2024学年上海市某中学高三数学上学期期中考试试卷（附答案解析）

2024学年上海市川沙中学高三数学上学期期中考试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1,已知集合“=（一1'3），8=（1，4）,则-8=

2.不等式Ix-11<2的解集是.

3.已知马=1+1,Z2=2+3I（其中，•为虚数单位），贝ijZ+z2=

4.已知二项式（“+"）展开式中，Xz项的系数为80,则。=.

5.已知一组数据6,7,8,9,〃?的平均数是8,则这组数据的方差是.

6.若数列｛%｝为首项为3,公比为2的等比数列，则$6=.

7.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里，船由A向正北方向航行8.1海

里到达C处，这时灯塔B与船相距海里.（精确到0.1海里）

8.已知函数/（》）="/+回+"+1|为偶函数，则不等式/（X）〉°的解集为.

9.在VZ8C中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若V/8C的面积LBC=2百，a+b=6,

acosB+bcosA3「

---------------二2cosC

c,则°=.

2y2

10.双曲线x/的右焦点为大（2夜,0）,点A的坐标为（0,1）,点P为双曲线左支

上的动点，且4/P片周长的最小值为8,则双曲线的离心率为.

/--\7irr

一工___=-_2_-a—b

11.己知见名。是平面向量，值与己是单位向量，且'/2,若b-勖吧+15=0,则的最小

值为.

12.已知定义在R上的函数存在导数，对任意的实数x,都有/（x）-/（-x）=2x,且当xe（0,+oo）

时，/'（x）>l恒成立，若不等式a）22a-1恒成立，则实数0的取值范围是.

二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）

13.若实数'满足。〉6〉0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2y[abB.a+b<2>fabC.—+2Z)>2\fabD.—+2b<2y[ab

14.设aeR,贝U“a=1”是“直线ax+2y=0与直线x+(a+l)y+2=0平行”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

15.设｛an｝是等差数列.下列结论中正确的是

A若可+%〉0，则。2+。3〉0B.若+。3<0，则+。2<0

C,若0<%<。2，则。2〉D,若q<0,贝—4])(出一名)>0

16.在正方体48co-481G3中，点尸，。分别是线段48],4G上的点(不为端点)，给出如下两个

命题：

①对任意点P,均存在点0,使得

②存在点尸，对任意的。，均有「。，£»与，贝I]()

A.①②均正确B.①②均不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)

17.如图，在三棱锥Z—BCD中，平面4a0,平面颇,4?=Z。，。为AD的中点.

A*

/J\

...人…、....

^^******^\

C

(1)求证：AOLCD；

(2)9DLDC,BD=DC,A0=B0,求异面直线8C与2。所成的角的大小.

18.设xeA,函数/(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx.

(1)求函数E(X)=〃X>g(x)+/2(X)的最小正周期和单调递增区间；

1,2

(2)若/(x)=2g(x),求—,+sm>——的值.

cosx-sinxcosx

19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,

2

进行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

(ii)设/为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件/发生的概率.

20.设常数/>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点尸(2,0),直线/：X」,曲线「：J?=(0w%yz0),

/与x轴交于点/、与:r交于点&p、。分别是曲线r与线段上的动点.

(1)用f表示点2到点厂距离；

(2)设/=3,I尸01=2,线段。。的中点在直线FP上，求△/。户的面积；

(3)设右8,是否存在以尸尸、尸。为邻边的矩形EPE0,使得点E在T上？若存在，求点尸的坐标；若

不存在，说明理由.

21.已知函数/(x)=x-l-alnx,aeR.

(1)当。=1时，求/(x)的严格增区间；

(2)若/(x)30恒成立,求。的值;

(3)对于任意正整数〃，是否存在整数机，使得不等式(1+；)(1+城)…(1+羡)〈加成立?若存在，请

求出加的最小值；若不存在，请说明理由.

3

2024学年上海市川沙中学高三数学上学期期中考试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1,已知集合“=（一1'3），8=（1，4）,则-8=

【答案】（1,3）

【解析】

【分析】根据交集运算求解.

【详解】因为2=（—1,3）,8=（1,4）,

所以/c5=（l,3）,

故答案为：（1,3）

2.不等式|x-11<2的解集是.

