2025届新高考一轮复习特训：立体几何初步（含解析）

2025届新高考一轮复习特训立体几何初步

一、选择题

1.平行六面体ABC。-A4CQ］中，底面ABCD为正方形，Z\AD=ZA.AB=

^=43=1,E为CQ的中点，则异面直线3E和DC所成角的余弦值为（）

2.已知正方体A3CD-的棱长为2，E,F,G分别是钻，BB1,及q的中

点，则过这三点的截面面积是（）

A-3A/2B-6A/2C-6V3口3百

3.已知平面a,0,y,a/3=l,则“/，7”是“a，7且尸，/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.如图,某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为

4cm，已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，且AP=5P，。为上底面圆

的圆心，则OP与平面ABC所成的角的正切值为（）

25

5.已知长方体的一条棱长为2,体积为16,则其外接球表面积的最小值为（）

A.5KB.12兀C.20兀D.80兀

6.如图，在棱长为1的正方体A3CD-A4GA中,E为线段。2的中点下为线段8用的

中点.直线PC到平面AgE的距离为（）.

A.@B.叵/D.1

3533

7.在三棱柱ABC-45。中，AB=3C=AC,侧棱相，底面ABC,若该三棱柱的所有顶

点都在同一个球。的表面上，且球。的表面积的最小值为4兀,则该三棱柱的侧面积为（）

A.66B.3GC-3A/2D.3

8.设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上的四点,△ABC为等边三角形且

其面积为9g,则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

A.1273B.18石C.24A/30.5473

二、多项选择题

9.在△ABC中，AC=BC=叵，AB=2，△他£）是有一个角是30。的直角三角形，

若二面角O—AB—C是直二面角，则℃的长可以是（）

A.我B.浮C.粤D.7IZ

10.如图,P为矩形A5CD所在平面外一点,矩形对角线的交点为。,“为P3的中点，则下

列结论成立的是（）

A.OMUPCDB.OM〃平面PDAC.OMUiFUPBAD.OMUiFUPBC

11.如图，正方体ABC。-ABC。的棱长为1,动点P在对角线&）］上，过P作垂直

于BA的平面a,记平面a与正方体ABCD-44。］口的截面多边形（含三角形）的

周长为L面积为S,BP=x，xe（0,g）,下面关于函数L（x）和S（x）的描述正确的

是（）

A.S（x）最大值为学；

B."x）在x=当时取得极大值;

c.“x）在，，正［上单调递增，在1号6］上单调递减;

、2JI2,

/

D.S(x)在0,上单调递增，在上单调递减

三、填空题

12.如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm，高为20cm，则这个茶叶盒的表

面积为______

13.已知正三棱柱的各棱长都等于2,点E是A4的中点，则异面直线

AE与所成角的余弦值为.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

四、解答题

15.如图，在三棱锥A-5CD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC,。是

3c的中点，OALCD.

(1)证明：平面ABCJ_平面BCD

(2)若点E是棱AC上的一点，则从①CE=2E4,②二面角E-BD-C的大小为

60°,③三棱锥A-5CD的体积为由这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个

成立.

16.如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，ZADC=^BAD=90°,R为线段E4上一

点，PD=42,AB=AD=-CD=1,四边形PDCE为矩形.

2

⑴若R是的中点，求证：AC〃平面DEF；

(2)求直线AE与平面6cp所成角的正弦值；

(3)若点R到平面5cp的距离为工，求尸尸的长.

6

17.如图，P为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面

四。的内接正三角形，且△相£)的边长为逝，点E在母线PC上，且AE=g，

CE=L

p

(1)求证：BD±AE>并求三棱锥P-5DE的体积；

(2)若点“为线段尸o上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，

求此时点M到平面A8E的距离.

18.如图，在多面体ABCDE77中，已知四边形ABCD是菱形，A/,平面ABCZ).

(1)证明：平面B£)E_L平面ACT7；

7

(2)若A£>=4，AF=6^DE=3,DE//AF-AE与平面所成角的正弦值为g，求

三棱锥F-CDE的体积.

19.如图所示，已知正方形ABCZ)和矩形ACE尸所在的平面互相垂直，AB=O，

AF=1，M是线段后产的中点.

求证：(1)40〃平面5DE；

(2)4汝，平面瓦)尸.

参考答案

1.答案：A

兀

1J

解析：由题意，A4j-AB=AAi-AD=lxlxcos—=—?AB-AD=0

又。C=AB，BE=AE-AB=+A^D^+D^E-AB=A\+AD-gAB，

所以3£.℃=[相+4£)—gA31A5=g+O—g=0,即有BE_LDC，

故选：A.

