2025初中数学专项复习突破：函数中的新定义问题（含答案及解析）

专题函数中的新定义问题

0®例题精讲

考点1一次函数新定义问题

【例1].定义：我们把一次函数丁=丘+。（左#0）与正比例函数y=x的交点称为一次函数y

v=2x-1

=kx+b（攵W0）的“不动点”.例如求y=2x-1的“不动点”：联立方程4y,解得

y=x

{x：；,则y=2x-1的“不动点”为（1,1）.

（1）由定义可知，一次函数y=3x+2的“不动点”为；

⑵若一次函数,=如+"的"不动点"为（2,"-1）,求s、〃的值；

（3）若直线y=fct-3（ZWO）与x轴交于点A,与y轴交于点8,且直线y=fcr-3上没

有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得SSBP=3SAABO,求满足条件的P点坐标.

A变式训练

【变1T1在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象

研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平

移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义|a|=（a（；）2）

[-a（a<0）

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数y=|Ax-3|+b中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-l.

(1)求这个函数的表达式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个

函数的一条性质；

(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式

|kx-3|+b4]x-3的解集•

考点2反比例函数新定义问题

【例2】.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，

概括函数性质的过程，以下是我们研究函数>=尤+|-2x+6\+m性质及其应用的部分过程,

请按要求完成下列各小题.

X…-2-1012345…

y・・・654a21b7…

(1)写出函数关系式中相及表格中a,6的值；；〃=,a=,b=；

(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)已知函数y=-(尤-2)2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|

A变式训练

【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值,

称为这两个图形之间的距离，即A,8分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小

时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图1,ABX/i,线段48的长度称为点A与直线之间的距离，当/2〃/1时，线段

AB的长度也是Z1与/2之间的距离.

【应用】

(1)如图2,在等腰Rt^BAC中，NA=90°,AB^AC,点。为AB边上一点，过点。作

DE〃BC交AC于点、E.若48=6,AD=4,则。E与BC之间的距离是；

(2)如图3,已知直线/3：y=-x+4与双曲线Ci：y=N(x>0)交于A(1,相)与B两

x

点，点A与点B之间的距离是，点。与双曲线。之间的距离是;

【拓展】

(3)按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80根时，需要在高速路旁修建与高速

路相同走向的隔音屏障(如图4).有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅

小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80帆.现以高速路上某一合适位置为坐

标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线Z4的函数表达式为y=-x,

小区外延所在双曲线C2的函数表达式为丫=区也(X>0),那么需要在高速路旁修建隔音

x

屏障的长度是多少？

考点3二次函数新定义问题

【例3】.小爱同学学习二次函数后，对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表、描

点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

(1)观察探究：

①写出该函数的一条性质：;

②方程-(仅|-1)2=-1的解为：；

③若方程-(|x|-1)2=冽有四个实数根，则制的取值范围是.

(2)延伸思考：

将函数y=-(|尤I-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数”=-(|x-1|-1)2+2的图

象？写出平移过程，并直接写出当l<yiW2时，自变量x的取值范围.

y八

■6--

L

4A

J

c

L,

1

2/

)-j-年>,J，II；6

n\

//J\

J\

1

r-

U

-6-

A变式训练

【变3-1].我们定义一种新函数：^$0y=\ax1+bx+c\（〃W0,b2-4tzc>0）的函数叫做“鹊

桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数>=|苏+云+°|的图象（如图所示），下列结论正

确的是（）

A.图象具有对称性，对称轴是直线x=1.5

B.有且只有-IWXWI时，函数值y随x值的增大而增大

C.若〃<0,则8〃+c>0

D.若〃<0,贝!J加（am+b）（m为任意实数）

【变3-2].已知抛物线>=G2+。过点&(-2,0)和。(-1,3)两点，交x轴于另一点

B.

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1,点尸是80上方抛物线上一点，连接AD,BD,PD,当BD平分NADP时，

求尸点坐标；

(3)将抛物线图象绕原点。顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M,N

分别是旋转前后抛物线的顶点，点£、F是旋转前后抛物线的交点.

①直线EF的解析式是；

②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段G”的最大值是.

1.对于实数a,b,定义符号b\,其意义为：当时，“x|a,b\—a,当时,

max\a,b|=b.例如相or|2,-1|=2,若关于无的函数尤|2尤-1,-x+5|,则该函数

的最小值为()

A.2B.1C.立D.3

33

2.在平面直角坐标系尤Oy中，对于点尸(a,b),若点P的坐标为(ka+b,a+A)(其中

左为常数且左WO),则称点P为点尸的关联点已知点A在反比例函数y=返的

X

图象上运动，且点A是点8的关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标

为.

