2025届襄阳市四中高三数学上学期10月考试卷及答案解析

襄阳四中2025届高三上学期10月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

‘3'

A=＜xeZ-----GZ＞

1.已知集合〔X—1J,则用列举法表示4=（）

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得x-1可为±1、±3,计算即可得.

【详解】由题意可得x-l可为±1、±3,

即x可为0,2,—2,4,即4={—2,0,2,4}.

故选：B.

2.设=其中i为虚数单位.则—1”是“目〉丽”的（

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z,再求出目，令目〉所求出相应的。的取值范围，最

后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为z=3+0=3、。=a_3i,所以忖=J/+9.

令目〉JHL即J/+9解得a〉l或。＜一1,

所以。＜-1推得出目＞厢，故充分性成立；

由目＞而推不出。＜-1,故必要性不成立；

所以“a＜-1”是“目＞厢”的充分不必要条件

故选：A

3.已知向量2,B不共线，且己=22+3，7=5+(2%+1)3,若乙与才同向共线，则实数X的值为()

1

A.1B.

2

一1一1

C.1或一一D.—1或一

22

【答案】B

【解析】

【分析】先根据向量平行求参数X，再根据向量同向进行取舍.

【详解】因为1与2共线，所以4(24+1)-1=0,解得X=—1或几=；.

若几=一1,贝!)3=-2+彼，d=a-b>所以7=—乙所以e与2方向相反，故舍去；

111

若4=2,则d=a+2b,所以7=2)，所以1与2方向相同，故2=5为所求.

故选：B

4.已知V—<2-£_2->,则下列结论中正确的是()

A.ln(j-x+l)>0B,ln|—1>0C,ln|j+x|>0D,ln|j-x|>0

【答案】A

【解析】

【分析】构造函数,利用/(x)的单调性可得x<y,进而可得.

［详解］由/_/<2-_2r得X3-2T</—2.1

设/(%)=》3一2一"因函数y=x3与>=_2-工都是R上的增函数，

故/(x)为R上的增函数，

又因V—27</一2一>，故x<》,

ln(j-x+l)>lnl=O,故A正确，

因。，卜+x|,卜一乂与1的大小都不确定，故B,C,D错误，

X

故选：A

5.从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数为a24344a5”（满

足见〉％〉。3<%<。5），则这样的“五位凹数”的个数为（）

A.126个B.112个C.98个D.84个

【答案】A

【解析】

【分析】利用分步乘法计数原理可得.

【详解】第一步，从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个共有C；种方法，

第二步，选出的5个数中，最小的为名，从剩下的4个数中选出2个分给％,出，由题意可知，选出后

就确定了，共有C1种方法，

故满足条件的“五位凹数"C；C：=126个，

故选：A

6.若数列｛%｝满足q=1,a2=1,an=an_x+an_2（«>3,〃为正整数），则称数列｛%｝为斐波那契数

列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设S“是

数列｛4｝的前力项和，则下列结论成立的是（）

A.%=8B.%+%+---+。2019=02020

C.S7=54D.+。4+。6+•,•+。2020=%021

【答案】B

【解析】

【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.

【详解】解析：按照规律有4=1,a2=l,a3=2,%=3，a5=5,a6=8,tz7=13,S7=33,故

A、C错；an+2=a,,”+an=an+%+an_}+an_2=an+an_x+an_2+an_3+an_,+an_4=…=+1,

贝U〃2020~$2018+1=1+%+%+,,,+。2018=1+Q3++***+。2019=%++〃5+'''+。2019，

故B对；

+。4+。6+,,•+。2020=。2+。2+。3+。4+。5+'''+。2018+。2019

=。］+。2+。3+。4+。5+••,+。2018+。201902019=。2021-1

故D错.

故选:B.

