2025高考数学复习必刷题：面积问题（学生版）

第71讲面积问题

知识梳理

1、三角形的面积处理方法

(1)•底•高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)

⑵5「3.水平宽.铅锤高=3阳.昆_&|或5「；3卜|力一曲

(3)在平面直角坐标系xOy中，己知△OMN的顶点分别为0(0,0),/(再，%),

N(X2,y2),三角形的面积为5=-^yj.

2、三角形面积比处理方法

S^OAC_2_____________OA-OC

S~°BD_!OB0D-sina一OBOD

2

（2）等角、共角模型

o

S-OA-OC-sina

'OAC_2_____________OA-OC

q1一OBOD

△°BD—OB-OD-sina

2

3、四边形面积处理方法

(1)对角线垂直

(2)一般四边形

S=』AC-BD-sina

2

一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数

的最值(一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有

界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等)，在算面积的过程中，优先选择长度

为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量.

必考题型全归纳

题型一三角形的面积问题之S△《底・高

22

例L（2024•福建漳州•高三统考开学考试）已知椭圆C:=+2=l（a＞匕＞0）的左焦点为

ab

月（-班,0）,且过点

⑴求C的方程；

（2）不过原点。的直线/与C交于尸，Q两点，且直线。尸，PQ,OQ的斜率成等比数列.

⑴求/的斜率；

（ii）求△OP。的面积的取值范围.

例2.（2024•湖南常德.高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点

A（；0）,点8在直线/：x=-1上运动，过点5与/垂直的直线和的中垂线相交于点

⑴求动点M的轨迹E的方程；

⑵设点尸是轨迹E上的动点，点R,N在y轴上，圆C:（x-l）2+y2=i内切于△PRV,求

△PRN的面积的最小值.

例3.（2024・浙江•模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难

入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加

以解决，己知曲线C上任意一点P（x,（满足+夜I+9一一行＞=2.

（1）化简曲线C的方程；

（2）已知圆O:尤2+y2=i为坐标原点），直线/经过点A（机,0）（加＞1）且与圆。相切，过点

A作直线/的垂线，交C于两点，求0MN面积的最小值.

22

变式1.（2024•河北秦皇岛•校联考二模）已知双曲线3r-与v=1（”>。8>0）实轴的一个端点是

ab

P,虚轴的一个端点是Q,直线尸Q与双曲线的一条渐近线的交点为

⑴求双曲线的方程；

⑵若直线y="+J（0<Z<l）与曲线C有两个不同的交点4民。是坐标原点，求（MB的

面积最小值.

变式2.（2024・四川成都・成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆

从［+£=1（4>6>0）过点且左焦点为耳上3,0）.

（1）求椭圆E的方程；

（2）ABC内接于椭圆E,过点P（4,l）和点A的直线/与椭圆E的另一个交点为点D,与

BC交于点Q,满足,制。必=|4。||「目，求，ABC面积的最大值.

题型二：三角形的面积问题之分割法

例4.（2024・全国•高三专题练习）设动点M与定点B（c,0）（c>0）的距离和M到定直线/：

x=43的距离的比是c£.

C2

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

⑵当c=0时，记动点M的轨迹为Q,动直线机与抛物线「：/=4x相切，且与曲线。

交于点A,B.求二A03面积的最大值.

例5.(2024・四川成都•高三校联考阶段练习)已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴

为坐标轴，焦点在》轴上，离心率e=《，且过点尸(3,2).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/与椭圆交于A，8两点，且直线PA,P5的倾斜角互补，点M(0,8),求三角形

面积的最大值.

22

例6.(2024・广东•高三校联考阶段练习)已知双曲线二-1=1,(a>0力>0)的离心率为

2,右焦点厂到渐近线的距离为

(1)求双曲线的标准方程；

⑵若点尸为双曲线右支上一动点，过点尸与双曲线相切的直线/,直线/与双曲线的渐近线

分别交于Af,N两点，求：FMN的面积的最小值.

22

变式3.(2024・广东广州•高三中山大学附属中学校考阶段练习)过椭圆三+匕=1的右焦

43

点/作两条相互垂直的弦A3,CD.AB,8的中点分别为"，N.

⑴证明：直线过定点；

(2)若A3,C。的斜率均存在，求_/加面积的最大值.

题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化

2

例7.（2024.全国•高三专题练习）如图，已知双曲线C:/-（=1的左右焦点分别为£、

F],若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足|「耳|+|尸凰=8,过点尸分别作双曲线

C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和瓦

22

（2）若对于更一般的双曲线C':。-2=1（。>0]>0）,点P'为双曲线C'上任意一点，过

ab

点P'分别作双曲线C两条渐近线的平行线尸’4、PE与渐近线的交点分别是A和B’.请问

四边形。4/5的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用。、6表示该定值）；若不是

定值，请说明理由.

