2025高考数学复习必刷题：函数与方程

第12讲函数与方程

知识梳理

一、函数的零点

对于函数y=/(x),我们把使/(6=0的实数尤叫做函数y=/(x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程〃尤)=。有实数根O函数〉="X)的图像与X轴有公共点O函数>=有零

点.

三、零点存在性定理

如果函数y="X)在区间［公句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)-f(b)<0,那么函数？=/(尤)在区间(。力)内有零点,即存在ce(a,6),使得

/(c)=0,c也就是方程〃尤)=0的根.

四、二分法

对于区间可上连续不断且"㈤<0的函数,通过不断地把函数/(x)的

零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方

法叫做二分法.求方程/(x)=0的近似解就是求函数无)零点的近似值.

五、用二分法求函数“X)零点近似值的步骤

(1)确定区间［a,6］,验证/(a)"(b)<0,给定精度£.

(2)求区间(a,6)的中点玉.

(3)计算〃可).若〃占)=0,则不就是函数的零点；若〃4)"(占)<0,则令

6(此时零点七).若/伍)•/(芭)<0,则令>=%(此时零点Ue(占,6))

(4)判断是否达到精确度£,即若|a-可<£,则函数零点的近似值为a(或匕)；否

则重复第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数/(尤)在定义域上是单调函数，则/(元)至多有一个零点.

②连续不断的函数/(X),其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数〃X)通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/(尤)在闭区间团，句上有零点，不一定能推出了(“)/(6)<0.

必考题型全归纳

题型一：求函数的零点或零点所在区间

[例1](2024•广西玉林•博白县中学校考模拟预测)已知函数为。)是奇函数，且

f{x}=h{x}+2,若x=2是函数y=/(x)的一个零点，则/(-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】因为x=2是函数y=/(x)的一个零点，则八2)=0,于是/(2)=飘2)+2=0,即

/2)=-2,

而函数以划是奇函数，则有〃(-2)=f⑵=2,

所以/(-2)=人-2)+2=4.

故选：D

【对点训练11(2024•吉林•通化市第一中学校校联考模拟预测)已知%是函数

/(x)=tanx-2的一个零点，则sin2尤0的值为()

4334

A.——B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因为％是函数/(尤)=tan尤-2的一个零点，

所以tan%—2=0,gptanx0=2,故cos/w0,

nijsin2x-2sin%.cos/_2tanx0_4

222

sinx0+cosx01+tanx05*

故选：D.

【对点训练2】(2024•全国•高三专题练习)已知函数

/(%)=2，+%遥(％)=1082彳+%/心)=1082》-2的零点依次为“,瓦(:,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】对于/(x)=2'+x,显然是增函数，/(0)=1>0,/(-1)=-1<0,所以

的唯一零点。€(-1,0);

对于g(x)=log2X+x，显然也是增函数，==，所以g(x)的唯一

零点明』；

对于/z(x)=log2X-2,显然也是增函数，/2(4)=log24-2=0,所以/z(x)的唯一零点

/.a<b<c；

故选：A.

【对点训练3】(2024•全国•高三专题练习)已知〃％)=e”+ln%+2,若%是方程

/(力-广(力=6的一个解，则与可能存在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】f\x)=e+~,所以(尤)=e'+lnx+2-卜+口=山彳二+2,

因为％是方程/(x)-/'(x)=e的一个解，

所以％是方程liuc—：+2-e=0的解，令g(x)=lnx-J+2-e,

则g'(尤)=工+=，当x>。时，g'(无)=1+』>0恒成立，

XXXJC

所以g(x)=lnx-’+2-e单调递增，

131S

Xg(2)=ln2--+2-e=ln2+--e<0,g(3)=ln3--+2-e=ln3+--e>0,

所以36(2,3).

故选：C.

【解题总结】

求函数/(x)零点的方法:

（1）代数法，即求方程，（x）=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何

法，即利用函数y=，（x）的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【例2】（2024•山西阳泉•统考三模）函数/（力=1吗彳+幺+旭在区间（1,膜存在零

点.则实数机的取值范围是（）

A.5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+oo）

【答案】B

【解析】由％=bg?x在（。,+巧上单调递增，%=尤2+根在（。,+向上单调递增，得函数

/（X）=log2X+fm在区间（0,4-00）上单调递增，

因为函数"X）=log2X+fm在区间（1,2）存在零点，

[/⑴<0[log,l+F+加<0

所以2即，C，解得〈加〈一，

c02-51

[〃2）>0[log22+2+m>0

所以实数机的取值范围是（-5,-1）.