22

7.已知々，凡是椭圆C:二+A=l（a〉b〉O）的左，右焦点，A,2是椭圆C上的两点.若

a~b~

----------------7T

FXA=2F2B,且NZ片与=[,则椭圆C的离心率为（）

1V2V32

A-B.—C.—D.-

■3333

【答案】B

【解析】

【分析】设以周=2am，结合题意可得|/月|,根据椭圆定义整理可得2后a-2c=2，根据向量关系

m

可得片N〃88,且忸巴|=行机，同理结合椭圆定义可得力a+c=Z,进而可求离心率.

m

【详解】由题意可知：片（一。,0）,月（c,0）,

设以片|=2^2«,m>0,

因为片月=；,则N（—c+2叫2根），可得|幺闾=,4-+（2c-2必J,

由椭圆定义可知：|幺川+|幺6|=2。，即2叵n+14fH2+（2c—=2。，

整理可得2行a-2c=d；

m

又因为有=2月瓦则与4〃月8,且忸闾=3以用=虚机，

则8（c+机,机），可得忸周=｛（2c+in?+/,

由椭圆定义可知：\BF1\+\BF2\^2a,即,伽+才+/+昌=2°,

整理可得后4+C

m

即2行Q-2c=41a+c，可得41a=3c，

所以椭圆c的离心率e=£=也.

a3

故选：B.

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法

求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系，然后把6用

a,c代换，求e的值.

8.圆锥的表面积为H，其内切球的表面积为S2,则空的取值范围是()

A.[l,+oo)B.[2,+cojC.12亚,+e)D.[4,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】选择/08C(角。)与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径厂和母线/,由圆锥和球的

E1

表面积公式可得不=0+2Ah+2小，再由/=tan2£e(0,l)换元，转化为求解二次函数值域，进而

/tan(711—ianu1

£

得U的取值范围.

【详解】设圆锥的底面半径为厂，母线长为/,圆锥内切球半径为R,

如图作出圆锥的轴截面，其中设。为外接圆圆心，D,E为切点,48,NC为圆锥母线，

连接。民

R

0<tan0<\:.r------

tan®

•/ODVAB,0EVBC,:./DBE+/DOE=TI,又NAOD+/DOE=凡,

/.ZAOD=ZDBE=20,.•.4D=Rtan2e,

2R

.../+〃=AD+BD+r=AD+2r=Rtan20d-------,

tan6^

则圆锥表面积E=兀/+兀〃=兀/（/+一），圆锥内切球表面积S2=4兀相，

KR[27?tane।2R]

，所求比值为县=tan<〔l—tan'dtandj=_______1_______,

222

S24nR2tan^（^1-tan0^

令/=tan2£〉0,则g（7）=2《lT）=—2〃+2/=—20—£|+；,

则o<g（/）Wg,且当/=（时，g«）取得最大值;，

故322,即富的取值范围是［2,+8）.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是

关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图

形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定

理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设A,8为随机事件，且尸（幺），尸（8）是A,8发生的概率.尸（⑷，P（5）e（0,l）,则下列说法正

确的是（）

A.若A,B互斥,则尸（2。8）=尸（Z）+P（8）B.若尸（48）=尸（Z）尸（8）,则A,8相互独立

C若A,B互斥,则A,8相互独立D.若A,8独立，则尸（8］幺）=尸（8）

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；由相互独立事件的概念可判断B选项；由互斥事件和相

互独立事件的概念可判断C选项；由相互独立事件的概念，可判断D选项.

【详解】对于选项A,若48互斥，根据互斥事件的概率公式，则尸（幺。8）=尸（2）+尸（8）,所以选项

A正确,

对于选项B,由相互独立事件的概念知，若P(AB)=P(A)P(B),则事件48是相互独立事件，所以选

项B正确，

对于选项c,若45互斥，则45不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A：“正面朝

上”，事件8：“反面朝上”，事件A与事件8互斥，但尸(48)=0,P(4)=P(B)=；,不满足相互独立

事件的定义，所以选项C错误，

对于选项D,由相互独立事件的定义知，若A,8独立，则尸(8|2)=尸(8),所以选项D正确，

故选：ABD.

10.已知函数/(x)=sinHsinx|—cos2x,则()

A./(x)的图象关于点(兀,0)对称

B./(x)的值域为[-1,2]

C.若方程/(x)=-9在(0,加)上有6个不同的实根，则实数机的取值范围是(手，坐

4163」

6

D.若方程2叭%)+/=1仅£即在(0,2兀)上有6个不同的实根毛«=1,2,3,6),贝恒2>，的

Z=1

取值范围是(0,5兀)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据/(2兀)=-/(乃是否成立判断A,利用分段函数判断BC,根据正弦函数的单调性画出分段函

数/(x)的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.

