一/底'=1_/'■在回归直线方程3=BC+（£,b=

叭年（功-斤

Vi=lVi=l

n

Z（x「研（y「研

-i-1----------,a八=__y一-bx£.-

-前

«=1

题型五项分布型

17.（24-25高三上•云南昆明•期中）一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2

场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束;进入第二阶段比赛的参赛

者共参加3场比赛.在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分,负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶

段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为p(OVpVl),在第二阶段比赛中每场获胜

的概率都为[，每场比赛是否获胜相互独立.已知甲参赛总分为2分的概率为2.(1)求目；

(2)求甲参赛总分X的分布列和数学期望.

18.(中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷)乒乓球比赛有两

种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，”局4

胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利.

(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛,若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用

7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9.已知甲、乙两人共进行了巾(meN*)场比赛，

请根据小概率值a=0.。10的氏2独立性检验,来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响.

(2)若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为p,没有平局•记事件“甲只要取得3

局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为4事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为

试证明：P(A)=F(B).

(3)甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是p(p>0.5),没有平局.若采用“赛满2n—1

局,胜方至少取得n局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P[n}.若采用“赛满2八+1局,胜方至少取得

n+1局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为P(n+1),试比较P(n)与P[n+1)的大小.

0.050.0250.010

k03.8415.0246.635

19.(2024•广东广州•模拟预测)在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000名高中学生户

外运动的时间(单位：小时)，得到如下样本数据的频率分布直方图.

频率

组距

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

1012141618时间（小时）

(1)求a的值,估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；(同一组数据用该区间的中点值作代表)

(2)为进一步了解这1000名高中学生户外运动的时间分配，在(14,16],(16,18]两组内的学生中，采用

分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈,记在（14,16］内的人数为X,求X

的分布列和期望；

（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“区（乃”表示这8名学生中恰有R

名学生户外运动时间在（8,10］内的概率，当区作）最大时，求k的值.

20.（24-25高二上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从4腔室出发,

到达C腔室,粒子从A室经过1号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态,粒子从B室经过2

号门进入。室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为1.粒子间的旋转状态相互独立.现有两个粒子

从A室出发.

~^4~I~B~|~~C~

高2苛］

（1）求两粒子进入。室都为上旋状态的概率；

（2）若实验装置出现故障，两个粒子进入。室后，共裂变为m个粒子,裂变后的每个粒子再经过2号门

返回B室的概率为|■，各粒子返回B室相互独立.

①小=4时，写出返回B室的粒子个数X的分布列、期望、方差；

②小=30时，记有r个粒子返回B室的概率为/①），则r为何值时，/（r）取最大值.

趣几何分布

21.（24-25高二下•全国•课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召

开.某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘

制成如图所示的频率分布直方图.

+频率/组距

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

30354045岸舲

（1）以频率估计概率,若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年

龄在区间［30,35）内的概率；

（2）若［20,25）和［40,45］年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对

该会议的感受，设£表示年龄段在［20,25）的人数，求0（7日+3）.

22.（22-23高三下•山东济宁•开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如

下表,组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛,活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学

科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人.

数学组物理组

男生3020

女生30

（1）求数学组中女生的人数；

（2）若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为X,求女生人数X的分布列和数

学期望.

23.（24-25高二下•全国•课后作业）某校为了了解学情,对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整

理得到下表：

语文兴趣数学兴趣英语兴趣物理兴趣化学兴趣生物兴趣

答卷份数350470380400300500

兴趣良好频率0.70.950.80.750.850.86

假设每份调查问卷只调查一科,各类调查是否达到良好的标准相互独立.

（1）从收集的答卷中随机选取一份,求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；

（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两

科兴趣良好的概率；

（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人,再从这7人中抽取3人，记

3人中来自化学兴趣的人数为〃，求〃的分布列和期望.

24.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式

开幕.人们在观看奥运比赛的同时,开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市

民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查,得到如下列联表：

周平均锻炼时长

年龄合计

周平均锻炼时间少于F小时周平均锻炼时间不少于4小时

50岁以下4060100

50岁以上（含50）2575100

合计65135200

（1）试根据a=0.05的小独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？（/精确到0.001）；

（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步

访谈,再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数

为X,求X的分布列和数学期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad—bc)2

参考公式及数据：/，其中々=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

题型七正态分布型

25.(2024•山西长治•模拟预测)某汽车公司最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对100辆汽车进行了

单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的

测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值双同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这

款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布,其中“近似为样本平均数济。近似为样

本标准差S.

(i)利用该正态分布，求P(250.25<X<399.5)；

(ii)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大

续航里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)；

参考数据:若随机变量£服从正态分布则—a<£<〃+Q=0.6827,

P(〃-2cr<g<〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr<g<〃+3cr)=0.99731.

(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动，客户可根据

抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在非轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都

y，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面,则遥控车向移动一个单位，若掷出反面,则

遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时，游

戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(n,0)的概率为

■(1WnW6O),试证明数列｛2—是等比数列(2WnW59),求出数列｛2｝(lWnW60)的通项公

式，并比较区9和%的大小.

26.(24-25高三上•广西贵港•开学考试)为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某

中学的100名学生，整理得到如下列联表：

男学生女学生合计

喜欢跳绳353570

不喜欢跳绳102030

合计4555100

（1）依据a=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？

（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数X〜N（170,100）,该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.

假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10,该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟

的跳绳个数在［170,200］内的人数（结果精确到整数）.

n(ad-bc)2

附：/，其中7i=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

若X~N(〃,4),则P(〃一+G七0.6827,P(〃-2b<X<〃+2(7)七0.9545,

—+心0.9973.

27.（2024.辽宁・模拟预测）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测

试，对其生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如下图所示的频率分布直方图.

小频率

3.5----------------------

3.0---------------------------

a-----------

1.0------------

。廿日…卜+

o2.352.452.552.652.L752.85内径A/mm

（1）求a的值以及这批零件内径的平均值x和方差si同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个,记内径在区间［2.45,2.55）内的零件个数为Z,求

Z的分布列以及数学期望；

（3）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布NQd），现以频率分布直方图中的平均数元作

为〃的估计值，频率分布直方图中的标准差s作为a的估计值,则在这批零件中随机抽取200个，记内

径在区间［2.285,2.705］上的零件个数为V,求V的方差.

参考数据：，Oil七0.105,若X〜则p（〃一+Q七0.6827,P（〃—2aWXW〃+2c）

70.9545,—+70.9973.

28.（2024•福建龙岩•三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五

个层级，分别对应如下五组质量指标值：［45,55）,［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95］.根据长期检测结

果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，

其它产品称为R等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频

率分布直方图.

(1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数了作为〃的近似

值,用样本标准差s作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保

留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量e服从正态分布,则