故选：B.

3

【对点训练4】（2024•全国•高三专题练习）函数/（x）=2,——。的一个零点在区间

（1,3）内，则实数。的取值范围是（）

A.（7,-H»）B.（-oo,-l）C.（—,一1）（7,+oo）D.（-1,7）

【答案】D

3

【解析】：丁=2*和y=-三在（0,+s）上是增函数，

x

3

=2,——。在（0,+8）上是增函数，

•••只需/⑴"（3）<0即可，即（-1-。（7-。）<0,解得一1<”7.

故选：D.

2

【对点训练5】（2024•河北•高三学业考试）已知函数/（无）=。-「是R上的奇函数,

2+1

若函数*的零点在区间内，则根的取值范围是（）

A.（-］，g）B.（-1,1）C.（-2,2）D.（0,1）

【答案】A

22

【解析】・・・/（九）是奇函数，・・・/（0）=Q——=0,a=l,=易知/（x）在尺

1+12X+1

上是增函数，

/（x）有唯一零点0,

函数丫=/（无一2利）的零点在区间（-1,1）内，.・.x-2加=0在（TD上有解，〃?.=；,...

,11、・

故选：A.

【对点训练6】（2024•浙江绍兴•统考二模）已知函数/（x）=lnr+/+人，若/•⑺在区

间［2,3］上有零点,则ab的最大值为.

【答案】*

【解析】设/（%）=。，Xoe［2,3］,贝Ijln%o+Q片+匕=0,

QX2

止匕时人=-lnx0-；,贝|ab=-alnx0-ax1,

2

令g(a)=-a\nxQ-ax1=

lnx、

当a=一尉n时，g（za）

t己“。）=乎，则〃（无）=匕坐

2x2x

所以为（X）在［2,e）上递增，在［e,3］上递减,

="©=(,所以InXo)_1

故〃(无)max2

2x0J4e

所以他的最大值为人.

4e

故答案为：--y.

Ac"

【对点训练7】（2024•上海浦东新•高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数

/（x）=siniw-asin尤在（0,2兀）上有零点，则实数a的取值范围___________.

1

【答案】—oo,--------{0}

2

.(兀.兀.

71兀A

【解析】当a>l时，0<-<7i,fsina，一—asin—sin-<o,

aaaa

+a>0,

713兀

故/<0,由零点存在性定理知：/（此在区间上至少有1个零点;

a2

当a=l时，/（尤）=。，符合题意;

]7171

当一<a<l时，71<—<271,—<(271<71,71<2ajl7l<2K,

2a2

71

-asin—>0,/(兀)=sinan>0,/(2K)=sin2〃兀<0,

a

由零点存在性定理知，在区间（兀,2兀）至少有1个零点;

当0<〃（工时,

2

f\x)—acosax—acosx=Q(COSax—cosx)

ax+xax-xax+xax-x

COS-----+------cos

2222

ax+xax-x.ax+x.ax-x

cos-----cos-------sin-----sin-----

2222

,.(a+l)x.(a—Y)x

=-2asin------sin-------,

22

因为0<aV^,XG(0,2TI),所以-n<(”以<0,sin(6?-1)X<0,

222

当尤e(0,2^-)时，o<+<兀,sin,/(x)>0,/(x)递增，

a+122

当工£(^-,2兀)时，兀<+<孚,sin<0,/(x)<0,/(x)递减,

a+1222

故)(X)在(0,3)上递增，在(々,2兀)上递减，

a+la+1

又/(0)=0,/(2兀)=sin2an>0,即在(兀,2兀)上，/(x)>0,

故/(X)在区间(0,271)上没有零点.

所以，当时，函数f(%)=sin6-asinx在(0,2兀)上有零点.

2

令(p(a)=sinax-asinx,(p(-d)=sin(-av)+asinx=-sinar+asinx=_(p(d),

可知9（a）=sinax-asin尤为奇函数，图象关于原点对称,

从而，当工时，函数/(x)=sino¥-asinx在(0,2兀)上有零点.

