2025初中数学专项复习：圆的重难点题型汇编（十三大题型）含答案

2025初中数学专项复习圆的重难点题

型汇编（一）（十三大题型）含答案

圆的望奉支殿型汇编

（考点归纳）

【题型01：垂径定理及应用】

【题型02:点与圆的位置关系的判定】

【题型03:直线与圆的位置关系的判定】

【题型04：切线判定与性质综合】

【题型05:圆周角定理】

【题型06：圆内接四边形】

【题型07：三角形的内切圆及切线长】

【题型08：三角形的外接圆】

【题型09:正多边形与圆的综合】

【题型10:弧长和扇形的面积】

【题型11：圆锥的侧面积】

【题型12:圆锥的侧面最短路径问题】

【题型13:不规则图形的阴影面积】

【题型01：垂径定理及应用】

（考点精讲）

【题型01:垂径定理及应用】

1.如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图.点P是拱桥余的中点，桥下水面的宽度人口=24山,点P到

水面4B的距离PH=8nz.点R，E均在卷上，两=血，4R〃AB且=10山,在点£处

各装有一个照明灯，图中△RCD和△乌斯分别是这两个灯的光照范围.两灯可以分别绕点H，B左

右转动，且光束始终照在水面上.即ZCPQ,乙胆尸可分别绕点尸i，B按顺（逆）时针方向旋转

（照明灯的大小忽略不计），线段CD,EF在上,此时，线段ED是这两灯照在水面上的重叠部

分的水面宽度.

（1）求圆弧形拱桥所在圆的半径.

（2）求照明灯R距离水面的高度.

（3）已知ACP.D=/砥尸=90°,在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时,求这两个灯

照在水面上的重叠部分的水面宽度.

•M

2.将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知即=8,CD=8,则此小

球的半径是（)

A.3B.4D.6

3.如图是一个在建隧道的横截面,它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，OM是。。中弦CD的中

点，EAf经过圆心。交。O于点E,且CD=8m,EAf=8m,则。。的半径为（）m.

4.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高,

当力和拉确定时,有两种设计方案可供选择;①抛物线型;②圆弧型.已知这座桥的跨度l=20米，拱

高拉=5米.

（1）如图1,若设计成抛物线型，以AB所在直线为立轴，入口的垂直平分线为y轴建立坐标系,求此函

数表达式；

（2）如图2,若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；

（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米.从以上两种方案中，任选一种方

案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由.

【题型02:点与圆的位置关系的判定】

5.在。。所在平面内有一点P,若OP=6,。0半径为5,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。外C.点P在。。上D.无法判断

6.在Rt/\ABC中，90°,8。=5,AC=12,以点8为圆心，12为半径画圆，则点A与。8的位置关

系是（）

A.点A在。口外B.点A在。8上C.点人在。B内D.无法确定

7.若。。的直径为4cm,点4到圆心。的距离为2cm,则点/与。O的位置关系为（）

A.点/在圆内B.点4在圆上C.点A在圆外D.不能确定

8.若。O的半径为6,圆心O的坐标为（0,0）,点P的坐标为（3,4）,则点P与。O的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.不能确定

【题型03:直线与圆的位置关系的判定】

9.已知。。的半径为2,直线Z上有一点M.若。W=2,则直线Z与。。的位置关系是（）

A.相交B.相离或相交C.相离或相切D.相交或相切

10.已知OO的半径为3cm,圆心O到直线Z的距离为2cm，则，与。O的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

11.在平面直角坐标系xOy中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆一定（）

A.与①轴相交，与夕轴相切B.与c轴相离，与夕轴相交

C.与力轴相切，与y轴相交D.与土轴相切，与y轴相离

12.已知平面内有OO与直线4B,。。的半径为3cm，点O到直线48的距离为3cm（）

A.相切B.相交C.相离D.不能判断

【题型04：切线判定与性质综合】

13.如图，CD是电ZVIBC斜边上的中线，以CD为直径作。O,分别交AC、BC于点、M、N,过点河作

AB,交于点E.

（1）求证：上㈤是。。的切线;

⑵若CD=5,4。=8,求ME的长.