【答案】（-1,3）

【解析】

【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.

【详解】•••|x-l|<2,

:.—2<x—1<2,

解得—1<x<3,

所以不等式的解集为（-1,3）.

故答案为：（-1,3）

3.已知Z=l+i,z2=2+3i（其中z・为虚数单位），则句+%=.

【答案】3-2i##-2i+3

【解析】

【分析】由共辗复数的概念及复数的加法求4+的即可.

【详解】由题设，Z[+W=l+i+2-3i=3-2i-

故答案为：3-2i

4.已知二项式（x+a）s展开式中，V项的系数为80,则。=.

【答案】2

4

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式，将f项的系数表达式求出等于80,

再求解关于。的方程即可.

【详解】(x+af的展开式的通项为(+1=仁/一%，，

令5-r=2,得r=3,

则X2项的系数=80,解得a=2；

故答案为：2.

5.已知一组数据6,7,8,9,优的平均数是8,则这组数据的方差是.

【答案】2

【解析】

【分析】由一组数据6,7,8,9,%的平均数是8,先求出％=10,由此能求出这组数据的方差.

【详解】：一组数据6,7,8,9,机的平均数是8,

—(6+7+8+9+ni)=8,解得〃?=10,

.•.这组数据的方差屋=([(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2.

故答案为：2

【点睛】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式

的合理运用.

6.若数列｛%｝为首项为3,公比为2的等比数列，则其=.

【答案】189

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列前〃项和公式计算即得.

【详解】由数列｛2｝为首项为3,公比为2的等比数列，得$6=3(1一26)=]89.

故答案为：189

7.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30。方向，与A相距6.0海里，船由A向正北方向航行8.1海

里到达C处，这时灯塔B与船相距—海里.(精确到0.1海里)

【答案】4.2

【解析】

5

【详解】由余弦定理得灯塔B与船相距J8.F+62—2x6x8.1xcos30°<4.2

8.已知函数/(x)=a/+|x+a+l|为偶函数，则不等式/(x)〉0的解集为.

【答案】(―1,O)U(O,1)

【解析】

【分析】由函数为偶函数求出。，再解不等式即可.

【详解】由函数/(工)=办2+〔》+〃+1](xG.R)为偶函数，

则f(-1)=/⑴,即a+时=a++2],

解得a=-1,

此时f(x)=-x2+|x|,

因为/(—x)=—/(x)，

所以函数/(久)是偶函数，符合题意，

由/(x)〉0即一Y+IXI〉0,即TX「+|XI〉0,

解得-1cx<1且xw0,

所以不等式的解集为(-1,O)U(O,1).

故答案为：(-1,0)U(0,1)

9.在V4BC中，三个内角A、8、。所对的边分别为a、b、c,若V48C的面积=2百，a+b=6,

tzcosS+Z)COSTIC「

---------------二2cosC,贝!jc=

【答案】2g

【解析】

zyccqZ?_i_ACCSA

【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简---------------=2cosC,由。的范围特殊

c

角的三角函数值求出C,代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形后整体代入求

出c的值.

【详角军】由"C°s5+"c°s4=2cosc可得acosB+/?cosZ=2ccosC,

c

在VABC中，由正弦定理得：sin^cosS+sinScos^=2sinCcosC

/.sinQ+5)=2sinCcosC,

6

A.B=7i—C,

sin（Z+B）=sinC=2sinCcosC,

sinCw0,.\cosC=—,

2

由0<C<〃得，c=-

3

由S=2百得!。6$也。=2A/3,

△zAlzR>C“2

得ab=8,

・「Q+b=6,

2

由余弦定理得/=/+^2_2^cosC={a+b）-lab-labcosC=36-16-8=12

解得c=2A/3，

故答案为：2c.

10.双曲线1-。=1（。〉0）〉0）的右焦点为片（2拒,0）,点八的坐标为（0,1）,点尸为双曲线左支

上的动点，且△力?片周长的最小值为8,则双曲线的离心率为.

【答案】2亚

【解析】

【分析】根据片的周长为/=]/△|+1期|+|/尸|,结合双曲线的定义，转化为/=3+2“+1尸工|+|/司，

当4P,与三点共线时，周长/取得最小值求解.