2

又当0=0时，f(x)=0,符合题意，

综上，实数0的取值范围［巴-M，

故答案为：^-oo,-^U^,+co^{0}.

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，

列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

［例3］(2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)已知实数X,y满足

InJ2y+l+y=2,e*+x=5,则尤+2y=.

【答案】4

【解析】由InJ2y+l+y=2,即In，2y+l=2-y,

即e"2，=2y+l,

令4-2y=t,则2y=47,

即e'=5-f，BPe,+/-5=0.

由e*+尤=5,得6*+%-5=0,

设函数/(x)=e，+x-5,显然该函数增函数，

又〃l)"(2)=(e-4)义.一3)<0,

所以函数〃x)=e'+x-5在(1,2)上有唯一的零点，

因此r=x,即4-2y=x,

所以x+2y=4.

故答案为：4.

【对点训练8】(2024•新疆•校联考二模)已知函数〃尤)=加+3尤2-4,若/(x)存在唯

一的零点％,且与<。，则。的取值范围是.

【答案】(一8,-1)

【解析】因为/(%)=加+3X2—4,所以析(X)=3=2+6X=3X(OV+2)

当。=0时，有〃力=3乂—4=0,解得x=±手，所以当。=0时，/(X)有两个零点，不

符合题意；

当口>0时，由/'(x)=0,解得了=0或x=-g,且有/(O)=T,f^^=±-4,

当xe~,-1，f^x)>0,〃x)在区间~，一A上单调递增；

当/'(x)<0,〃x)在区间:•|,oj上单调递减；

当x«0,M),/^x)>0,在区间(0,+8)上单调递增；

又因为”0)=T<0,孚］=羲>0，

所以xe［0,q-J,7•(%)存在一个正数零点，所以不符合题意；

当时，令/■'(x)=0,解得％=0或x=-(,且有〃0)=T,/f-jK^-4

当x«-8,0),r(x)<0,7(x)在区间(-8,0)上单调递减；

当xe(0,-£|,>0,/(尤)在区间［，一I)上单调递增；

当xe'j+j,/'(x)<0,〃x)在区间上单调递减;

又因为〃。)=-4<。，/［一^^］=一^^>0，

所以xe-二一,0,存在一个负数零点，要使〃x)存在唯一的零点看,

IJJ

则满足了(-2］=w-4<。，解得。<一1或a>l,又因为a<0,所以。<一1,

\aJa'

综上，a的取值范围是

故答案为：(-CO,-1).

x2+4x+a,x<0

【对点训练9】(2024•天津滨海新-统考三模)已知函数/(尤)=1］八，若函

—Fa+1,%>0

、了

数g(x)=〃x)-依T在R上恰有三个不同的零点，则a的取值范围是.

【答案】(-8,T)[1,2)

X2+4x,x<0

【解析】当4=0时，f(X)=\1

-+l,x>0

lx

因为g(x)=〃x)-⑪-1恰有三个不同的零点,

函数g(x)=/(x)-l在R上恰有三个不同的零点，即/(x)=l有三个解,

而工+1=1无解，故a70.

X

当。>0时，函数g(x)=〃x)-冰-1在R上恰有三个不同的零点,

即〃x)=or+l,即y=/(x)与y=6+l的图象有三个交点，如下图,

当％>0时，/(%)=J+Q+1与>=改+1必有1个交点,

所以当x<0时，/(%)=犬+4%+。有2个交点,

即V+4x+a-ax-l=0,即令〃(%)=幺+(4—a)x+a-l=O在(-8,0]内有两个实数解,

>0

=>1<tz<2,

当a<0时，函数g(x)=/(x)-班-1在R上恰有三个不同的零点,

即/(x)=or+i,即y=/(x)与丁=6+1的图象有三个交点，如下图,

当x<0时，/(x)=f+4x+a必有1个交点，

当x>0时，〃x)=/+。+1与广6+1有2个交点，

所以工+。+1=依+1,即ox?-办一1=0在(O,+e)上有2根，

X

令左⑴=加-ax-l

A>0

故,左(0)=-1<0=>〃2+4〃〉0,解得：〃<-4.