【详解】因为/(x)=sinx|sinx|-cos2x,

所以/(2兀-x)=sin(2兀-x)卜in(2兀-x)|-cos2(2兀-x)=-sinx|sinx|-cos2x力-f(x),

所以/(x)的图象不关于点(K,0)对称，故A错误；

当sinx20时，/(x)=sin2x-(1-2sin2x^=3sin2x-l,

由sinxe[0,1]可得/(x)e[-1,2],

当sinx<0时，/(x)=-sin2x—(l-2sin2x)=sin2x-l,

由sinxe[-1,0)可得f(x)e(-1,0],

综上/(x)e[T,2],故B正确：

,11

当sinxNO时，由/0)=35由2%一1=一4解得5也》=5，

1

当sinx<0时，由/(%)—sin9x—1=—解得sinx=----，

42

LLt、i、m「/、1.Z、r/>、JX3八rri、r兀Sit4兀5兀13兀17兀1Ojl

所以方程/(x)=——在(A0,+8)上的前7个A实根分别为一，一，——，一,——，―,——，

466336o3

LL…17兀,10兀丁〃

所以——<m<——,故C正确；

63

由"(')『一2可(x)+/=1解得/(x)=Q-1或/(x)=a+1,

“、3sinx-1,sinx>0,,“、

又因为/(x)=〈.2.，所以根据正弦函数的单调性可得/(X)图象如图所示，

sinx-l,sinx<0

所以/(%)=a—1有4个不同的实根，/(x)=a+1有2个不同的实根,

-1<4/-1<0

所以＜解得0<a<1,

0<a+1<2

设再<%2<%3<%4<%5<%6，则再+%4=%2+%3=兀，/+%6=3兀，

66

所以2%=5兀，所以的取值范围是(°，5兀)，故D正确.

Z=1Z=1

故选：BCD.

11.在平面直角坐标系中，定义d(45)=max｛民-口」%—乃1｝为两点幺(匕/1)、4/，%)的“切比雪

夫距离”，又设点P及/上任意一点0,称一(尸,0)的最小值为点P到直线/的“切比雪夫距离”，记作

d(P,\给出下列四个命题，正确的是()

A对任意三点4B,C,都有d(C,Z)+d(C,3)2/48)；

Q

B.己知点尸(2,1)和直线/:x—2y—2=0,则d(P,/)=『

C.到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.

D.定点片(-。,0)、F2(C,0),动点尸(x,y)满足|d(PM)-d(P,g)|=2a(2c〉2a〉0),则点P的轨迹

与直线y（左为常数）有且仅有2个公共点.

【答案】AD

【解析】

【分析】对于选项A,根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；

对于选项B,设点。是直线了=2x—1上一点，且。（x,2x-l）,可得d（P,0）=max1|x—2],2—gx,,

讨论|x-2|,的大小，可得距离d,再由函数的性质，可得最小值；

对于选项C,运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

对于选项D,根据定义得|max{|x+d，M}-max{|x-c|，M|=2a,再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程,

即可判断.

【详解】A选项，设4（%力）,8（%,力）,。（％,无）,由题意可得：

d(C,4)+d(C,B)=max何-XcI，［->/}+max{|4-专|，|力-先|}

>\xA-xc\+\xB-xc\>\xA-x^\,

同理可得:同C,4）+d（C,8）。”一词,则:

d（C,A）+d（C,B）>max{\xA-x^\,\yA-yB\\=d（A,B）,

则对任意的三点A,B,C,都有d（C,7）+d（C,B）»d（43）;故A正确;

B选项，设点。是直线x—2y—2=0上一点，且—1；

可得d（尸,0）=max（卜—2|,2—>,

1QQ9

由,一2|22-5%，解得xVO或x2—,即有"（尸,。）=,一2|,当》=公时，取得最小值一；

2333

1Q1（2\

由卜―2|<2-5%，解得0<x<§,即有d（P,Q）=2—,d（P,。）的范围是无最值,

2

综上可得，P,。两点的“切比雪夫距离”的最小值为],故B错误；

C选项，设则=max'x-dJy-印,

若小—耳之,一同，则=『小两边平方整理得x=。；此时所求轨迹为x

(y26或yV—b)

若A一4<k-4,则J（i1+口一片=卜一《,两边平方整理得>=b；此时所求轨迹为歹=6

（x2。或x<-a）,

故没法说所求轨迹是正方形，故C错误;

D选项，定点片（-。,0）、F2（C,0）,动点尸（x,y）满足|d（PM）-d（P,凡）|=2a（2c>2a>0）,则:

|max||x+c|,|y|j-max{X-C嗣｝|=2。，

显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设定0,»出.

x+c\^yx-a

⑴当x-c\>y^'有卜+c|-|x-d|=2a,得：<

Q<y<a-c"

⑵当x—d”时，有0=2”，此时无解;

x+c>y

⑶当时,有x+。-y=2a,a<x；

x-c<y

则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图像可知，点尸的轨迹与直线^=左（左为常数）有且仅有2个公共点，故D正确.

