2025高考数学复习必刷题：随机事件、频率与概率（学生版）

第88讲随机事件、频率与概率

知识梳理

知识点1、随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.

知识点2、样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E

的样本空间，一般地，用.Q.表示样本空间，用。表示样本点，如果一个随机试验有“个

可能结果外，g,…,%,则称样本空间。=｛外,％…为有限样本空间.

知识点3、随机事件、确定事件

(1)一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，

为了叙述方便，我们将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点

的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

(2)。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生,

所以。总会发生，我们称。为必然事件.

(3)空集0不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为。为不可能事件.

(4)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件.

知识点4、事件的关系与运算

①包含关系：一般地，对于事件A和事件3,如果事件A发生，则事件3一定发生，这

时称事件3包含事件A(或者称事件A包含于事件3),记作或者A=与两个集

合的包含关系类比，可用下图表示：

不可能事件记作0,任何事件都包含不可能事件.

②相等关系：一般地，若且称事件A与事件3相等.与两个集合的并集

类比，可用下图表示：

③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件3发生，则称此事件为

事件A与事件3的并事件（或和事件），记作AUB（或A+8）.与两个集合的并集类比,

可用下图表示:

④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件3发生，则称此事件为

事件A与事件8的交事件（或积事件），记作AflB（或■）.与两个集合的交集类比，可

用下图表示：

知识点5、互斥事件与对立事件

（1）互斥事件：在一次试验中,事件A和事件5不能同时发生，即4口3=0,则称事

件A与事件3互斥，可用下图表示:

如果A，4,…，A"中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件4，.A,,

彼此互斥.

（2）对立事件：若事件A和事件3在任何一次实验中有且只有一个发生，即AU3=。

不发生，4口3=0则称事件A和事件3互为对立事件，事件A的对立事件记为

（3）互斥事件与对立事件的关系

①互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,

还要求二者之一必须有一个发生.

②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”

的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件.

知识点6、概率与频率

（1）频率：在"次重复试验中，事件A发生的次数上称为事件A发生的频数，频数％与

总次数，的比值的k，叫做事件A发生的频率.

n

（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件A发生的频率交总是接近于某个常数,

n

并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率V随着试验

n

次数的增加稳定于概率尸（A）,因此可以用频率人来估计概率尸（A）.

n

必考题型全归纳

题型一：随机事件与样本空间

例1.（2024•全国•高三专题练习）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合

A,8的四个命题：

①若任取xeA,则xe3是必然事件；

②若任取彳e4,则xe3是不可能事件；

③若任取xeB,则xeA是随机事件；

④若任取则xeA是必然事件.

其中正确的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2.（2024•全国•高三专题练习）以下事件是随机事件的是（）

A.标准大气压下，水加热到100。（2,必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯

C.长和宽分别为。力的矩形，其面积为仍D.实系数一元一次方程必有一实根

例3.（2024•全国•高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的4个球，其中黑色球2

个，记为耳、B2,白色球2个，记为叱、眼，从袋中任意取2个球，请写出该随机试验一

个不等可能的样本空间：。=—,

变式1.（2024•全国•高一专题练习）将一枚硬币抛三次，观察其正面朝上的次数，该试

验样本空间为.

变式2.（2024•高一课时练习）设样本空间9={1,2,3},则9的不同事件的总数

是.

变式3.（2024•全国•高一专题练习）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中

次品数，其样本空间为.

【解题方法总结】

确定样本空间的方法

（1）必须明确事件发生的条件.

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,

按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

题型二：随机事件的关系与运算

例4.（2024•全国•高三专题练习）端午节是我国传统节日，记事件A="甲端午节来宝鸡

13

旅游”，记事件3="乙端午节来宝鸡旅游”，且尸（A）=『P（B）=-,假定两人的行动相互

之间没有影响，则尸（AU3）=（）

A.-B.—C.-D.-

61244

例5.（2024•全国•高三专题练习）已知事件A与事件B互斥，记事件豆为事件8对立事

件.若尸（A）=0.6,P（B）=0.2,则尸（A+月）=（）

A.0.6B.0.8C.0.2D.0.48

例6.（2024•全国•高三专题练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮

弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件8表示随机事件“两枚炮弹都未击

中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件。表示随机事件“至少有一

枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（）

A.AEDB.BC|D=0

C.A\JC=DD.AUB=BUD

变式4.（2024•全国•高三专题练习）某家族有X,F两种遗传性状，该家族某成员出现

X性状的概率为54，出现r性状的概率为启2，x,y两种性状都不出现的概率为7木，则该

成员x,y两种性状都出现的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

15101515

变式5.（2024•上海长宁•统考一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少

一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为P（A）,事件8的概率为

P网;贝是下列哪个事件的概率（）

A.两个点数都是偶数B.至多有一个点数是偶数

C.两个点数都是奇数D.至多有一个点数是奇数

变式6.（2024•全国•高三专题练习）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设河=

“甲元件故障"，N="乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（）

甲乙

A.M<JNB.M<JNC.MCND.M\JN

变式7.（2024•全国•高三专题练习）已知P（A）=0.3,P（B）=0.1,若3=A,贝|

P（AB）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【解题方法总结】

事件的关系运算策略

（1）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.