【详解】设双曲线的左焦点为£卜2拒,0）,又以片|=3,

所以A/尸有的周长为/=|“周+|附|+卜尸|=3+附|+旧尸|,

由双曲线的定义得|「耳卜|尸周=2%即忸周=归闾+2。,即/=3+2a+|产用+|仍，

当4P,与三点共线时，周长/取得最小值，此时|尸剧+|/尸同4玛|=3,

所以3+24+3=8,解得a=l,所以e=£=20.

a

故答案为：2后

【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，理解三点共线时两线段距离和取得最

7

小值是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

I'I'

11.已知。区c是平面向量，。与己是单位向量，且卜,c)=5，若片_8沆"+15=0，则。一6的最小

值为.

【答案】V17-1

【解析】

I'r

【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定a-6的最

小值.

【详解】如下图所示，设厉=2砺=3,*历=花次=G

1/S2-8S-C+15=0且,|=1|=1

/.b-86-c+15c=0

/.e-30).(B-5C)=0

.•.(S-35)±(S-5C)

/.DB=b-3c,EB=b-5c

・・・点5在以方为圆心，DE为直径的圆上

又BA=Q-B

当点2为圆厂和线段E4的交点的时候，|互最短

.-.|a-6|=V42+l2-1=V17-1

故答案为：V17-1

12.已知定义在R上的函数/(x)存在导数，对任意的实数x,都有/(x)-/(-x)=2x,且当xe(0,+8)

8

时，/'(x)>l恒成立，若不等式/(a)-/(l-a)22a-1恒成立，则实数。的取值范围是.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，构造函数g(x)=〃x)-x,利用导数及函数的奇偶性求解不等式即可得答案.

【详解】由/(x)—/(—x)=2x,得/(x)—x=/(—x)—(—x),

记g(x)=/(x)-x,则有g(x)=g(—x),即g(x)为偶函数，

又当xe(0,+oo)时，g'(x)=/'(x)-1〉0恒成立，即g(x)在(0,+8)上单调递增，

由/(a)-/(I一a)22a-1,得f{a}-a>/(l-a)-(l-a),

于是g(a)2g(l-a),gpg(|a|)>g(|l-a|),

因此I。以1一a|,即/Ni+I—Za，解得

2

所以实数。的取值范围是

故答案为：]件001

【点睛】关键点点睛：变形给定等式，构造函数并探讨函数性质是求解不等式的关键.

二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分)

13.若实数。、6满足a〉b〉O,下列不等式中恒成立的是()

A.a+b>2y[abB.a+b<2y[abC.—+2b>2s[abD.—+2b<2y[ab

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】因为a〉b〉O,则a+b—2碗=(后—花丁〉0,故a+Z?〉24K，A对B错；

>26—2荷—jg—6j>0,即尹2/^而，

a

当且仅当一二26时，即当。=4b时，等号成立，CD都错.

2

9

故选：A.

14.设aeR,则“a=1”是“直线"+2y=0与直线x+(a+l)y+2=0平行”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条

件

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行列出方程，求出：a=-2或1,验证后均符合要求，从而得到“a=1”是“直

线ax+2y=0与直线x+(a+1)>+2=0平行”的充分不必要条件.

【详解】当a=l时，x+2y=0与x+2y+2=0的斜率相等，故平行，充分性成立，

若“直线ax+2y=0与直线x+(a+l)y+2=0平行”，则满足a(a+l)—2=0,

解得：a=-2或1,经验证，：a=-2或1时，两直线不重合，故：a=-2或1,两直线平行，故必要

性不成立.

故选：A

15.设｛an｝是等差数列,下列结论中正确的是

A,若为+。2〉0，则+。3〉0B,若％+生<0，则％+<0

C.若0</<。2，则〉J%%D.若％<0,贝!](%一一%)>0

【答案】C

【解析】

【详解】先分析四个答案，A举一反例q=2,电=一1,。3=-4，/+。2〉0而。2+。3<0，A错误，B

举同样反例%=2,电=一1,%=-4,%+。3<°，而％+出〉0，B错误，

D选项，—q=—%)(%—%)=~d~V0,故D错，

下面针对C进行研究，｛%｝是等差数列，若0<%<的，则%>o,设公差为d,则d〉0,数列各项均

为正，由于出？一%%=(%+d)2一%(%+2d)=a：+2%d+1?-a；-2a/=fiP>0,贝！]

a；>%%=>/>J%%,

故选C.