—u.1

%=----=—

、2a2

综上所述：。的取值范围是(F,T)」1,2).

故答案为：(-«),-4)[1,2).

【对点训练101(2024•江苏•校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过(e,a)的切线,

则a的范围是.

【答案】(《,e)

【解析】设切线切点为(毛,%),因Gin”=必”+1,则切线方程为：

%=xolnxo

V=(in%+1)(%-%)+%Inx0=(inx0+1)x-%0.

因过(e,a),则a=(in/+l)e-%,由题函数/'(x)=(inx+1)e-x图象

与直线y=。有两个交点./'(x)=--1=「工

得了(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+a>)上单调递减.

又〃龙)3=7(e)=e，xf0,/(x)ffo,x^+oo,f(x)^-oo.

据此可得f(x)大致图象如下.则由图可得，当ae(』e)时，曲线y=xlnx有两条过(e,a)

的切线.

故答案为：(-<®,e)

【对点训练11](2024•天津北辰•统考三模)设aeR,对任意实数x,记

2r

f(x)=min{e^-2,e^-ae+«+24}.若〃x)有三个零点，则实数。的取值范围是

【答案】(12,28)

【解析】令g(x)=e*-2,/?(x)=e"-ae*+a+24,

因为函数g(x)有一个零点，函数〃⑺至多有两个零点，

又了(无)有三个零点，

所以Mx)必须有两个零点，且其零点与函数g(x)的零点不相等，

且函数网力与函数g(X)的零点均为函数“X)的零点，

由g(x)=。可得，e*-2=0，所以x=ln2,

所以x=ln2为函数的零点，

gp/?(ln2)=e21n2-fleln2+«+24=4-2cz+«+24=28-«>0,

所以"28,

令/?(尤)=0,可得e"-aex+Q+24=0,

由已知e2,-恁工+a+24=0有两个根，

设e'=f,则/-。/+。+24=0有两个正根，

所以。2—l(a+24)>0,a>0,a+24>0,

所以。＞12,故12＜。＜28,

当12＜。＜28时，/-小+4+24=0有两个根，

设其根为小心4＜明则马＞"|，

设/(t)=/_〃+a+24,则/(2)=4-2。+4+24=28-。＞0,尸

所以(＞2,

%2

令e』=r1,e=t2,贝=ln4,%2=ln，2,

则/l(%)=0,M%2)=。，

ln/2

且g(M)=eE"—2=4—2＞0,g(^2)=e-2=/2-2＞0,

所以当12＜。＜28时,/(^)=/(%2)=0,

所以当12＜。＜28时，占,％为函数〃x)的零点，又x=ln2也为函数〃x)的零点，

且看,马与In2互不相等，

所以当12＜。＜28时，函数/(x)有三个零点.

故答案为：(12,28).

【对点训练121(2024•广东•统考模拟预测)已知实数根，〃满足

2023-2/n3-ln2

----------m=---------lnH-ln(2e2020)=0,则加几二___________.

2nv7

3

【答案】-e

4

2023-2/n

【解析】因为^------772=0,所以e2°23e_27"=O,

2

故e2023=2〃婷”'，即2加+In2m=2023,

Weln2m+ln2m=2023.

3-ln2

由-----In〃-In(2e2020)=0,得e3Tg+3-ln2n=2023.

nv7

令〃x)=x+e"因为增函数+增函数=增函数，所以函数〃x)在R上单调递增，

3

而〃In2M)="3-In2〃)=2023,故ln2机=3-ln2〃，解得ln4〃加=3,则〃z〃=’.

3

故答案为：-e

4

【解题总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是

要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单

调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

题型四：嵌套函数的零点问题

1

2__xx<0

【例4】（2024•全国•高三专题练习）己知函数〃x）={25,若关于天的方

—|2x—1|+1,%>0

程「（X）-化+1）步（力+履2=0有且只有三个不同的实数解，则正实数人的取值范围为

B.plb(l,2)C.（O,1）U（1,2）D.(2,+oo)

【答案】B

21

x+—x,x<0

2

【解析】因为/（尤）=<2x,0<x<—,

2

2-2%,%〉一

2

由(x)+kx2=0可得[/(X)_%]]/(%)_次]=0,

所以，关于元的方程〃力=八〃力="共有3个不同的实数解.

