2025届高中数学一轮复习专练：向量的数量积与角恒等变换

向量的数量积与角恒等变换

一、选择题

1.已知在正四面体ABCD中,1^=定，诙=匠，则向量而与标的夹角为（）

A.—B.—C.-D.-

3663

2.已知行为单位向量，打=4,（乙+25〉（3万—B）=—39,则M与B的夹角为（）

A.-B.-C.-D.—

6323

3.已知向量满足同=*2,且忖+q=屈，则£在石上的投影向量是（）

A.lB.1&C.lD.-a

4422

4.已知两个单位向量段的夹角为120。，则（冢+2可.（区-可=（）

35

A.-B.3C.-D.5

22

5.已知矩形ABCD的长AB=4,宽BC=3点P在线段BD上运动（不与B,D两点重

合），则定.丽的取值范围是（）

A.（-16,9）B.（-9,16）C.[0,9）D.（-16,0]

6.已知坂是夹角为120。的两个单位向量，若向量2+萩在向量£上的投影向量为

2a，则2=（）

A.-2B.2C._友D.拽

33

7.在锐角△ABC中，若sinA=2sin5sinC，则tanAtanBtanC的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

8.已知sin（a+m=Lsin（«-y5）=—，则则0=（）

v'3v'2tan£

A.lB.-lC.5D.-5

55'

二、多项选择题

9.设是夹角为60P的单位向量，由平面向量基本定理知:对平面内任一向量.，存在

唯一有序实数对（4〃），使得万=>^+”2•，我们称有序数对（44）为向量》的“仿射坐标”.

若向量Z和B的“仿射坐标”分别为（1,2）,（人-1）,则下列说法正确的是（）

A.|a|=V7

B.若m=3，则£+5的“仿射坐标”为（4,1）

C.若£_L九则根=2

D.若a〃Z;，则m=

2

10.已知向量M=（2,l）,b=（1,-1）,c=（m-2,-«）,其中m,〃均为正数,且

[a—b^Hc,下列说法正确的是（）

A2与B的夹角为钝角

B.向量商在日方向上的投影数量为手

C.2m+n=4

D.mn的最大值为2

11.已知|£|=2若，|司=2,向量力与分的夹角为30。，则以向量G,B为邻边的平行

四边形的一条对角线的长度可能是（）

A.10B.2aC.2D.22

三、填空题

12.已知向量£=（一1,2），B=（m,T）.若Z_1_（£+可，则机=.

13.已知梯形ABCD中，AB//CD-AB=2CD=2,A£）=4，点尸在线段

上，则丽.两的最小值为.

14.若sina+cosa=—，贝Usin2a=•

4

四、解答题

।13兀

15.已知cosa='，cos（a-/）=五，且0</<a<]・

⑴求tan2a的值;

Q)求cos尸.

16.在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段3c上的动点，且交A3于

点E.DEVAS且交AC于点F.

⑴求|2而+加|的值；

(2)求(瓦+^•丽的最小值.

0JT

17.在△ABC中,C4=2,AB=2,/BAC=^，。为的三等分点(靠近3点).

(1)求而.就的值；

(2)若点P满足在=4瓦,求而•定的最小值，并求此时的2.

18.已知f(x)=sin[x+]}osx+gsin(2x+1)-^^

⑴求/(x)的单调递增区间；

(2)若g(x)=/(9一巳)+/(工一器)-cosx，xe一；，?，求满足不等式g(x)21的x的

取值范围.

19.已知向量£,心满足问=3,归―囚=5.

(1)若£.石=0，求同的值；

(2)若£.3=1，求忸+.的值.

参考答案

1.答案：A

解析：根据题意可得P,Q分别为AC,的中点，则QP=-^AB.

因为福亚=1,所以弧通=手

2.答案：D

解析：设£与B的夹角为。，6>G[O,7T],

因为（方+2否）•（3商一=3a2+5a-b-2b

=3xl2+5|a||^|cos^-2x42=-39,

即3+5xlx4xcos，_2x42=-39，解得cos8=--，

2

因为。目0,可，所以e=g.

故选：D.

3.答案：B

解析：由已知=w=2,且卜+囚=JIU,

则7+片+2。石=同2+件+2/=22+22+2£石=10,

解得75=1，

a-bb

故Z在B上的投影向量是

故选:B.

4.答案：A

解析：因为两个单位向量1，■的夹角为120。，

所以录用=同.同cosl20。=lxlx[—'=—g,

所以卜]+2e2）•卜2—ej=，―弓+2e2_26.e?=一仔+2x1?.

故选：A

5.答案：A

解析：由题意得，点P在线段3。上，设丽=〃丽，所=7徨砺,“=1-加，

且一〃e（0,1）.以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示，

则4（0,0）,B（4,0）,C（4,3）,D（0,3%则丽=（T,3）,衣=（4,3）,

由AP=mAB+nAD=m（4,0）+w（0,3）=（4m,3«）,

^PC=AC-AP=（4-4/n,3-3z2）,

所以定.丽=7（4-4m）+3（3-3〃）=9-25〃，

由于“e（0,1）,所以定•加《一16,9）.

故选:A.

6.答案：A

解析：z+萩在向量z上的投影向量为^——J—a=2a^——=2.

同同

n（土+篇）/=同?+丸同.忖cos120。=1一;X=2nX=-2.

故选：A

7.答案：C

解析：由sinA=sin（B+C）=2sinBsinC，得sinBcosC+cosBsinC=2siiiBsinC，

两边同时除以cos5cosc,得tanB+tanC=2tanBtanC-

令tanB+tanC=2tanBtanC二m，

△ABC是锐角三角形，

tanB+tanCm

tan(B+C)=<0"

1-tanBtanC［生，•*-m>2•

一万

又在三角形中有:

tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC=

加2_］_］

mm4j8

故当机=4时,tanAtanBtanC取得最小值8

故选：C.

