2025届高中数学一轮复习专练：排列、组合与二项式定理

排列、组合与二项式定理

一、选择题

1.甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练

习，则不同的选法共有（）

A.8种B.15种C.35种D.53种

2.J_2+116的展开式中,Q的系数为（）

（）Jb-

A.60B.120C.-60D.-120

3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为瓦c,当且仅当a>b，〃<c时称为

凹数”（如213,312等），若a,b,ce{l,2,3,4},且dc互不相同，则这个三位数为“凹数

的概率为（）

A，!B-i

、6

4.yfx--的展开式中有理项的项数为（）

I

A.0B.1C.2D.3

5.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚

书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期

间举办“四书五经”知识讲座,每部名著安排1次讲座，若要求《大学》、《论语》、《周

易》均不相邻，则排法种数为（）

A.A：A；B.A：A；C.A：A；A；D.A；A：

6.2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省

皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区

、松泽文化区、良渚文化区、钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时

间长、谱系完整,是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化

一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团

队现在对该遗址四大区域进行考古发掘,现安排包含甲、乙在内的6名研究生同学到这4

个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相

同区域的方法种数为（）

A.96B.144C.240D.360

二、多项选择题

23

7.设（3%-2）（1+%）6=%+axx+a2x+a3x+…+%%‘,则下列结论正确的是（）

A.a0=—2

B.4=85

C.q+%+生+%=32

D.4+2q+2~g+2%3—,+2,%=2916

8.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长

为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行

走的单位，如果掷出的点数为币=1,2,…,6）,则棋子就按逆时针方向行走，•个单位，

一直循环下去.某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（）

A.三次骰子后所走的步数可以是12

B.三次骰子的点数之和只可能有两种结果

C.三次骰子的点数之和超过10的走法有6种

D.回到点A处的所有不同走法共有27种

三、填空题

9.已知［+x-£|12x+J的展开式中常数项为80,则。=.

10.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2

门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种

（用数字作答）.

11.2024年7月14S13时,2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传

递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2

名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为.

四、解答题

12.电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志

愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利,著名的“松骨

峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片,他们的

座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果)

(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？

(2)女生互不相邻的坐法有多少种？

(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

13.现有9件产品，其中4件一等品,3件二等品,2件三等品，从中抽取3件产品.

(1)试问共有多少种不同的抽法？

(2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种？

(3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种？

参考答案

1.答案：B

解析：根据分步乘法计数原理，不同的选法共有3x5=15种.

故选：B

2.答案：A

解析：由题意"二+J中含4的项为则4的系数为60,

\b)b26\b)b2b2

故选：A.

3.答案：C

解析：试题解题思路：由于a,/?,CG{1,2,3,4},且瓦。互不相同,故可得4x3x2=24个三

位数.若人1,则“凹数”有:213,214,312,314,412,413共6个;若〃=2,则“凹数”有:

324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有p=色=’

243

4.答案：C

解析：(次-\612-5r

J3

的展开式的通项为4+1=C>(-=(-1)，C46

I7

当厂=0或r=6时，为有理项，

故选：C.

5.答案：B

解析：先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的

讲座，共有A。种排法;再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座,

有A；种排法，故总共有

A;A；种排法;故选:B.

6.答案：C

解析：先将6名同学分成4组:一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成

一组，其余的一人一组;另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组,其余的一人一

组.再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为©+C；)A：=240.故选C.

7.答案：ACD

解析：令％=0,则/=-2,故选项A正确；

(1+》)6的展开式的通项为&1=(2"(厂=0,1,2广.,6),

又7；=20d,心=15必,从而(3x-2)(1+%)6的展开式中x3的系数为3xl5+(-2)x20=5,

故选项B错误；

令x=1,1^%+q+a,H—•+ci-j=(3x1—2),(1+1)，=64,

令尤=一1,得4-4+/一47=0，

两式相减得2(%+/+%+%)=64,所以％+/+“5+%=32，故选项C正确；

令尤=2得4+2q+22a2+2,3+…+27％=(3x2—2>(1+2)6=2916,故选项D正确；

8.答案：BCD

解析：A、B：由题意知正方形ABC。(边长为2个单位)的周长是8,抛掷三次骰子

后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是8,16,故A错误，B正确；

C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125,134,116,224,233,

466,556,

共有7种组合，前2种组合125,134,每种情况可以排列出A；=6种结果，共有

2A；=2x6=12种结果；，116,224,233,466,556各有3种结果，共有5x3=15种

结果，其中点数之和超过10的走法为466,556,共有3x2=6种，故C正确；根据分

类计数原理知共有12+15=27种结果，故D正确；

故选：BCD.

9.答案：-工

2

解析：由+展开式的通项公式为&=G(2x)5]1]=25-CF力，令

5-2r=0,无整数解,令5—2r=—1,解得r=3,7；=—,令5—2r=l,解得r=2,

X

l=80x,，+x-412/工]展开式中的常数项为40-80a=80,解得a=-故答

案为-L

2

10.答案：64

解析：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1

门，有C；C；种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2

门，有C；C；种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1

门，有C；C；种方案.综上，不同的选课方案共有C；C；+C；C；+C；C；=64（种）.

法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有C；-玛-Cj=16（种）选课方案；若学

生从这8门课中选修3门课，则有C；-C；-C；=48（种）选课方案.综上，不同的选课

方案共有16+48=64（种）.

11.答案：10

解析：共有（C—l）xA；=10（种）不同的传递方案.

12.答案：（1）576

（2）144

（3）960

解析：（1）先将4