①先讨论方程/（力=x的解的个数.

当光40时，由/（%）=/+；%=%,可得1=0,

当时，由〃x）=2x=x,可得元£0,

当x>—时，由/（x）=2-2x=x,可得工=一，

23

2

所以，方程/"）=彳只有两解x=0和尤=§；

②下面讨论方程/（无）=kx的解的个数.

当xV0时，由/（x）=f+gx=fct可得x（x+g—左］=0,可得X=0或x=^_g,

当时，由/（尤）=2尤=米，可得左=2,此时方程/（耳=自有无数个解，不合乎题

后、9

io

当x>—时，由/(%)=2—2%=依可得1=------,

2左+2

^--<0k--<0^-->0

222

21一2221

因为左＞0,由题意可得，K或4沁〉

女+212女+23k+22

k>0左〉022

〔左+23

解得工4%＜1或1＜人＜2.

2

因此，实数上的取值范围是

故选：B.

【对点训练13)(2024•全国•高三专题练习)已知函数〃无)=忖-2卜1,则关于x的方

程r(x)+时(x)+〃=0有7个不同实数解，则实数相，“满足()

A.机〉0且〃＞0B.m<0S.n>0

C.0＜加＜1且〃=0D.—l<m<05.n=0

【答案】c

【解析】令〃=/(x),作出函数”=/(力的图象如下图所示:

由于方程+"IU+”=0至多两个实根，设为M="］和〃=%,

由图象可知，直线a=%与函数"=/(%)图象的交点个数可能为0、2、3、4,

由于关于x的方程/⑺+时⑺+〃=0有7个不同实数解，

则关于u的二次方程"2+加"+〃=0的一根为%=0,贝!J〃=0,

则方程I?+mu=0的另一根为/=-m,

直线〃二“2与函数M=/(x)图象的交点个数必为4,则-IVTHVO,解得0<加<1.

所以0<加<1且〃=0.

故选：C.

【对点训练14](2024•四川资阳•高三统考期末)定义在H上函数/(%),若函数

/、/、/、-X2,XG(0,1),

y=/(%-l)关于点(1,0)对称，且"％)=-。「x则关于％的方程

尸⑴-2〃“x)=l(7"eH)有〃个不同的实数解，则n的所有可能的值为

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【答案】B

【解析】•.•函数y=/(x—l)关于点(1,0)对称，.•./(无)是奇函数，x>0时，/(X)在(0,1)上

递减，在[1,+8)上递增，

作出函数/(x)的图象，如图，由图可知/(x)=f的解的个数是1,2,3.

/<一1或t>l时，/(x)=t有一个解，r=±l时，/(x)=f有两个解，一1</<1时，/。)=/有

三个解，

方程/(x)-2〃矿(x)=l中设/(x)=r,则方程化为〃一2皿-1=0,其判别式为

△=4加2+4>0恒成立，方程必有两不等实根，t1,t2,/；+Z2=2m,tIt2=-1,两根一'F一

负，不妨设乙<0,。2>。，

若%=0,则，+72=。，f(尤)=(和/0)=一都有两个根,原方程有4个根；

若机>0,贝•+右>。，?2>|^|,.,.^>1,-1</j<0,/(x)=%有三个根，/(的=马有一

个根，原方程共有4个根；

若相<0,则一VO,t2<\t],：.0<t2<l,fj<-1,/(x)=%有一个根，〃力=。有三

个根，原方程共有4个根.

综上原方程有4个根.

故选：B.

【对点训练15]（2024•全国•高三专题练习）已知函数/口）=。2_了_1）/,设关于x的

方程/（无）7叭x）=9（租eR）有"个不同的实数解，贝IJ”的所有可能的值为

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【解析】/（"=（》-1）（》+2）/,二/（同在（-0）,-2）和（1收）上单增，（-2,1）上单减，又当

X-—8时，/⑺-0,尤f+CO时，用故"X）的图象大致为:

令小）=，，则方程/-3；。必有两个根，他且区一，不仿设—2,当

4=-e时，恰有芍=5"2,此时=有1个根，f（x）=t2,有2个根，当:e时必

有。（L"],此时/（x）=%无根，f（x）=/2有3个根,当-e<%<0时必有4>5短，此

时/（x）=%有2个根，f^x）=t2,有1个根，综上，对任意方程均有3个根，故选

A.