22

例8.（2024•浙江•高三竞赛）已知直线/与椭圆C：=+与=1（。>>>0）交于A、3两点,

ab

直线AB不经过原点0.

（1）求。钻面积的最大值；

（2）设M为线段的中点，延长加交椭圆C于点P,若四边形。1PB为平行四边形,

求四边形。4PB的面积.

例9.（2024・全国•高三专题练习）々，耳分别是椭圆于点+9=1的左、右焦点.

⑴若尸是该椭圆上的一个动点，求母;•尸名的取值范围；

⑵设4（2,0）,3（。/）是它的两个顶点，直线y=M左20）与相交于点与椭圆相交于

E、尸两点.求四边形AE8尸面积的最大值.

变式4.（2024•江苏苏州•模拟预测）如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线

。：丁=4尤的焦点为歹，过尸的直线交C于A,B两点（其中点A在第一象限），过点A

作C的切线交x轴于点尸，直线P8交C于另一点。，直线QA交无轴于点T.

⑴求证：|AF|.|AT|=|BF|.|eT|;

⑵记AAOP,△AFT,△8QT的面积分别为S―邑，S3,当点A的横坐标大于2时，求

的最小值及此时点A的坐标.

一

变式5.（2024•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆E：

=l（a>b>0）的一个顶点为4（0,1）,离心率为白,尸为椭圆E的右焦点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过/且斜率为左的直线与椭圆E交于。，G两点，若满足ADLAG,求左的值；

⑶过点尸（2,0）的直线与椭圆E交于B,C两点，过点8,C分别作直线/：x=r的垂线

（点8,C在直线/的两侧）.垂足分别为"，N,记BMP，^MNP,0vp的面积分

别为鸟，与，S,,试问：是否存在常数J使得岳，■，S3总成等比数列？若存在，求

出，的值，若不存在，请说明理由.

变式6.（2024•福建泉州•泉州七中校考模拟预测）已知圆C:（尤-石『+y2=i6,点

G（-V3,0）,圆周上任一点P,若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q,点。的轨迹为

曲线E.

⑴求曲线E的方程；

⑵若过点（1,0）的动直线〃与椭圆C相交于M,N两点，直线/的方程为x=4.过点/作

画人I于点T,过点N作于点R.记！G77?,!G7M,!GRN的面积分别为S,\,S2.

问是否存在实数彳，使得彳历司-s=o成立？若存在，请求出兄的值；若不存在，请说

明理由.

变式7.（2024.上海浦东新•高三上海市洋泾中学校考开学考试）设抛物线「：j?=4x的焦

点、为F,经过X轴正半轴上点M（私0）的直线/交r于不同的两点A和反

⑴若|刑=3,求A点的坐标;

（2）若加=2,求证：原点。总在以线段A3为直径的圆的内部；

（3）若|刑=|FN|,且直线4〃/,4与「有且只有一个公共点E,问：△Q4E的面积是否存

在最小值？若存在，求出最小值，并求出以点的坐标；若不存在，请说明理由.（三角形

面积公式：在.ABC中，设01=。=（玉,%），CB=Z?=（x2,y2）,贝!!ABC的面积为

变式8.（2024・四川眉山•高三校考阶段练习）在△尸百鸟中，已知点片卜石,0）,

名边上的中线长与尸居边上的中线长之和为6；记△尸久鸟的重心G的轨迹为

曲线C.

⑴求C的方程；

⑵若圆。：x2+y2=l,£（0,-1）,过坐标原点。且与y轴不重合的任意直线/与圆。相交

于点A,B,直线E4,与曲线C的另一个交点分别是点"，N,求EMN面积的最

大值.

题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型

例10.(2024.河北•统考模拟预测)已知抛物线C:/=2py(p>0),过点P(O,2)的直线/与

C交于A8两点，当直线/与》轴垂直时，OA1OB(其中。为坐标原点).

(1)求C的准线方程；

(2)若点A在第一象限，直线/的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与》轴交于点T,连接

TB交C于另一点、为D,直线AD与》轴交于点Q,求△APQ与面积之比的最大值.

例11.(2024•北京东城•高三北京市第H^一中学校考阶段练习)已知椭圆

E:f2=l(a>b>0),c=Ja。-b。,且过(2,0)[1,J两点.