故选：AD.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义

去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新

概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新

题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若（4-区）"的展开式的二项式系数和为32,且Jr-的系数为80,则实数。的值为.

x

【答案】-2

【解析】

【分析】由二项式系数和先求〃，再利用通项(+1亍得到犷2的指数确定「值，由X-2的系数

为80,建立关于。的方程求解可得.

【详解】因为(五-q)"的展开式的二项式系数和为32,

X

所以C：+C；+C；+…+C：=2"=32,解得“=5.

5-3r

所以二项式展开式的通项公式为刀+1=C；(五广，(―与，=q(—a)'x工，

X

由33=-2,解得「=3,

2

所以广2的系数为CK-«)3=-10a3=80,解得a=-2.

故答案为：-2.

13.已知函数/(》)=(%-4(必-X)在x=a处取得极小值，贝i]a=.

【答案】1

【解析】

【分析】求得/'(x)=x2—x+(x—a)(2x—1),根据/心)=0,求得。的值，结合实数。的值，利用函

数的单调性与极值点的概念，即可求解.

【详解】由函数](力=(%_司卜2一X),可得/=》2-x+(x-a)(2x-l),

因为x=a处函数/(x)极小值，可得/'(a)=/-a=0,解得a=0或a=l,

若a=0时，可得/'(x)=x(3x—2),

2?

当x<0时，/，(x)>0；当0cx<§时，/,(x)<0；当x〉§时，/,(x)>0,

此时函数/(X)在(-8,0),(§,+8)单调递增，在(0,§)上单调递减，

所以，当x=0时，函数/(x)取得极大值，不符合题意，(舍去)；

若a=l时，可得/'(X)=(x—l)(3x—l),

当x<』时，/,(x)>0；当?<x<l时，/,(x)<0；当x>l时，/,(x)>0,

此时函数/(X)在(-哂；),(1,+8)单调递增，在(0,1)上单调递减，

所以，当X=1时，函数/(x)取得极小值，符合题意，

综上可得，实数。的值为1.

故答案为：1.

14.数学老师在黑板上写上一个实数飞,然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上

的数叫)乘以-2再加上3得到占，并将飞擦掉后将多写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数与除

以-2再减去3得到占，也将玉擦掉后将多写在黑板上.然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑

板上的数为%.现已知%>须)的概率为0.5,则实数项)的取值范围是

【答案】(一8,-2川。,+8)

【解析】

【分析】构造函数/(X)=-2X+3,g(x)=-j-3,由两次复合列出不等式求解即可.

【详解】由题意构造/(x)=-2x+3,g(x)=-|-3,

则有/(/(x))=4x—3,/(g(x))=x+9,g(/(x))=x-|,g(g(x))=|-|.

因为/(g(x))>x，g(/(x))<x恒成立，

又马〉%的概率为0.5,

4x-3>x,4%-3<x,

所以必有3或者<x3解得x£(―8,—2)D(l,+8).

-----<X.----->X,

142[42

故答案为：(-oo,-2)U(l,+°o)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在V48c中，角48,C所对的边分别为见“c,已知(b+c)(sin5-sinC)=(a-c)sirL4.

(I)求8；

(2)若A4BC的面积为正，且N万=2反，求AD的最小值.

4

TT

【答案】⑴-

3

⑵V2.

【解析】

【分析】⑴利用正弦定理可得他+弓伍-c)=(a再结合余弦定理得cosB=>+"—1

2ac2

从而可求解.

(2)结合V45C的面积可求得ac=3,再由丽=前+!9=!强+2万心，平方后得，

333

(AD)2=-c2+-a2+-,再结合基本不等式即可求解.

\/993

【小问1详解】

由正弦定理得偿+。)仅—。)=("c)a,即/+c2-b2=ac，

由余弦定理可得cosB=

2ac2ac2

因为8e(O,兀)，所以5=；.