3.定义：由a,6构造的二次函数y=a/+(a+6)尤+6叫做一次函数产办+6的“滋生函数"，

一次函数〉=以+6叫做二次函数(a+b)龙+b的"本源函数”(a,b为常数，且a

W0).若一次函数>=依+6的"滋生函数"是>=办2-3x+a+l,那么二次函数y=ax2-

3x+a+l的“本源函数”是y=-2x-l.

4.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”.例如

(-3,-3)、(1,1)、(2023,2023)都是“不动点”.已知双曲线y..

(1)下列说法不正确的是.

A.直线y=x的图象上有无数个“不动点”

B.函数y=l的图象上没有“不动点”

C.直线>=尤+1的图象上有无数个“不动点”

D.函数y=/的图象上有两个“不动点”

(2)求双曲线yd■上的“不动点”；

(3)若抛物线y=ax2-3x+c(a、c为常数)上有且只有一个“不动点”，

①当〃>1时，求C的取值范围.

②如果a=l,过双曲线y』•图象上第一象限的“不动点”做平行于X轴的直线/,若抛

物线上有四个点到/的距离为m,直接写出m的取值范围.

5.在并联电路中，电源电压为U总=6匕小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：/

总=/1+/2（/1=且，/2=旦），己知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流/总也会发生

R1R

变化，且干路电流/总与R之间满足如下关系：/总=1+旦.

R

（1）定值电阻R1的阻值为C；

（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数/2=旦来

R

探究函数/总=1+旦的图象与性质.

R

①列表：如表列出/总与R的几组对应值，请写出m,n的值：m=，n=；

R•••3456•••

…21.51.21•••

R

/总=1+2…3m2.2n•••

R

②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以/总相对应的值

为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题:

①/总随R的增大而；(填“增大”或“减小”)

②函数/总=1+g的图象是由/2=旦的图象向平移个单位而得到.

RR一

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整.

(2)探究函数性质：下列说法不正确的是

A.函数值y随尤的增大而减小

B.函数图象不经过第四象限

C.函数图象与直线x=-1没有交点

D.函数图象对称中心(-1,0)

(3)如果点A(xi,yi)、B(X2,>2)在函数图象上，如果xi+x2=-2,则y\+y2=

7.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y。下

的图象与性质，其探究过程如下：

（1）绘制函数图象，

列表：下表是尤与y的几组对应值，其中机=.

x-3-2-111123…

»2

y2124421m•••

S-

描点：根据表中各组对应值（尤，y）,在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；

（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：；（填写代号）

①函数值y随x的增大而增大；②y）冬关于y轴对称；③y〜当关于原点对称；

（3）在上图中，若直线y=2交函数y旱下的图象于A,B两点（A在8左边），连接

IxI

OA.过点8作8C〃OA交x轴于C.贝US四边形0ABe=.

8.【定义】

从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的

最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，NAP2是点P对线段的视角.

①②③

④⑤

【应用】

(1)如图②，在直角坐标系中，已知点A(2,我)，B(2,2、/目)，C(3,弧),则

原点。对三角形ABC的视角为；

(2)如图③，在直角坐标系中，以原点0,半径为2画圆以原点。，半径为4画

圆。2,证明：圆02上任意一点尸对圆。1的视角是定值；

【拓展应用】

(3)很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④.现在有一条笔直

的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍

摄.现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x=-

5,正方形建筑的边长为4,请直接写出直线上满足条件的位置坐标.

9.小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y=[x],若x20时，国=x2-1；若x<0

时，印=-x-l.小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究.

(1)①列表:下表列出y与x的几组对应值，请写出机,”的值；n—；

x•••-2-1012…

y…1m00n…

②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量X的取值为横坐标，以相应的函数值

为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；

（2）下列关于该函数图象的性质正确的是；（填序号）

①y随x的增大而增大；

②该函数图象关于y轴对称；

③当x=0时，函数有最小值为-1；

④该函数图象不经过第三象限.

（3）若函数值y=8,则》=；

（4）若关于x的方程2x+c=国有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c

的取值范围是.

10.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米.在距点A水平距

离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为米.小红根据学习函数的经验，对d和/I之

间的关系进行了探究.