【解题总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎

实.

题型五：函数的对称问题

【例5】(2024•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=2x+||；WxW2)的图象上存在点

P,函数g(%)=如-3的图象上存在点。，且P,。关于原点对称，则实数。的取值范围是

A.H，0]B.o,jC.[0,4]D.1,4

|_oJ|_o

【答案】c

【解析】由题意，函数g(x)=«x-3关于原点对称的函数为-y=-ax-3,即y=ar+3,

若函数g(x)=^-3的图象上存在点°,且P,。关于原点对称，

则等价为了(力=依+3在;VxW2上有解，IP2x+-^=ax+3,在gvxW2上有解，

由/(x)=2x+±,贝|-(同=2-餐=^^,

当xe(l,2]时，f^x)>0,此时函数为单调增函数；

当时，r(x)<0,此时函数〃x)为单调减函数，

即当X=1时，〃X)取得极小值同时也是最小值，且"1)=3,即3(1,3),

当尤=[时，y=l+4=5,即A(g,5),

设Zi(x)=ax+3,要使得/(x)=/z(x)有解,

则当//(%)过点B时，得。=0,过点A时，；a+3=5,解得。=4,

综上可得.

故选C.

【对点训练16】(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e*,函数g(x)与/⑶的图

象关于直线>对称，若/z(x)=g(x)-b;无零点，则实数上的取值范围是()

A.Q,e2^jB.C.(e,+co)D.

【答案】D

【解析】由题知g(x)=lnx,"(x)=g(x)-丘=0=左=也，设尸(x)=@2n尸(x)J,当

XXX

F，(x)<0时，xe(e,-Hx>),此时尸(x)单调递减，当歹'(无)>0时，%e(0,e),此时尸(x)单调递

增，所以尸(劝1mx=F(e)=L尸(x)的图象如下，由图可知，当左>■1■时，y=F(x)与y=k无

ee

交点，即/z(x)=g(%)-"无零点.

【对点训练17](2024•全国•高三专题练习)己知函数y=a-21n尤,pVxWe)的图象上

e

存在点函数y=Y+l的图象上存在点N,且M,N关于x轴对称，则。的取值范围

是()

A.[1—e?,—2]B.-3-4,+勿

11

C.-3———2D.l-e27,-3--

_eJ|_e_

【答案】A

【解析】因为函数y=/+l与函数y=-/_l的图象关于无轴对称，

根据已知得函数y=a-21nx,d«xWe)的图象与函数y=-Y-i的图象有交点，

e

即方程a-21n%=f：2-1在工£-簿上有解，

e

即a=2Inx-X2_i在XE—,e上有解.

e

令g(x)=21nx-%2-4,xe-,e,

贝Ug，(x)=2-2尤=^^=^3，

XXX

可知g(x)在1,1上单调递增，在［l,e］上单调递减，

故当x=l时，g(x)皿=g6=—2,

由于gg)=_3_J,g(e)=l-e2,Jl-3—^->l-e2,

所以1一匕2<［4一2.

故选：A.

【对点训练18】(2024•全国•高三专题练习)已知函数g(x)=a—犬(1<X<^,e为自

然对数的底数)与/?(x)=21nx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数。的取值范围是

A.l,—+2B.[l.e?—2]

C.—r+2,e2-2D.「f-2,+8)

_eJL7

【答案】B

【解析】设立⑺上一点M(Xo,21nx。)，lwx°We,且M关于％轴对称点坐标为

e

AT(如一21nx0)，在g(x)上，

e

/.-21nx0=〃_焉(；WxWe)有解，即％：—21n%=《1VxWe)有解.

令小)=了2_21nxp■VxVe],贝ij-⑺=2万二=9上1业Zl),-<x<e,

,当xe时，/'(x)<0；当xe(l,e]时，制x)>0,\"x)在上单调递减；在

(1,e]上单调递增

"(%=/(1)=1，dJj+2,小12-2,

x；-21nx°=a[WxWe]有解等价于y=。与y=〃x)图象有交点，

/(l)<a</(e)ae[1]-2].