（2）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验

可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用

Venn图分析事件.

题型三：频率与概率

例7.（2024•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测）在一个口袋中放有加个白球和

〃个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色

后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中

随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为.（小数点后保留一位小数）

例8.（2024•全国•高三对口高考）下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05,则从

中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正

面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0,

即尸（A）趋近于0,则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，

则出现1点的频率是，；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的

有.

例9.（2024•全国•模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正

确答复，因此需要特别的调查方法.调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、

大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，

若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题

二：你是否在考试中做过弊.若100人中有52人回答了“是”，48人回答了“否”.则问题二

“考试是否做过弊"回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）.

变式8.（2024•全国•高三对口高考）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采

用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生。到9之

间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，再

以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.

变式9.（2024•全国•高三专题练习）一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试

验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗

效的频率是.

变式10.（2024•全国•高三专题练习）若随机事件A在〃次试验中发生了:"次，则当试

验次数w很大时，可以用事件A发生的频率%来估计事件A的概率，即

n

P（A）«.

变式11.（2024•全国•高三专题练习）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现

采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9

之间取整数值的随机数，指定2,4,6,8表示命中十环，0,1,3,5,7,9表示未命中

十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机

数：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965据

此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为.

变式12.（2024•广东广州•高三铁一中学校考阶段练习）长时间玩手机可能影响视

力.据调查，某校学生大约有40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1

小时，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学

生，则他近视的概率约为.

变式13.（2024•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）袋中有10个球，其中有

机个红球，〃个蓝球，有放回地随机抽取1000次，其中有597次取到红球，403次取到蓝

球，则其中红球最有可能有个.

【解题方法总结】

（1）概率与频率的关系

频率是随机的，而概率是一个确定的值，

-►通常用概率来反映随机事件发生的可能

@性的大小

（2）随机事件概率的求法

通过大量的重复试验，事件发生的频率

f会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就

@是事件的概率，

题型四：生活中的概率

例10.（2024•全国•高三专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手

机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（i）

摇号的初始中签率为0.19；（ii）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签

率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9,

则至少需要邀请_____位好友参与到“好友助力”活动.

例11.（2024•江西吉安•江西省泰和中学校考一模）设有外形完全相同的两个箱子，甲

箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出

的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从—箱中取出的.

例12.（2024•全国•高三专题练习）有以下说法：

①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是3;②买彩票中奖的概率为0.001,那么

买1000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前，决定谁先发球,抽签方法是从1~10共10个数

字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的

天气预报降水概率是90%”是错误的.

根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是

【解题方法总结】

概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发

生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次

数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.

题型五：互斥事件与对立事件

例13.（2024•四川眉山•仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1

个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.至少有一个白球；红、黑球各一个D.恰有一个白球；一个白球一个黑球

例14.（2024•全国•高三专题练习）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，

那么互斥而不对立的事件是（）

A.至少有一个黑球与都是黑球

B.至少有一个黑球与至少有一个红球

C.恰有一个黑球与恰有两个黑球

D.至少有一个黑球与都是红球

例15.（2024•四川宜宾•统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向

上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大

于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

变式14.（2024•广西柳州•柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必

修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治

变式15.（2024•全国•高二）袋内分别有红、白、黑球3,2,1个，从中任取2个，则互斥而

不对立的两个事件是（）

A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.恰有一个白球；一个白球一个黑球D.至少有一个白球；红、黑球各一个

变式16.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）从1,2,3,L,9中任取三个不同的

数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）

A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”

C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇

数”

【解题方法总结】

1、准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也

可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生,

既有且仅有一个发生.

2、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；

两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

题型六：利用互斥事件与对立事件计算概率

例16.（2024•全国•高三专题练习）己知事件A,B,C两两互斥，若尸（A）=g

1O

P（c）=j,P（AU8）=],则尸（8uC）=.

例17.（2024•全国•高三专题练习）在一次运动会上，某单位派出了6名主力队员和5名

替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派5名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率

为.

例18.（2024•全国•模拟预测）甲、