考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质

10

的考查.

16.在正方体48co-4名。。1中，点尸，。分别是线段/用,4G上的点（不为端点），给出如下两个

命题：

①对任意点尸，均存在点0,使得尸。

②存在点尸，对任意的。，均有尸。，£（四，则（）

A.①②均正确B.①②均不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

【答案】D

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来确定正确答案.

【详解】设正方体的边长为1,以。为原点建立如图所示空间直角坐标系,

C（0,1,0）,^（0,0,1）,CD；=（0,-1,1）,吕（W）,西

设尸（1户,力,。（丁,1一%1）,0<x<l,0<J<1,Pg=（j-l,l-x-v,l-x）,

①西质=（0,_1,1）.3_1,1—/一）

=x+y-l+l-x=ye（O,l）,所以尸。与不垂直，①错误

②函屈=（1,1,1）.（11-八—）

=y-l+l-x-v+l-x=-2x+l,令-2x+l=0,解得x=L

'2

所以对任意的0,存在尸，使得尸。，。吕，此时尸是2片的中点，②正确.

故选：D

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）

17.如图，在三棱锥/—BCD中，平面4a0,平面8切,4?=4。，。为AD的中点.

11

(1)求证：AOLCD,

(2)若AD，DC,8D=DC,Z0=8。，求异面直线BC与所成的角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

⑵

3

【解析】

【分析】(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.

(2)分别取4B,ZC的中点M,N,利用几何法求出异面直线3C与所成的角.

【小问1详解】

在三棱锥Z—BCD中，由28=2。,。为8。的中点，得49J_5£),

而平面4a0,平面BC。，平面4aoe平面BCZ)=5。，NOu平面48。，

因此平面8cD,又CDu平面BCD,

所以49J_CD.

【小问2详解】

分别取48,ZC的中点M,N,连接0M,0N,MN,子是MN/1BC,0MI/AD,

则N0MN是异面直线BC与AD所成的角或其补角，

由（1）知，AOLBD,又AO=BO,AB=AD,

TVTT

则NADB=ZABD=-,于是ABAD=—,

42

令AB=AD=2,则DC=5。=2后，又BDLDC,

12

则有BC=^BD2+DC2=4，

OC=YJDC2+0D2=Vio>又/OJ■平面8C。，OCu平面BCD，

则/O_LOC，49=0，AC=slAO2+OC2=2>/3»

由M,N分别为48,ZC的中点，^MN=-BC=2,OM=-AD=\,ON=-AC=43,

222

7TOM171

显然；W?=4=。河2+狈2,即有NMON=—,cosZOMN=----=-,则N07W=-,

2MN23

jr

所以异面直线BC与AD所成的角的大小一.

3

18.设xeR,函数/(x)=cosx+sinx,g(x)=cosx-sinx.

(1)求函数/(%)=/卜)名卜)+/2(》)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若/(x)=2g(x),求—J+sin-x——的值.

cosx-sinxcosx

3TZ"7T

【答案】(1)最小正周期为"，单调递增区间是k7T--,k7r+-(左eZ)；

_ooJ

⑵U

6

【解析】

【分析】(1)根据题意利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式，化简得尸(x)=Csin[2x+?1+l.再

由三角函数的周期公式与正弦函数的单调区间公式加以计算，可得函数E(x)的最小正周期和单调递增区

间；

(2)根据/(x)=2g(x)算出3sinx=cosx,从而得出tanx=；.再利用同角三角函数的基本关系进

行“弦化切”，可得所求分式的值.

【详解】(1)F(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)+(cosx+sinx)

=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=后sin[2x++1,

所以，函数歹(x)的最小正周期为九.

13

._,TC_TCJr

由2k兀----<2x-\——<2左乃+5■（左wZ）,得左不一—<x<k7i+—(kEZ),

2488v7

所以函数/（x）的单调递增区间是kji-,k7i+—(keZ].