2.答案：D

解析：如图所示，分别取GA，DD],AO的中点H，M,N,连接GH，HM，

MN，NE，

在正方体ABCD-44G。中，可得GH//NE，HM//EF，MN//FG，

所以经过点E,F,G的截面为正六边形EFGHMN，

又因为正方体ABCD-agCQi的棱长为2,

在直角ABEF中，可得.=7BE2+BF2=72，

所以截面正六边形的面积为6xYlx(0)2=3月.

4

故选：D.

3.答案：C

解析：由于。/3=1,所以/u。，Iu/3,

若/_L/,则0上y,故充分性成立,

若aJ_y,0,设0y=m,(3'y=n,

则存在直线au/,使得a_Lm,所以a_L。，由于/ua,故。_1_/,

同理存在直线buy,使得匕，〃，所以bJ_〃，由于/u尸，故Z?，/,

由于a,6不平行，所以a,6是平面y内两条相交直线，所以/!•7,故必要性成立,

故选：C.

4.答案：A

解析：设。为下底面圆的圆心，连接00'，CO'和CO，

因为AP=5P，所以AB，QP,

又因为AB，OO',OPOO'=O,OP,O。u平面OO'P，所以ABJ_平面OO'P,

因为尸c是该圆台的一条母线，所以。，0、。/四点共面,且。（7〃0尸，

又ABu平面ABC，所以平面ABC,平面POC，

又因为平面ABC平面POC=OC，所以点尸在平面A5C的射影在直线0C上，

则OP与平面ABC所成的角即为ZPOC=ZOCO'，

过点。作CDLOP于点D因为OP=4cm,O'C=2cm,

00'

所以tanZPOC=tanZOCO'=-=2.

O'C

故选：A.

解析：设长方体的长、宽、高分别为。力,2,

所以长方体的体积为V=2ab=16,解得：ab=8,

设长方体的外接球的半径为R,

所以2尺=，储+加+4，即4H之=储+〃+422。6+4=20,

即R25当且仅当a=b=2近时取等，

所以凡n=5

所以其外接球表面积的最小值为5=4欣2=20兀・

故选：c.

6.答案：D

解析:,AEUFC,,FC[,平面A31E,AEu平面ABtE,FCJ/平面AB}E,

因此直线bq到平面AB}E的距离等于点G到平面AB}E的距离,

如图，以。点为坐标原点,D4所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,。，所在的直线

为轴，建立直角坐标系.

则A(1,O,O),耳

FQ=I-1,0,1j,AE=(-1,0,11,=(0,1,1),C,B,=(1,0,0),

设平面AB}E的法向量为〃=(x,y,z)，则

n•AE=-x+—z=0.

<2，令Az=2,贝=2,2)

n-ABX=y+z=0

设点G到平面ABF的距离为d,则

nc

\-A\_i

故直线FC,到平面AB{E的距离为与.

故选:D.

7.答案：B

解析：如图:设三棱柱上，下底面中心分别为a，.，则。。2的中点为°，

设球。的半径为R,则OA=H,设715=30=47=0,A4]=丸，

则0a=—h,OjA—-x^-AB=^~a，

-22323

贝!J在R£OO,A中,片=。&=OO；+QA2」丸2+42N2X4X走a^—ah^

43233

当且仅当/1=毡。时，等号成立，

3

所以5球=4成2247txah，所以，个"ah=47t，所以ah=#>.

所以该三棱柱的侧面积为3"=36.

故选:B.

8.答案：B

解析：如图，设点。为球心，点M为三角形ABC的中心，E为AC的中点，连接

OB,DM,且DM过球心。，连接3E,且3E过点M,当平面ABC时，三棱锥

。-ABC的体积最大.

D

S/二#6=9百，:.AB^6.

又点M为三角形ABC的中心，:.BM=-BE=2y/3,在中，

3

OM=ylOB2-BM~=2,DM=OD+OM=4+2=6,二三棱锥D-ABC体积的最大

值为、96义6=186.故选B.

3

9.答案：ACD

解析：

如图①，当NADfi=60。且NDBA=90。时，

二面角£)-AB-C是直二面角，故平面ABD_L平面ABC，

且平面平面ABC=AB，QBu平面ABZ)，

故平面ABC，所以

因为■=小二空,所以。。=曲笈+"=炳故C正确；

tanZADB33

同理可得，当NADB=30。且NDB4=90。时，平面ABC，所以DBLBC，

因为=—可=26，所以DC=后港获3=，故D正确；

tanZADB、

当NADfi=90。且NZMB=30。时，如图②，

过点。作。石_145，垂足为E，连接CE，

因为平面平面ABC，且平面A5£＞平面ABC=AB，DEu平面AB£)，

故DEL平面ABC，所以£)E，CE，止匕时D4=ABcosNZMB=G，

DE=DAsinZDAB=—,

2

AE=ADcosZDAB=f-CE=^AE-+AC2-2AE-ACcosABAC=—，

22

所以DC=《DE?+CE?=旧故A正确；

当/位汨=90。且/。/18=60。时，同理可得，

DE=DAsinADAB=—-CE=^AE2+AC2-2AE-ACcosABAC=—'DC=42-

22

故选：ACD.