下面是小红的探究过程，请补充完整:

(1)经过测量，得出了1和/I的几组对应值，如表.

d/米00.611.82.433.64

划米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和〃这两个变量中，d是自变量,〃是这个变量的函数;

(2)在下面的平面直角坐标系尤Oy中，画出(1)中所确定的函数的图象；

(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度AE为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为

安全起见，公园要在水面上的C,。两处设置警戒线，并且CE=£>E,要求游船能从C,

。两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米.(精确到0.1米)

11.小明为了探究函数y=-S+4R-3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归

纳得到，并运用性质解决问题.

(1)完成函数图象的作图，并完成填空.

①列出y与尤的几组对应值如表：

x1I-5_I_4I-3_I-2I~I01234-5I~

y-8-3010-3010a-8

表格中，a=

②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞。时函数M的图象;

③观察图象，当彳=时，y有最大值为;

（2）求函数Af：y=-/+4|x|-3与直线/：y=2x-3的交点坐标；

（3）已知P（加，yi）,Q（加+1,”）两点在函数M的图象上，当时，请直接写

出机的取值范围.

-

-丁

-十

-

」

：

-

r丁

-

y」

-

：

-^-丁

-u,--L

)

12.定义:平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°,恰好落在函数图象W

上，则称点M为函数图象W的“直旋点”.例如，点（」，上）是函数y=x图象的“直

33

旋点”.

（1）在①（3,0）,②（-1,0）,③（0,3）三点中，是一次函数y=」x+l图象的“直

3

旋点”的有（填序号）；

（2）若点N（3,1）为反比例函数y上图象的“直旋点”，求左的值；

（3）二次函数y=-x?+2x+3与x轴交于A,8两点（A在8的左侧），与y轴交于点C,

点。是二次函数y=-/+2尤+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求。点坐标.

13.对某一个函数给出如下定义：若存在实数对于任意的函数值》都满足-MWy

WM,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边

界值.例如，图中的函数是有界函数，其边界是1.

（1）直接判断函数>==（尤>0）和>=-2x+l（-4<xW2）是不是有界函数？若是有

x

界函数，直接写出其边界值；

（2）若一次函数>=丘+6（-2WxWl）的边界值是3,且这个函数的最大值是2,求这

个一次函数的解析式；

（3）将二次函数y=-%2（-IWXW机，机20）的图象向上平移机个单位，得到的函数

的边界值是“，当根在什么范围时，满足旦W"W1.

4

14.在平面直角坐标系中，由两条与无轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围

成的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y=fwr+4mx-Um（.m

>0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M,N（点M在点N的左侧），

与y轴的交点分别为A,B,且点A的坐标为（0,-1）.

（1）求M,N两点的坐标及抛物线C1的解析式；

（2）若抛物线C2的顶点为。，当机=反时，试判断三角形MNZ）的形状，并说明理由；

4

（3）在（2）的条件下，点尸（3-巨）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是

4

否存在一点Q,使得S»PM=±S&ONQ,若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，

一2

说明理由.

M

Ci

15.阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量尤在取值范围内任取尤=。与》=时，

函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如：>=/,在实数范围内任取尤=。时，y

—a2；当x=-a时，y—(-a)2—a2,所以y=/是“对称函数

(1)函数y=2\x\+l对称函数(填“是”或“不是”).当龙20时，y=2\x\+\

的图象如图1所示，请在图1中画出x<0时，y=2|x|+l的图象.

(2)函数y=7-2|x|+l的图象如图2所示，当它与直线y=-尤+”恰有3个交点时，求

”的值.

(3)如图3,在平面直角坐标系中，矩形A8C£>的顶点坐标分别是A(-3,0),B(2,

0),C(2,-3),£)(-3,-3),当二次函数y=/-冰|+1(6>0)的图象与矩形的边

恰有4个交点时，求b的取值范围.

yf

D

图3

16.定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”.如

果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，A,B,

C,。分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点。的坐标为（0,8）,A3为半圆的直径，

半圆的圆心M的坐标为（1,0）,半圆半径为3.

（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y,自变量的取值范围

是；

（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与％轴的交点坐标;

（3）求经过点。的“蛋圆”切线的解析式.

17.规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互

为“。一函数”.这组点称为“XC点''.例如：点P(1,1)在函数y=/上，点Q(-1,

-1)在函数y=-x-2上，点尸与点0关于原点对称，此时函数y=/和y=-x-2互

为“。一函数”，点P与点。则为一组“XC点”.