故选：B

【解题总结】

转化为零点问题

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

3

【例6】（2024•浙江宁波•高三统考期末）若函数/（x）=x-2"，+/nr-In」至少存在一

X

个零点，则加的取值范围为（）

A.B./+J,+oojC.+JD.1

e+—,+oo

e

【答案】A

【解析】因为函数/（尤）='Ve'+s-lnx至少存在一个零点

X

IM工3-lex1+mx-Inx八七七刀

所CR以-----------------二0有解

X

gpm=-x2+2ex+见三有解

x

令7/(%)=—x2+2ex-\----,

x

贝ljh'(x)=-lx+2e+Izhl

1-lnx^__2+-3龙+2xlnx_-3龙一2x“+2xIn尤_-3--2%(丁一inx)

—Lx+2e+

~^r)

为x>0,且由图象可知>lnx,所以

所以“（x）在（0,+a?）上单调递减，令〃（X）=0得x=e

当0<x<e时/«x）>0,//（%）单调递增

当x>e时〃(x)<0,/?(可单调递减

所以〃(xLx=Me)=e2+：

且当JV+2O时/Z(X)—>-OO

所以加的取值范围为函数网力的值域，即［8,/+^

故选：A

【对点训练19】(2024•湖北•高三校联考期中)设函数/(x)=d—2夕In%,记

g(x)=/合，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数加的取值范围是

A.1—co,e2+—1B.C.^0,e2+—D.^―℃,e2+—

【答案】D

【解析】由题意得函数/(X)的定义域为(。，+8).

pz、/W2c,lux

乂g(x)=------=x-2ex+m--------,

xx

•・•函数g(%)至少存在一个零点，

方程f-2ex+加一有角轧

x

InY

即相=—x2+lexH------有解.

X

1nJC

令""(%)=—%2+2cxH------,%>0,

x

mi，/、1-lnx〜、1-lnx

贝!J(p(x)=-2x+2e+--------=2(e-x)+——--,

xx

.,•当X£(0,e)时，"(%)>0,°(%)单调递增；当％£(e,+8)时，°'(x)<0,°(x)单调递减.

21

工。(%)皿=0(e)=6+一•

e

又当X->0时，0(%)->—8;当X—4W时，夕(%)-—00.

1TlX1

要使方程m=-x2+2ex+---有解，则需满足m<e2+-,

xe

•••实数加的取值范围是(3,/+3.

e

故选D.

【对点训练20】(2024•福建厦门•厦门外国语学校校考一模)若至少存在一个了,使得

方程Inx-=-2ex)成立.则实数加的取值范围为

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【答案】B

【解析】原方程化简得:m=--x2+2ex,(x>0)有解，令f(x)=--x2+2夕,(x>0),

XX

f'M=上T+2(e-尤),当x>e时,((无)<0,所以f(x)在(e,+oo)单调递减，当x<e时，

—(无)>0,所以f(x)在(。,e)单调递增./(尤)max=7(e)=2+e?.所以4■+/选B.

ee

【对点训练21】(2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)设函数

f(x)=JC-2x-^+a(其中e为自然对数的底数)，若函数至少存在一个零点，则实

数4的取值范围是()

1111

A.(0,1+-]B.(0,e+-]C.[e+—,+oo)D.(-co,1+-]

eeee

【答案】D

【解析】依题意得，函数/(X)至少存在一个零点，且/(x)=x2_2x-三+a,

e

可构造函数y=J?-2x和y=-三，

e

因为y=Y一2x,开口向上，对称轴为x=l,所以(-双1)为单调递减，。，”)为单调递

增；

而>=-5,则y'=*,由于e，>0,所以(-。,1)为单调递减，。，+8)为单调递增;

可知函数y=/-2x及>=-十■均在x=l处取最小值，所以〃x)在》=1处取最小值,

又因为函数/(x)至少存在一个零点，只需/。)<0即可，即：/(1)=1-2-1+«<0

解得：a<1+—.

e

故选：D.

【解题总结】

分类讨论数学思想方法

题型七：唯一零点求值问题

【例7】(2024•全国-高三专题练习)已知函数/(力=,+2|+产2+修2-%+〃有唯一零点,

则实数〃二()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】设g(x)=/(x—2)=|x|+e*+eT+a,定义域为R,

g(-x)=|T|+e~A+e*+a=|x|+e