10.答案：AB

解析：矩形A3CD的对角线AC与3。交于点。，所以点。为3。的中点，在△P3D中，因

为点M是PB的中点，所以0M是的中位线，OM〃PZ）,p£）u平面PCD，OMa平

面PCD,：.0Mli平面PCD,故A正确；

PDu平面PDA，OM<X平面PDA,...OMH平面PD4,故B正确；

因为平面PBC，Oe平面陶氏所以0M与平面平面PBC相交，故CD错

误；

故选:AB.

11.答案：AD

解析：当且时，截面为等边三角形，如图：

因为BP=;c，所以所=而，

所以：L（x）=3娓x，5（%）=上小必，0,与■

此时“力，S（x）在、，走上单调递增，且L（x）43夜，S（x）<^.

I3」2

3.rI1时截面为六边形，如图：

当％W

33

7

设AE=f，则AE=AP=CG=CH=gN=用M=r

所以六边形EFGHMN的周长为：3万+30(1-/)=30为定值;

做MV1，平面ABCD于M，跖1，平面ABCZ)于叫.

设平面EFGHMN与平面ABCD所成的角为a，则易求cosa=叵

一一…’23

所以SEFDHMNCOS0C=SFAN、M\CG9

所以SEFDHMN

上递增，在/€川上递减,

在%

所以截面面积的最大值为6仕+工_口=述，止匕时即x=YL

(224)422

所以S(x)在惇岑上递增，在(走,其斗上递减.》=立时，S(x)最大，为空.

、23,24

L（X）=3A/6（V3-X）,s（x）=^-（V3-x）2

此时”x），S（x）在］挈，若［上单调递减，“力＜30，S（x）＜*

综上可知：AD是正确的，BC错误.

故选：AD

12.答案：300(4+0)

解析：由题设，一个底面的面积为S=6xL10xl0xsin60o=15(X/§cm2,

12

一个侧面矩形面积为S?=10x20=200cn?,

2

所以茶叶盒的表面积为2岳+6S2=300(4+V3)cm.

故答案为：300(4+6)

13.答案：

2020

解析：连结A内,交AE于点“，作"N//5G，交AG于点N,连结EN，

异面直线4石与3C］所成的角为NEMN或其补角，

因为4E〃45,且AE=；A3，所以EN:MA=AM:M3=1:2,

所以ME=^AE=立，MNA2V=|,

333133

ME?+MN?-EN?3M

△EMN中，cos/EMN=

2MEMN20

故答案为：巫

20

14.答案：28

解析：法一：由于%小截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以

原正四棱锥的体积为gx(4x4)x6=32,截去的正四棱锥的体积为:x(2x2)x3=4,所

以棱台的体积为32-4=28.

法二：由法一可知，棱台的体积为33义(16+4+^^々)=28.故答案为28.

15.答案：(1)证明见解析

(2)见解析

解析：(1)证明：因为AB=AC,。是3C的中点，所以Q4LBC.

又因为Q4LCD,BCCD=C,BC,CDu平面BCD,

所以Q4J_平面BCD

因为OAu平面ABC,所以平面ABC，平面BCD

(2)如图，连接OD

因为△BCD是边长为2的等边三角形，所以。0_L6C.

由(1)知，Q4L平面BCD,所以A。，BC,。。两两互相垂直.

以。为坐标原点，分别以。5,OD,。4所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系.

^\OA\=m(m>0),则0(0,0,0),A(0,0,m),5(1,0,0),C(-l,0,0),0(0,0,0).

若选①②作为条件，证明③成立.

因为CE=2EA,所以CE=2EA,所以4-；,0,即.

易知平面BCD的一个法向量为〃=(0,0,1),BE=(-，0,与］,=(-1,73,0).

设机=(x,y,z)是平面BDE的法向量,

42m

mBE=0,—xz--=--0-,

则所以33

m•BD=0,—x+^3y=0.

J32'垂＞工、

令x=1,则>=——，z=—,所以加=1,

3m3，m,

2_

由二面角的大小为。，可得上。|=皿包

E—C600560,m=-,解得

\m\\n\C142

1+-+—T

3m2

m=3.

11l

所以三棱锥A—BCD的体积为±XL><2XGX3=G.

32

若选①③作为条件，证明②成立.

因为三棱锥A-BCD的体积为君,

11-

所以—X—x2xgxm=6，解得冽=3,即A(0,0,3).

32

又因为C£=2EA,所以《一，。司.

易知平面BCD的一个法向量为〃=(0,0,1),BEJ—g,0,2)BD=(-l,A0).