⑴求椭圆E的方程和离心率e；

出若经过用(1，。)有两条直线/14,它们的斜率互为倒数，4与椭圆E交于48两点，4与

椭圆E交于C,。两点，P,。分别是AB,CD的中点试探究：△OPQ与一MPQ的面积之

比是否为定值？

若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

22

例12.(2024.江苏徐州.高三校考开学考试)设椭圆「r+斗v=l(a>6>0)的左右顶点分别为

ab

4,4,右焦点为尸，已知|A尸1=3,内尸|=L

(1)求椭圆方程及其离心率;

(2)己知点p是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线&尸交y轴于点Q,若三角形4尸。的

面积是三角形4五尸面积的二倍，求直线右尸的方程.

变式9.（2024.广东深圳.深圳中学校考模拟预测）已知定点尸（2,0）,关于原点。对称的动

点尸，Q到定直线/:x=4的距离分别为dQ,且苧=竽，记尸的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？

⑵已知点N是直线机:x=；y+2与曲线C的两个交点，M,N在X轴上的射影分别

k

为N[（M1；M不同于原点。），且直线MW与直线/：元=4相交于点R,求：RMN

与面积的比值.

变式10.（2024•河北•高三校联考阶段练习）已知抛物线C：y2=2px（p>o）上一点

A（a,a）（ax0）到焦点尸的距离为g.

（1）求抛物线C的方程；

⑵过点厂的直线/与抛物线C交于P,Q两点，直线OP。。与圆E：（x-2Y+y2=4的另一

交点分别为MMO为坐标原点，求△。尸。与面积之比的最小值.

变式11.（2024・陕西商洛・陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆

22

C:4+二=1(。>6>0)的左、右顶点分别为A,8,长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运

ab

动,且-ABP面积的最大值为8.

(1)求C的方程；

⑵若直线/经过点。(1,0),交C于M,N两点、,直线分别交直线x=4于。，E两

点，试问与，AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理

由.

变式12.(2024.福建厦门•厦门一中校考模拟预测)已知A,B分别是椭圆C：

221

.+方=l(a>6>0)的右顶点和上顶点，阿|=6直线A3的斜率为-亍

(1)求椭圆的方程；

(2)直线〃/AB,与x,》轴分别交于点/，N,与椭圆相交于点C,D.

(i)求，OQ0的面积与△ODV的面积之比；

(ii)证明：|。0「+|阿>「为定值.

题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型

22

例13.(2024.安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测)已知椭圆C:3+方=1(〃>6>0)的离心

率为孝，且C经过点1,

⑴求椭圆C方程；

⑵直线y=6(左>。)与椭圆C交于点”、N,尸为C的右焦点，直线MRNF分别交C于另

一点想、M，记RVW与△啊乂的面积分别为百、邑，求5t的范围.

例14.(2024.全国.高三对口高考)在平面直角坐标系xoy中，点B与点关于原点。

对称，尸是动点，且直线钎与3P的斜率之积等于-g.

⑴求动点尸的轨迹方程；

(2)设直线AP和族分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得，必8与.PMN的

面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

例15.(2024.重庆.高三重庆一中校考阶段练习)已知。为坐标原点，抛物线的方程为

22

x2^2py(p>0),F是抛物线的焦点，椭圆的方程为下方=1(〃>6>0),过F的直线/

与抛物线交于M,N两点，反向延长OM,QV分别与椭圆交于P,。两点.

y.

(1)求kOM,kON的值;

⑵若|OP「+QQ「=5恒成立，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，若沁的最小值为1,求抛物线的方程（其中“。烦，分别

是：OMN和AOPQ的面积）.

22

变式13.（2024・四川•校联考一模）已知点（-2,0）在椭圆C：3+3=l（a>>>0）上，点

ab

相片0）在椭圆C内.设点以A,2为C的短轴的上、下端点，直线4%分别与

椭圆C相交于点EI,且助,配的斜率之积为

（1）求椭圆C的方程；

（2）记S^BME，SAMF分别为_励/£,AMF的面积，若加«-坦,-11[1,百），求5AM，的

取值范围.

变式14.（2024.贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试）已知点（-2,0）在椭圆C：

4+4=1（«>&>0）±,点”（九与（相/0）在椭圆C内.设点A,B为C的短轴的上、下端

ab\

点，直线AM,分别与椭圆C相交于点E,F,且EA,EB的斜率之积为一5.

4

⑴求椭圆C的方程；

S1

⑵记/典上，分别为—力质的面积，若言皿=工，求机的值.

,△BME今

变式15.（2024・四川南充.四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆

尤2d1

C:1r+}=1（。>6>0）的左、右焦点为0工，离心率为巳.点尸是椭圆C上不同于顶点的

任意一点，射线尸耳，尸4分别与椭圆C交于点A8,△尸耳8的周长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

ss

⑵设谯，APF、B,RW的面积分别为L邑，邑.求证：三三+不、为定值.

d3-d2»2一》1

题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型

22

例16.（2024•河南・襄城高中校联考三模）设双曲线E:1r暇=1（。>0,6>0）的左、右焦

点分别为斗工，忻用=2技且E的渐近线方程为y=±（

⑴求E的方程；

⑵过B作两条相互垂直的直线《和/2，与E的右支分别交于4C两点和8,。两点，求四

边形ABC。面积的最小值.