88v7

(2)由题意，cosx+sinx二2(cosx-sinx),3sinx=cosx,

所以，tanx=』.

3

所以，J+sNx―cos2x+2sin2xl+2tan2x11

cosx-sinxcosxcos2x-sinxcosx1-tanx6

【点睛】本题考查sinx型函数最小正周期和单调递增区间，以及同角三角函数的基本关系，属于中档题.

19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,

进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

⑴用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设/为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件/发生的概率.

【答案】（I）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.（ID&）答案见解析；（ii）

6

7-

【解析】

【详解】分析：（I）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2

人.

（II）（z）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.且分布列为超几何分布，即尸（心无）=

12

（仁0,1,2,3）.据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为£（万）=亍.

（拓）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件/发生的概率为.

7

详解：（I）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

（II）（力随机变量X的所有可能取值为0,1，2,3.

14

C”

P(X=k)=go,1,2,3).

1

所以，随机变量x的分布列为

X0123

112184

P

35353535

12

随机变量X的数学期望£(x)=oxLJ+2x竺+3」=

353535357

(万)设事件3为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”;

事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”,

则/=3UC,且2与C互斥，

由(z)知，P(B尸P(X=2),P(C)=P(X=l),

6

故P(A)=P(BUQ=P(X=2)+P(X=1)=-.

所以，事件/发生的概率为9.

7

点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的

某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干

个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模

型，其实质是古典概型.进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)

样本容勤该层抽取的个体数

;(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数

总体的个数乂该层的个体数

之比.

20.设常数/>2.在平面直角坐标系xQy中，已知点打2,0),直线hx=t,曲线F：/=8x(0WxV20),

/与x轴交于点/、与r交于点反p、。分别是曲线r与线段上的动点.

(1)用f表示点2到点厂距离；

(2)设/=3,I尸01=2,线段O。的中点在直线FP上，求尸的面积；

(3)设尸8,是否存在以尸尸、尸。为邻边的矩形尸尸£。，使得点E在:T上？若存在，求点尸的坐标；若

不存在，说明理由.

【答案】⑴\BF\=t+2.(2)述;

(3)存在,

6

15

【解析】

【分析】(1)方法一：设出台点坐标，根据两点间距离公式求解出忸目的值,

方法二：根据抛物线的定义，即可求得忸目的值；

(2)根据抛物线的性质，求得。点坐标，即可求得。。的中点坐标，即可求得直线PR的方程，代入抛

物线方程，即可求得P点坐标，则△ZQP的面积可求;

(3)设P,E坐标，根据kpF-kFQ=-l求得直线QF的方程和。点坐标，再根据丽+画=而求得E

点坐标，贝ij根据(48+为了=8(誓+6)可求得尸点坐标.

仅8

【详解】解：(1)方法一：由题意可知：设B(t,2⑤)，贝iJ|RF|=J«-2)2+8l=4+2，.,.\BF\=t+2；

法二：由题意设万)，由抛物线的性质可知：［8尸|=/+曰=/+2,.•.|AF|=7+2；

(2)VF(2,0),|尸。|=2,t=3,2(3,0),则

；•|=加0『歼=拒,二。(3,6)，设。。的中点。，

V30

a同o

D(-,—).kpF=$——=一百，则直线尸尸方程：j=-V3(x-2),

229一2

2

联立＜—步"一"，整理得：3x2-20x+12=0)解得：x=~,x=6(舍去)，

/=8x3

•••△NQP的面积S=g・|/0Hx/_x/=gxGxg=y；

22k=%=8%］6_V2

(3)存在，设尸(-^-，为)，,则"才方一］6且尸尸"L・,•左尸。=—-一~，

88，O一2双

直线好方程为发守"-2),.j=4(8—2)=七，。⑶竺”),

又因为四边形EPE0为矩形，所以而+匝=而，则E(?+6,48+4

84yo

16

+6),解得：％即尸

7

存在以郎、尸。为邻边的矩形EPE。，使得点E在「上，且P《,

【点睛】关键点点睛:解答本题第三问的关键在于利用矩形EPE0的两个特点去分析问