(1)已知函数>=-2x-1和y=-旦互为“。一函数”，请求出它们的“XC点”；

X

(2)已知函数尸一+2什4和y=4x+〃-2022互为“。一函数”，求〃的最大值并写出“XC

点”；

(3)已知二次函数丁=〃/+法+。(〃>0)与y=2fcv+l互为aO一函数”有且仅存在一组

“XC点”，如图，若二次函数的顶点为与x轴交于A(xi,0),B(X2,0)其中0V

|C22C+3

X\<XI,AB，过顶点M作l轴的平行线/,点尸在直线/上，记尸的横坐

c

标为连接。P,AP,BP.若/O»L=NOBP,求f的最小值.

18.如果三角形的两个内角a与0满足2a邛=90°,那么我们称这样的三角形为“CJ三角

形”.

(1)判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“J”，如果不

是，请在对应横线上画“X”；

①其中有两内角分别为30°,60°的三角形；

②其中有两内角分别为50°,60。的三角形；

③其中有两内角分别为70°,100°的三角形；

(2)如图1,点A在双曲线y=K*>0)上且横坐标为1,点8(4,0),C为08中

x

点，。为y轴负半轴上一点，若/。42=90°.

①求上的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；

②若△0A3与△02D相似，直接写出。的坐标；

(3)如图2,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,E为BC边上一点,BE

>CE且是“CJ三角形"，已知A(-6,0),记过作抛物线yn/+bx+c

(a>0),8在A右侧，且在无轴上，点。在抛物线上，使得tan/A8Q=」^,若符合

t-3

条件的。点个数为3个，求抛物线y^ajr+bx+c的解析式.

专题函数中的新定义问题

照例题精讲

考点1一次函数新定义问题

【例1］定义：我们把一次函数y=丘+6（人/0）与正比例函数y=x的交点称为一次函数y

=kx+bgo）的“不动点”.例如求y=2x-1的“不动点”：联立方程，,，解得

则y=2x-1的“不动点”为（1,1）.

（1）由定义可知，一次函数y=3x+2的“不动点”为（-1,-1）；

（2）若一次函数的“不动点”为（2,几-1）,求加、n的值；

（3）若直线丁=丘-3（左W0）与x轴交于点A,与y轴交于点3,且直线丁=丘-3上没

有“不动点”，若尸点为x轴上一个动点，使得SMBP=3S^ABO,求满足条件的尸点坐标.

y=3x+2

解：（1）联立，

解得4，

ly=-l

・•・一次函数尸3x+2的“不动点”为（-1,-1）,

故答案为：（-1,-1）；

（2）•.,一次函数几的“不动点”为（2,H-1）,

：.n-1=2,

・••几=3,

・,・“不动点”为（2,2）,

.'.2=2m+3,

解得m=--；

（3）,・,直线y=辰-3上没有“不动点”,

，直线y=丘-3与直线y=x平行,

:.k=1,

(3,0),B(0,-3),

设尸(t,0),

：.AP=\3-t\,

SAABP=』x3|X3,

2

$△480=1X3X3,

2

S/^ABP=3S/\ABO>

：.\t-3\=9,

t=12或f=-6,

：.P(-6,0)或尸(12,0).

A变式训练

【变17]在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象

研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平

移的方法画出了所学的函数图象.同时，我们也学习了绝对值的意义

11l-a(a<0)

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数y=|Ax-3|+6中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-l.

(1)求这个函数的表达式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个

函数的一条性质；

(3)已知函数y得x-3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式

|kx-3|+b4]x-3的解集•

(4)若方程|7-6x|-。=0有四个不相等的实数根，则实数。的取值范围是0<。<9.

解：（1）・.•在函数y=|米-3|+b中，当冗=2时，y=-4；当x=0时，y=-1,

.（12k_3|+b=-4

"I.1-3l+b=-l'

2

解得<2,

b=-4

，这个函数的表达式是y=k1x-31-4；

（2）,•>=|-1x-3|-4,

y=yx-7（x>2）

•<

,,o，

y=—^x-l（x^2）

...函数>="1.”7过点（2,-4）和点（4,-1）；

函数y=--.v-1过点（0,-1）和点（-2,2）,

2

该函数的图象如图所示，性质：当x>2时，y的值随x的增大而增大；

(3)由函数的图象可得，不等式|kx-3|+b<]x-3的解集是：1W尤W4；

(4)由-6x|-°=0得a=|7-6x|,作出y=|7-6x|的图象，

由图象可知，要使方程|f-6x|-a=0有四个不相等实数根，则0<a<9,

故答案为：0<a<9.