【小问2详解】

因为V4SC的面积为士8,5=工，所以Lacsin5=±8,所以ac=3.

4324

因为丽=Z+=Z+—=+

2222

所以(而『=1(52)+|(5C)+2.|(.5C)=1c+iacCos5=1c+g,

iA2122/Z

所以一c2H—a2H—>2'—c--a-\—=2,当且仅当a—,c=V6时取等号，

9933332

所以RD的最小值为啦.

22

16.已知抛物线E:/=2px(夕〉0)与双曲线？-、=1的渐近线在第一象限的交点为。，且0点的横坐

标为3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)过点〃(-3,0)的直线/与抛物线E相交于48两点，2关于x轴的对称点为"，求证：直线48'必

过定点.

【答案】(1)y2=4x

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由双曲线求其渐近线方程，求出点。的坐标，由此可求抛物线方程；

(2)联立直线46的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设4(巧,月)，B(x2,y2),

〃(》2,一必)，根据韦达定理求出%+%=12,求出直线的方程并令y=O,求出x并逐

步化简可得x=3,则直线48'过定点（3,0）.

【小问1详解】

设点0的坐标为（3,%），因为点。在第一象限，所以九〉0，

双曲线:=1的渐近线方程为了=±今3%，因为点0在双曲线的渐近线上，所以为=26，

所以点Q的坐标为（3,2百），又点°（3,2百）在抛物线上，所以12=2px3,所以夕=2,

2

故抛物线£的标准方程为：y=4x；

【小问2详解】

y2—4x

设直线ZB的方程为x=W-3,联立—一，消x得，/-4mv+12=0,

x-my-3

方程/-4加y+12=0的判别式△=16m2一48>0，即/一3〉0，

设4（%5）,B（x2,y2），则%+%=4私必％=12,

因为点/、8在第一象限，所以％+%=4掰〉0,%%=12〉0,故机>0,

设2关于x轴的对称点为〃（々，一%），

则直线AB'的方程为y+%=ff（x-X?）,

X2-Xj

令y=0得：x=y2x^—―+X2

-%-7i一

-1%+X2%

=%（叼2-3）+%（孙-3）

=27即2%-3（%+%）

%+72

24m—12m12m

=--------=---=3.

4m4m

二直线//过定点（3,0）.

【点睛】方法点睛：联立直线48的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设4（久1，月），

8（如丫2），8'（工2，-%），根据韦达定理求出外+了2=4根,必必=12，求出直线48'的方程并令>=o,

求出x并逐步化简可得x=3,则直线AB,过定点（3,0）.

17.如图，己知正方形45CD的边长为4,E,尸分别为ND,8C的中点，沿斯将四边形EFCD折起,

使二面角Z-£E-C的大小为60。，点M在线段45上.

（1）若M为4B的中点，且直线与直线E4的交点为。，求04的长，并证明直线0。//平面

EMC；

（2）在线段4B上是否存在点使得直线与平面EMC所成的角为60。；若存在，求此时二面角

M-EC—/的余弦值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）。4=2；证明见解析.

（2）存在点M,使得直线。E与平面EMC所成的角为60。；此时二面角EC-尸的余弦值为1.