14.如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以。为圆心、OB为半径的。。与边AC相切于点。，且BC

=C©，连接OC,交。。于点E,连接BE并延长，交AC于点?

(1)求证是。。切线；

(2)求证:OA-AB=AD-ACi

⑶若AC=16,tanZBAC=暂，尸是AC中点，求即的长.

0

15.如图，在四边形ABCD中，AO平分ABAD.点。在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作。。与

相切于点B,BO延长线交。。于点瓦交入。于点兄连接入耳。£；.

（1）求证：CD是。O的切线；

（2）若AE=OE=8,求人户的长.

16.如图，在△ABC中，48=4。，以48为直径的OO交AC于点。（点。与点A不重合），交于点

瓦过点E作斤G，于点尸，交人口的延长线于点G.

（1）求证：FG是。。的切线；

（2）如图1,若CF=1,跳;=3；求。。的半径;

⑶如图2,连接AB,OD,交点为H,当AH=EH=7n时,求线段EG的长.

【题型05:圆周角定理】

17.如图，点A、B、C在。。上，乙4cB=55°,则乙4OB的度数是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

18.如图，已知点48。在。。上，且ZAOB=2ABOC,若ACAB=20°,则AACB的度数为（

A.40°B.50°D.80°

19.如图，为。。的直径，。，。为。。上两点.若NBCD=35°,则乙的大小为（）

A.35°B.45°D.65°

20.如图，AC为。O的直径，点8,。在。。上，/ABD=60°,CD=2,则4D的长为（）

B

A.2B.2V2C.2V3D.4

【题型06:JI内接四边形】

21.如图，四边形4BCD内接于。O,若乙8。。=100°,则NC的度数为（）

A.50°B.100°D.150°

22.如图，四边形ABCD内接于。。，点C是防的中点，乙4=40°,则NCBO的度数为（）

23.如图，四边形ABCD内接于。O,连接若区方=就，乙4。。=125°,则的度数是（

24.如图，在。O的内接四边形4BCD中，4B=4D,/E=130°,则/。的度数为

【题型07：三角形的内切圆级切线长】

25.如图，在RtZSABC中，NC=90°,其内切圆分别与AC、相切于点。、E、F,若AB=4,BE

6,则CD的长为（）

26.如图，AB、47、8。是。O的切线，切点分别为P、C、D若48=5,47=3,则的长是（）

27.如图，在一张电△ABC纸片中，//CB=90°,BC=3,AC=4,O是它的内切圆.小明用剪刀沿着。

O的切线Le剪下一块三角形则△4DE的周长为（）

28.如图，P为。O外一点，PA.PB分别切。。于点/、8,CD切。。于点E,分别交RI、P8于点C、

。，若融=8,则△PCD的周长为

A

29.如图，以正方形ABCD的边为直径作半圆O,过点。作直线切半圆于点尸，交AD边于点E,若

/\CDE的周长为12，则四边形ABCE周长为

30.如图，在Rt/\ABC中，NC=90°,4ABC的内切圆。。与分别相切于点。、E、尸，若。

。的半径为2,AD•。口=24,则AB的长=.

【题型08：三角形的外接圆】

31.如图，在△ABC中，NA=60°,8C=473cm，则A4BC的外接圆的直径是cm.

32.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点都叫作格点，4。两点皆在

格点上，在此方格纸上另找两格点8,。,使得△ABC的外心为O,则的长为（）

A.4B.5C.V10D.2V5

33.如图，。是△ABC的外心，NABC=42°,NACB=72°,则ZBOC=

A.123°D.无法确定

【题型09:正多边形与圆的综合】

34.如图，AB是。。的内接正打边形的一边，点。在。。上，乙4cB=18°，则n=

35.正多边形的一部分如图所示，若/ACB=20°,则该正多边形的边数为（）

36.如图，已知正六边形ABCDE尸的外接圆半径为2cm,则该正六边形的边心距是（)

A.1cmD.V3cm

37.如图，正六边形48cCEF内接于（DO,连接80.则NCDB的度数是（

10

B\E

D

A.90°B.60°C.45°D.30°

38.正六边形结构在自然界是广泛存在的.如图,将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点

重合.若正六边形的边长是2,则点口的坐标为（）

A.(1.V3)D.(2,2V3)