考点2反比例函数新定义问题

【例2】.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，

概括函数性质的过程，以下是我们研究函数>=尤+|-2x+6\+m性质及其应用的部分过程,

(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)已知函数y=-(x-2)2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|

-2x+6\+m>-(x-2)2+8的解集为x<0或x>4..

yJk

解：(i)由表格可知，点(3,1)在该函数图象上，

「・将点(3,1)代入函数解析式可得：1=3+|-2X3+6|+m,

解得：m=-2,

二.原函数的解析式为：y=x+\-2x+6|-2；

当龙=1时，y=3；

当x=4时，y=4；

••-2,〃=3,

故答案为：-2,3,4；

(2)通过列表一描点一连线的方法作图，如图所示；

(3)要求不等式x+|-2x+6|+%>-(%-2)2+8的解集，

实际上求出函数y=x+\-2x+6\+m的图象位于函数尸-(x-2)2+8图象上方的自变量

的范围，

，由图象可知，当x<0或x>4时，满足条件，

故答案为：x<0或x>4.

A变式训练

【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值,

称为这两个图形之间的距离，即A,B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小

时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离.

例如，如图1,AB±h,线段AB的长度称为点A与直线/i之间的距离，当/2〃/1时，线段

AB的长度也是h与12之间的距离.

【应用】

（1）如图2,在等腰Rt^BAC中，NA=90°,AB^AC,点。为AB边上一点，过点。作

DE〃BC交AC于点、E.若AB=6,AD=4,则。E与之间的距离是_、&_；

（2）如图3,已知直线/3：y=-x+4与双曲线Ci：y=K（x>0）交于A（1,m）与B两

X

点，点A与点2之间的距离是」点_,点。与双曲线。之间的距离是_、任_；

【拓展】

（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80机时，需要在高速路旁修建与高速

路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅

小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80也现以高速路上某一合适位置为坐

标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线/4的函数表达式为>=-x,

小区外延所在双曲线C2的函数表达式为>=区叫（尤>0）,那么需要在高速路旁修建隔音

屏障的长度是多少？

BI2

图1

图4图5

解：（1）如图，过点。作。于点H,

VZA=90°,AB=AC,

・・.N3=45°，

・•・ABDH是等腰直角三角形,

:.DHWD,

2

9：AB=6,AZ)=4,

：.BD=AB-AO=6-4=2,

.•.。//=返义2=&；

2

故答案为：J5；

(2)把A(1,m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3,

AA(1,3),

把A(1,3)代入y=K,得：3=区,

x1

:・k=3,

双曲线Cl的解析式为y=3,

X

联立，得：7+4=3,

X

即x2-4x+3=0,

解得：Xl=l,X2=3,

：.B(3,1),

AB=7(l-3)2+(3-l)2=；

如图，作尸G〃AB,且尸G与双曲线y=l■只有一个交点，设直线尸G的解析式为y=-

X

则-x+b=—,

X

整理得：/-fer+3=0,

・•・△=(-。)2-4XlX3=Z?2-12=0,

：.b=243^b=-2A/3(不符合题意，舍去)，

二直线FG的解析式为y=-x+2^/3,

由-x+2«=旦，

X

解得：X1=X2=J§,

:.K电,痘),

°K=yj(^3)2+(V3)2二%；

故答案为：V6：

(3)如图，设点S(a,b)是双曲线y=240^(%>0)上任意一点，且a<b,以点5

x

为圆心，80为半径作0s交人于E,过点S作SRL直线及于尸，交y轴于W,轴

于H,SG_Ly轴于G,

则SG=a,SH=b,。6=2400,

•.•直线y=-x平分第二、四象限角，

：.ZFOW=45°,

\"ZOFW=ZSGW=90°,

：.ZOWF=90°-45°=45°,

：.ZSWG^ZOWF^45°,

AWF和是等腰直角三角形，

：.SW=y/2SG,WF=J^-OW,

：.SF^SW+WF^^2SG+^-0W^^2a+—(b-a)=亚(a+6),

222

'­,EF=7802-SF2=^6400-y(a+b)2=^6400-2ab-y(b-a)2

J1600―^(b-a)2,

•.•。/=返。卬=亚(b-a),

22

0E=(b-a)+J1600-,(b-a)2>

设。-〃=根(m>0),

则。”等川侬缄犷^^2(ym2+1600-jm2)=4072，

，需要在高速路旁修建隔音屏障的长度=20E=2X40J5=80&,

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80近米.