22

例17.（2024•山西朔州•高三校联考开学考试）已知椭圆E：2T=1（。＞匕＞0）的左、右

焦点分别为耳，居，M为椭圆E的上顶点，岫・叫=0,点N（形,-1）在椭圆£上.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设经过焦点工的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A,8两点和C,。两点，求

四边形ACBD的面积的最小值.

例18.（2024•江西•高三统考阶段练习）已知直线/：尤-y+l=O与抛物线C:无2=2py（p＞0）

交于A,B两点，|AB|=8.

⑴求P;

（2）设抛物线C的焦点为尸，过点尸且与/垂直的直线与抛物线C交于E,G,求四边形

AEBG的面积.

题型七：四边形的面积问题之一般四边形

22

例19.（2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆C:1r+方=1（。＞6＞0）过

两点.

（1）求椭圆C的方程;

(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A,B,当动点M在定直线x=4上运动时，直线

AM,8M分别交椭圆于两点尸和。.

(i)证明：点B在以尸。为直径的圆内；

(ii)求四边形AP3Q面积的最大值.

22

例20.(2024.新疆伊犁.高三校考阶段练习)已知椭圆C：力方=1(">>>0)经过点

-g],。为坐标原点，若直线/与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为直

线/与直线。/的斜率乘积为-；.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若四边形0AP8为平行四边形，求四边形OAPB的面积.

22

例21.(2024.上海黄浦.高三格致中学校考开学考试)定义：若椭圆C:=+A=l(a>6>0)

上的两个点4(g%),3(%，%)满足安+节1=0，则称AB为该椭圆的一个“共轨点对”，

记作[A,用.已知椭圆C的一个焦点坐标为£(-2>/2,0),且椭圆C过点4(3,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵求“共辗点对”[A司中点8所在直线/的方程；

(3)设。为坐标原点，点尸,Q在椭圆C上，且PQ//OA,(2)中的直线/与椭圆C交于两点

练鸟，且用点的纵坐标大于0,设四点4,尸，与，。在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形

耳尸反。的面积小于8g.

变式16.(2024四川成都•高三石室中学校考开学考试)己知椭圆Cj：4+4=1

ab

(a>8>0)左、右焦点分别为耳，F2,且工为抛物线C2：V=8X的焦点，尸(2,0)为

椭圆C1上一点.

⑴求椭圆Cj的方程；

(2)已知A,8为椭圆C1上不同两点，且都在x轴上方，满足耳A=26反

(1)若2=3,求直线4A的斜率；

(ii)若直线KA与抛物线产=》无交点，求四边形片85A面积的取值范围.

22

变式17.(2024.湖北•高三孝感高中校联考开学考试)已知椭圆E:亍+方=1(°>人>0)的

离心率e=q,且经过点(虚，-1).

⑴求椭圆E的方程；

⑵设直线/：丁=履+m与椭圆E交于A,8两点，且椭圆E上存在点使得四边形。4MB

为平行四边形.试探究：四边形0AM2的面积是否为定值？若是定值，求出四边形0AM3

的面积；若不是定值，请说明理由.

变式18.(2024•浙江.高三浙江省普陀中学校联考开学考试)类似于圆的垂径定理，椭圆

22

C：1+2=1(a>6>0)中有如下性质：不过椭圆中心。的一条弦PQ的中点为

ab

M,当尸Q,OM斜率均存在时，kPQ-kOM=~,利用这一结论解决如下问题：已知椭圆

E：—+^=1,直线。尸与椭圆E交于A,8两点，且04=30尸，其中。为坐标原点.

819

⑴求点尸的轨迹方程:T；

⑵过点尸作直线CD交椭圆E于C,。两点，使尸C+PD=0，求四边形AC8O的面积.

变式19.(2024•浙江•高三舟山中学校联考开学考试)已知抛物线E：丫=尤2与圆加：

X?+(y-4y=/(r>0)相交于A,B,C,Z)四个点.

(2)四边形ABCD的对角线交点是否可能为若可能，求出此时『的值，若不可能，请说

明理由；

(3)当四边形ABC。的面积最大时，求圆"的半径『的值.

变式20.(2024・四川成都・校联考模拟预测)已知椭圆C|：—+9=1(〃>1)与椭圆

a

22_

c2：足方=1(0<)<2百)的离心率相同，且椭圆C?的焦距是椭圆C］的焦距的相

倍.

⑴求实数。和b的