【题型10:弧长和扇形的面积】

39.如图，弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知

正三角形的边长为1,则弧三角形的周长等于（）

40.抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一.如图AC,分别

与。O相切于点C,。,延长AC,BD交于点尸.若NP=120°,。O的半径为8cm，则图中CD的长

为cm.（结果保留兀）

41.如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过

测量得到扇形AOB的圆心角为90°,04=，点C,。分别为。4,的中点，则花窗的面积为

m2.（结果保留兀）

O

图①图②

42.如图,在平面直角坐标系中,4ABC的顶点的坐标分别为4（2,3）,8（2,1）,。（5,1）,把A4BC绕着

点A按顺时针方向旋转90°得到4AEF,点B的对应点为E,点C的对应点为F.

（1）在图中画出△AER；

（2）点。的运动路径长为；

（3）旋转过程中线段BC扫过的面积为

【题型11，圆锥的便面积】

43.如图，已知圆锥的母线长为6,圆锥的底面半径与母线的比为1:3,则该圆锥的侧面积是（）

A.24V27IB.16兀C.12兀D.24兀

44.小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测

量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm,则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为

cm29.

45.如图，圆锥的底面半径OC=4cm,母线长AC=8cm,则圆锥的侧面积为

46.若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥的母线长为.

【题型12:圆锥的侧面最短路径问题】

47.【综合与实践】

主题:制作圆锥形生日帽.

素材:一张圆形纸板、装饰彩带.

步骤1：如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为，、圆心角为"的扇形.制作

圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料.

步骤2：如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

图1图2备用图

(1)现在需要制作一个r=10cm,I=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；

(2)为了使(1)中所制作的生日帽更美观,要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕

侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计)，求彩带长度的最小值.

13

48.如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC的边长为6山,粮堆母线AC的中点F处有一只老鼠正在吃

粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠,小猫所经过的最短路程是m.

49.如图所示，已知圆锥底面半径r=5cm,母线长为20cm.

(1)求它的侧面展开图的圆心角；

(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线S4的中点请你动脑筋想一想它所走的最短路

线是多少？

【题型13:不规则图形的阴影面积】

50.如图，RtZVLBC中，NC=90°,BC=2,乙4=30°,以点A为圆心、人。为半径画弧，交AB于点E,以

点口为圆心、为半径画弧，交AB于点F,则阴影部分的面积为（）

A.萼-2V3D.2代一半

O4

51.如图，在aABCD中，E为边中点.以。为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点以。为圆心,

CE为半径画弧，与AD相切于点F.若BC=4,则阴影部分的面积为.（结果保留兀）

52.如图,正方形4BCD的边长为2,以人为圆心，AB为半径画弧.连接AC,以人为圆心，AC为半径画

弧交的延长线于点E,则图中阴影部分的面积是.

53.如图，在长方形ABC©中，48=5,AD=3,以点。为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于

点E,点尸为边上一点，若CF=2B尸,连接即，则图中阴影部分的面积为（结果保留兀）.

（&妁■率立题型忙编

（考点归纳）

【典型01:垂径定理及应用】

【题型02:点与19的位置关系的判定】

【题型03:直线与圆的位置关系的判定】

【题型04：切线判定与性质综合】

【题型05:圆周角定理】

【题型06:11内接四娜】

【题型07：三角形的内切圆及切线长】

【题型08：三角形的外接圆】

【题型09:正多边形与圆的综合】

【题型10:孤长和扇形的面积】

【题型11:圆锥的侧面积】

【典型12:圆锥的■!面最短路径问题】

【题型13:不规则图形的阴影面积】

【题型01:垂径定理及应用】

（考点精讲）

【题型01:垂径定理及应用】

1.如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图.点P是拱桥叁的中点，桥下水面的宽度48=24小,点P

到水面AB的距离PH=87n.点A,A均在检上，用=两，〃AB且HE=10m,在点冏，R

处各装有一个照明灯，图中4PCD和△EEF分别是这两个灯的光照范围.两灯可以分别绕点P1,

8左右转动,且光束始终照在水面上.即4CPQ,/ERF可分别绕点8，©按顺（逆）时针方向

旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD,即在上,此时，线段ED是这两灯照在水面上的重

叠部分的水面宽度.