8.答案：D

解析：根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：

sin(tz+〃)=sinacos/3+cosasin〃=；，sin(tz-/?)=sinacos)3-cosasin尸=g，

联立方程组，可得sincrcos£=工，cosasva/3=--—)

1212

5

又由tana_sinacos/_12_5

tan§cosasin〃__

-12

故选：D.

9.答案：ABD

解析：根据“仿射坐标”定义,［冢+2£石=崎-区.

对于A,W+2Hl,即㈤2/.+24|2=1112Ml,|.向|8560。+4|£|2=7，因此

I-1=近.故A正确.

对于B，Z=1+2］，B=31-£，则Z+B=41+£,根据“仿射坐标”定义2+石的“仿射坐

标”为(4,1).故B正确.

对于C,若aLb，则a-b={eY+2e1)-(jnel-e2)=0，化简

―►—►—►c—»—»------►c

2

a-b-m\ex|+(2m-l)|^|•|e21cos60°-2|F=0,

即m+(2m-1)x—-2=0，解得加=°,故C错误.

24

对于D,若a//b^a=Ab=>el+2e2=-e2)=-2e2，

则1=力〃,2=-X,联立得出加=-=-2,故D正确.

2

故选:ABD.

10.答案：CD

解析：对于A,cos(a,b\=Tq-pq-='n==兀］,

'/75x7210\/L」

.,.(ZB)为锐角，A错误；

对于B,向量苕在B方向上的投影数量为：卜卜05(点石)=逐*@^=也，B错误;

I।\/102

对于C,'：a—b=(1,2),又(a-5)〃1,「.一”=2(加一2),即2〃z+〃=4,C正确；

对于D,:机，〃均为正数，又2m+〃=4,W广*'”1=4(当且仅当

2机=〃=2时取等号)，，师W2,即加”的最大值为2,D正确.

故选：CD.

11.答案：BC

解析：设而=B,AB=a.^\AD=2,AB=26,ZDAB30°,

过点。作。石，AB于点E,则AE=VL所以3E=百，可得£)5=2,

过点A作于点R,则AF=6，DF=1,

又由。0=1,所以人0=再可寿=由,即AC=2j7.

故选：BC.

12.答案：-3

解析：因为向量。=(一1,2)，b=(m,^4)>所以a+B=。徨一1,一2)，

因为a_!_（〃+冲,所以一（加一1）一4=0,解得加=一3.

故答案为：,3

13.答案：—工

解析：如图，由题意以AB，AD为x，丁轴建立平面直角坐标系,

则4（0,0），5（2,0）,£）（0,4）,C（l,4）,

设构成的一次函数为y=Ax+b，代入3（2,0），C（l,4），

/曰12左+b=0,曰伏二一4

得1，得1，即Rny=8-4x,

k+b=4[b=8

因点P在线段BC上，可设P（x,8-4x）,其中1WXW2，

贝1西=（一乂4]—8），旃=（2—x,4九一8），

PAPB=-x（2-x）+（4x-8）~=17x2-66x+64»

因UW2，故当％=过时取最小值为-

—一1717

故答案为：—J_

14.答案：2

16

解析：*/sina+cosa=一,

4

sina+cosa『=1+2sin。cosa=1+sin2a=——，

sin2a--，

16

故答案为：2.

16

15.答案：⑴一88；

47

(2)1

2

解析:(1)由cosa——fO<dz<—>得sina-cos2a=

72

sina4^/37n-干旱02tancc2x4^/5^8^/^

/.tana=----=----x—=4/3,^^tan2a=------=---------=---

cosa71l-tan26z1-(4V3)247

(2)由0</<0<3，得又cos(a—£)=搞，

22

:.sin(a-J3)=yjl-cos(cr-/?)=Jl-(—)二巫

V1414

由力=tz—(a—/?)得:

cos/3=cos[tz-((/-，)]=cosacos(a-/?)+sinasin(«-/?)

=1X13+473X3^=1

7147142

16.答案：(1)1

解析：(1)设BE=x,

•.•△ABC为边长为1的等边三角形，DE±AB,

：.ZBDE=30°,BD=2x,DE=后,DC=l-2x,

DF//AB,.•.△£>FC为边长为1-2%的等边三角形,

——>>c——>2——►—»•->2cc

:.QBE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x?+4x(1—2x)xcos00+(l—2%了=1,

2BE+DF\=1.

BDC

(2)DF//AB,:.DE±DF,

-.­(DE+DF)DA=(DE+DF)-(DE+EA)=DE2+DFEA

=(Gx)2+(1-2x)x(1-x)=5x2—3x+l=5(x—奈)，

所以当x=±时，(历+而)•方X的最小值为一.

1020

17.答案：(1)-2

_..93

(2)(7^/。濡一^此时让了

44

解析：(1)因为

__,1________________»__,1__,__2__►1__>__,__,__

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)k=~AB+-AC,BC=AC-ABk

所以砺灰=［而+g呵.(恁_呵=；恁；正,通■通2=_2

(2)如图建立直角坐标系，则A(0,0),C(2,0),8(-1,G)

令尸(x,0),所以而=(一1一x,次)，定=(2—尤,0),.•.而•定=(x+1)(%-2)

1kkQq

.•.当x=7时，(而・无)此时丸=:

244

18.答案：(1)一~—7i+fei,—+H,keZ；

1212—

兀兀

(2)

?

42、

cos/\nx+走1力

解析:⑴于(x)=cosx+