设相=(x,y,z)是平面3DE的法向量，

f4

rm-BE—0,—%+2z=0,

则r即3

W•加=0,[_+8=0.

令》=1,则>=立，z=2,所以加=[走,2.

-33133)

设二面角E-8D-C的大小为6,

2

则|cos0\=回且=।3=1,则二面角后―m―C的大小为60°.

\m\\n\142

4/n—I—

V39

若选②③作为条件，证明①成立.

又C(—1,0,0),所以AC=(—1,0,-3).

设E(x,y,z).不妨设AE=2AC(O<A<1),则(x,y,z—3)=2(-1,0,-3),

所以E(—40,—32+3).

易知平面BCD的一个法向量为〃=(0,0,1),BE=(-2-1,0,-32+3),BD=(-1,73,0).

设机=(x,y,z)是平面BDE的法向量，

n.m-BE=0,f(-/t-l)x+(3-3A)z=0,

则〈即〈i-

m-BD=0,—x+yj3y=0.

当4=1时，二面角£—&)—C的大小为0。，不合题意，所以0<2<1.

令％=i,则>=走，z=4±L,所以小=.

■33-32(33-32J

设二面角E-BD-C的大小为，，

则|cos昨回星=,

\m\\n\,9(1-2)2+3(1—4)2+(1+为22

解得2=3(舍去)或彳=!，

3

所以CE=2EA.

16.答案：(1)证明见解析；

。、3万

(2)---;

14

⑶*

解析：(1)设CPDE=G,连接尸G,四边形PDCE为矩形，二G为PC中点，又F为

中点，

AC//FG,又bGu平面DEF,4。.平面£>石尸，，AC〃平面OEF.

⑵以D为坐标原点，D4,DC,DP正方向为x,y,z轴，

可建立如图所示空间直角坐标系，

则A(1,O,O),8(1,L0),C(0,2,0),P(0,0,V2),E(0,2,0)

BC=(-1,1,0),CP=(0,-2,⑹，AE=(-1,2,72)

设平面BCP的法向量〃=(%,y,z),

BC-n=-x+y=0

,令y=l,解得:x=l,z=亚,;.”=(1,1,后)；

CP-n--2y+A/2Z=0

■“_3币

设直线AE与平面5c尸所成角为0sin。=cos

网..「14

则直线AE与平面6cp所成角正弦值为地.

14

⑶PA=(l,0,-V2),设PF=2总=(尢0,—&),/Ie[0,1]

由平面BCP的法向量〃=(1,1,0),

\PF-n\DIi

点R到平面5cp的距离d=^^=U=—.

n26

解得4」，

3

所以田=；网=#.

17.答案：（1）证明见解析；L

8

（2）昱

14

解析：（1）设ACBD=F，连接所，

△ABD为底面圆。的内接正三角形，

君

--Ac=—^=2,歹为3D中点，

sin—

3

又AR=J3--=-，

V42

313

CF=2——=—，AO=-AF=1;

222

•：AE=6，CE=1，：.AE~+CE-=AC^..AE_LEC，

AFAE

——=——，:△AEFs^ACE，:.NAFE=NAEC，/.EFAC；

AEAC

PO,平面AB。，POu平面PAC，二平面PAC，平面ABD，

平面PAC平面ABD=AC，£Fu平面PAC，;.EF，平面ABD，

又口面ABD，EFLBD，

又3D，AC，EF\AC=F助上面人石。，又AEu面AEC，

所以BDLAE

又POL平面ABD，EF//PO

PO<Z平面5DE，EFu平面5DE，,PO〃平面5DE；

R为BD中点，:.AF±BD，BPOF±BD>

又EF_L平面ABD，平面，。尸,8。<=平面48。，；.所，0尸，EFLBD，

EF\BD=F，ERBOu平面.•.OF_L平面应）石，

EF=yjAE--AF-=J3--=—>EF1BD，

V42

'''S^BDE=：BD,EF=g义粗X号=：,

X(?F=-AF=-»PO〃平面5DE，

22

1/_TZ_1c"_1311

--VP-BDE=VO-BDE=G3vABDE'O£=_XTXT=­"

J34Zo

(2)OF=CF=-，；.R为OC中点，又POIIEF，

2

；.E为尸C中点，PO=2EF，

:.PO=6,PC=2-

以尸为坐标原点，FB,EC，FE正方向为无，必z轴，可建立如图所示空间直角坐标

系,

,0,0

AE=0,|,y^,OP=(0,0,g)，

=,--,0DA=

22J

设°河=20/＞=(0,0,后)(0＜；1(1)，

:.DM=DO+OM=

5'

设平面的法向量〃=(x,y,z)，

贝UABn=^-x+—y=0

22

则AE-n=—y+z=0

22

令y=-l,解得：x