【解析】

【分析】（1）根据中位线性质可求得。4,由MNHOD,结合线面平行判定定理可证得结论；

（2）由二面角平面角定义可知/。瓦4=60。，取ZE,3尸中点。，P,由线面垂直的判定和勾股定理可

知OA,。尸两两互相垂直，则以。为坐标原点建立空间直角坐标系；设四（1,机,0）（04m<4）,

利用线面角的向量求法可求得也；利用二面角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

•••E,尸分别为3,3。中点,

EFHAB//CD,且AE=FB=2,

又M为AB中点,且AB±OE,AB1.BF,

易得ACMM=^FBM,0A=FB=AE=2,

连接CE,£)E,交于点N,连接跖V,

由题设，易知四边形CDEE为平行四边形，

QN为DF中点,,

•••幺拉〃跖,2是。£的中点，

:.M为OF中点，

MN//OD,又MNu平面EMC,O£><z平面EMC,

.•.OD〃平面EMC；

【小问2详解】

•••EF//ABHCD,

■：EF1DE,EFLAE,

又QEu平面CEF,ZEu平面ZEE,

.•./。区4即为二面角2—跖—。的平面角，

ZDEA=60°；

取中点O,P,连接。。,。尸，如图，

=4+1—4COS60°=3,

OD-+0E2=DE2，

ODLAE,

OP//EF,

OPLDE,OPLAE,又4E,DEu平面4ED,AE^DE=E,

OP1平面AED,

OD,AEu平面AED,

:.0DLOP,AELOP,

则以。为坐标原点，刀,而，砺方向为x，N，z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示,

则£＞（0,0,6）,£（—1,0,0）,厂（—1,4,0）,C（0,4,V3）,

设〃（1,机,0）（0＜机＜4）,则方方=卜1,0,-6）,W=（2,m,0）,£C=（1,4,V3）,

EMU[=2X[+my,=0

设平面EMC的法向量呵=（%0/1）,贝叫一一，

ECn1=%+4%+J3Z]=0

人△加一8—►（

令必=2,则不=-加，z=一厂，.•.加i二一私2,

,/直线DE与平面EMC所成的角为60°，

.o,一一।叫二I8=是

..sin60=cosDE^_,,/(m-^Y2，解得加=1或加=3,

111IH-kll2M+4+--

二存在点当=1或4M=3时，使得直线。£与平面及〃。所成的角为60°;

设平面C£厂的法向量第=(均为/2),又反=(1,4,6)，FC=(1,0,73),

ECn?=9+4^2+也z2=0

z

FCn2=/+y/^2=0

令Z2=l,则％=-百，%=。，m2=(-V3,0,lj;

I—---I4-\/3

当机=1时，nx=f-l,2,--pl,|cOSZ71,«2|=-pz^rpM=—^-―

I也)1I同㈣2义44

\3

4

综上所述：二面角EC-尸的余弦值为J.

4

【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M的

坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.

18.已知函数〃力=*—e

(1)当2=1时，求/(x)的图象在点(1/(1))处的切线方程；

(2)若时，/(x)<0,求X的取值范围；

1____1____1__J___1__J_

4w

(3)求证：0/1+1n+2n+32n-l2n>2e(77€N,

【答案】(i)y=o

(2)[1,+co)(3)证明见详解

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；

(2)根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为42=+-求出函数g(x)==+—的最大

XXXX

值得解；

(3)先构造函数0(x)=21nx—x+L,利用导数证明—,x>l,令x='+l,可得

X乙、XJ7?

In(72+1)-InM迭代累加可证得结果.

【小问1详解】

当4=1时，/(力=%2_。工/'⑴-0,

则广(x)=2x]l+e卜.，则/'⑴=2—2e°=0,

所以/(x)在点(1/(1))处的切线方程为7=0.

【小问2详解】

由时，/(%)<0,

I12InX

即丫x2-esu整理得几2=x2+---X--,对恒成立，

人/、121nxra.、2x2-21nx2(x-l-xlnx)

令gX==+——，则g'X=—F+—2—=△——3------

XXXXX

令〃(x)=x-1-xlnx,x>1,

所以1(x)=-InX<0,即函数“X)在X>1上单调递减，

所以〃(%)«"1)=0,即g[x)40,

所以函数g(x)在x»l上单调递减，则g(x)Wg⑴=1,

【小问3详解】

=21nx-x+—,x>1,

JC

milf/\21I—x2+2x—I—(x—l)八

刈。⑴—I-2——='2<U，

XX2XX

则0(x)</(l)=0,即21nx-x+工<0,

所以0(%)在(L+8)上单调递减,

X

「1(1)

Inx<—x—,x>1,

21X)

令H1fGN，

n

\

可得1/1+口<工1+-——

-

1nJ2n1+j2\n〃+l)

)

所以山(〃+1)-111〃<31工+一6

In(7?+2)-In(77+1)<J+〃+2〉

11।1

ln(〃+3)-ln(〃+2)<—

2〃+2〃+3

ln(2w)-ln(2w-l)q导I十二

i/一”1222

以上式子相力口得In(2〃)一ln〃<——H------H------H-----H------+—,

2\n〃+1〃+22n—l2n)

整理得，In2-----<-------1--------FLH---------1----,

4n〃+1〃+22n—l2n

两边取指数得，「2$W+A礼，

即得2-！<e++'也+++，(〃eN*)得证.

【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数0(x)=