考点3二次函数新定义问题

【例3】.小爱同学学习二次函数后，对函数y=-(|X|-1)2进行了探究.在经历列表、描

点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题:

(1)观察探究：

①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；

②方程-(|x|-1)2=-1的解为：x=-2或x=0或x=2；

③若方程-(|尤|-1)2=相有四个实数根，则m的取值范围是-1<m<0.

(2)延伸思考：

将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数yi=-(仅-11-1)2+2的图

象？写出平移过程，并直接写出当l<yiW2时，自变量X的取值范围.

①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；

②方程-(|x|-1)2=-1的解为：X=-2或x=0或x=2；

③若方程-(仇|-1)2=加有四个实数根，则a的取值范围是-1<根<0.

故答案为：函数图象关于y轴对称；x=-2或x=0或x=2；-l<m<0.

(2)将函数y=-(仅卜1)2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数

y\=-(|x-1|-1)2+2的图象，

当l<yiW2时，自变量尤的取值范围是-1<彳<3且

A变式训练

【变3-1].我们定义一种新函数：形如y=|a/+bx+c|（aWO,b1-4oc>0）的函数叫做‘'鹊

桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|"2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正

确的是（）

A.图象具有对称性，对称轴是直线x=1.5

B.有且只有-1W尤W1时，函数值y随彳值的增大而增大

C.若〃<0,则8〃+c>0

D.若〃<0,贝IJa+/?》加（am+b）（m为任意实数）

解：由图象可得，

图象具有对称性，对称轴是直线x=±S=l,故选项A错误，不符合题意；

2

当-IWxWl或x>3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项2错误，不符合题意;

：一旦=1,

2a

:・b=-2〃，

当x=-2时，y=4a-2Z?+c<0,

.".4a-2b+c=4a-2X(-2a)+c=4a+4a+c=8a+c<0,故选项C错误，不符合题意;

,.,y=ox2+bx+c开口向下，对称轴为直线x=l,

'.a+b+c^arrr+bm+c为任意实数)，

.,.a+b^m(am+b)+c,故选项£)正确，符合题意；

故选：D.

【变3-2].已知抛物线y=<?x2+c过点A(-2,0)和。(-1,3)两点，交x轴于另一点

B.

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1,点尸是8。上方抛物线上一点，连接A。，BD,PD,当8。平分乙4。尸时,

求尸点坐标；

(3)将抛物线图象绕原点。顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M,N

分别是旋转前后抛物线的顶点，点£、/是旋转前后抛物线的交点.

①直线EF的解析式是y=x；

②点G、〃是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是—工返

解：(1)\•抛物线>="2+。过点A(-2,0)和£)(-1,3)两点，

.(4a+c=0

Ia+c=3

解得卜二T,

Ic=4

.♦.抛物线解析式为y=-/+4；

(2)过点B作BELx轴交DP延长线于点E,过。作DFLx于点F,

由y=-X2+4,令y=0,贝!J-/+4=0,

解得：xi=-2,%2=2,

贝！JB(2,0),

VDF=3,BF=2-(-1)=3,

：.DF=BF,

・・・NDBF=45°,

；・NDBE=45°,

又・：DB=DB,平分NADP,

：・ADABmADEB(ASA),

：.BA=BEf

'：B(2,0),

：.E(2,4),

设直线DE的解析式为y=kx^b,

则jk+b=3,

12k+b=4

/.直线DE的解析式为y=,

33

y=-x2+4

联立110'

ly"3x+r

解得（x=-i或，

y=3

则p（2,丝）;

39

(3)①...抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，

，对于抛物线上任意一点尸(a,6)关于原点旋转90°后对应点为尸1(b,-a)在旋

转后图形上，

P1(6,-a)关于无轴对称的点尸2(6,a)在旋转后图形上，

P(a,b)与尸2Cb,a)关于y=x对称，

...图形2关于y=x对称，

...直线跖的解析式为〉=方

故答案为：y=x；

②如图，连接GH,交EF与点K,贝|GH=2GK,

过点G作x轴的垂线，交£尸于点/,

设GCm,-m2+4),则/(m,m),

GI=yG-yi=-7n2+4-m=-(m+—)

•'24

/.当m=-』时，丛GFE面积最大，

2

由①可知G(-工，生)关于y=x的对称点”(至，-1),

2442

：.K(星，乌，

88

囚=碍干?事¥

:.GH=2GK=17&,

4

；.G8的最大值为-17%,