（1）求圆弧形拱桥所在圆的半径.

（2）求照明灯E距离水面的高度.

（3）已知/CRD=/四斤=90°,在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照至U时，求这两个灯

照在水面AB上的重叠部分的水面宽度.

【答案】（1）圆弧型拱桥所在圆的半径为13米

(2)照明灯吕距离水面的高度为7米.

(3)这两个灯照在水面48上的重叠部分的水面宽度为4m或箸m.

【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等知识点，正确作出作辅助

线、构造直角三角形解决问题成为解题的关键.

(1)设交招R于K,圆心为O,连接HO,AO,PQ,过/作RT_L于T,根据垂径定理可得，AH=

BH=；AB=12,然后运用勾股定理列方程求解即可；

(2)根据题意得出RK=RK=5,勾股定理求得OK的长，进而可得/T=KH=7;

(3)当整个水面AB都被灯光照到时，分①。与人重合，F与B重合，②当E与人重合，。与B重合两种

情况分别画出图形，解直角三角形即可解答.

【详解】⑴解:如图：设交R吕于K,圆心为O,连接H。，4。，吕。,过为作RT_L于T,

。・•点点P是拱桥AB的中点，

：.PH_LABf

O,P,H共线,Af/=BH=十AB=12,

设。。半径为r,则OH=OP-PH=(r-8),

在RtAAHO中，AH2+OH2=OA2,

122+(r—8)2=r2,解得：r=13,

圆弧型拱桥所在圆的半径为13米.

(2)解:如图：设交丹丹于K,圆心为连接〃O,AO,/。,过/作/T_LAB于T,则四边形PTHK

是矩形，

•.•侬=侬，且/£=10,

P[K=RK=5,

：.OK=JOH—RM=V132-52=12,

：.PK=OP-OK=13-12=1,

:.KH=PH—PK=8—1=7,

.•.BT=KH=7,即照明灯R距离水面的高度为7米.

(3)解：当整个水面AB都被灯光照到时，

①如图：当。与4重合，F与B重合时，

由(2)可得吕T=KH=7

AT^AH-TH=12-5=7,

:.AT=PiT=7,

：.乙BAT=45°,

•/4JPQ=90°,即ZAP1D=90°,

/.AAPQ是等腰直角三角形，

AD=2AT=14,即CD=14;

：.DB=AB-AD=24-14=10,

同理可得BE=14,即FE=14,

：.DE=EF—DB=14-10=4,

这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m;

②如图：当E与人重合，。与B重合，

,:AT=PiT=7m=P2M,PXP2=10

：.AM=AT+TF=17,

2222

：.AP2=y/AM+P2M=V17+7=V338,

..AMAP2

.COSAP2AM=—=~,

・17=V338

"V338—AF，

根据对称性可得：BC=管，

,CF=AF+BC-4B=噜+噜-24=等，

171717

/.这两个灯照在水面4B上的重叠部分的水面宽度为等m.

综上所述，这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度为4m或等m.

2.将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知EF=8,CD=8,则此小

球的半径是（

A.3B.4D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查了垂径定理，矩形的判定与性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确作出辅助线

构造直南三角形.

取EF的中点M,作MN_LAD交于点N,则经过球心O,连接OF,由垂径定理求出=4,设

OF^x,则OM=8—2，然后在Rt^MOF中利用勾股定理求得OF的长即可.

【详解】解:如图，取EF的中点河，作儿W_LAD交于点N,则上W经过球心O,连接OF,

•.•四边形/BCD是矩形，

/C=/D=90°,

四边形CD7WN是矩形，

：.MN=CD=8,

■：MN±AD,EF=8,

：.MF=4.

设OF=①，则OM=8—x,

.•.在五/AMOF中，OM?+昕2=。干2,即（g-’y+dZu/,

解得：2=5,

故选B.

3.如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，是。。中弦CD的中

点，经过圆心。交。。于点瓦且CD=8m,EM=8m，则。O的半径为（）m.

E

A.5B.6.5C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所在

的弧是解答关键.

连接OC,根据垂径定理得到EM_LCD,CM=DM=方⑺,再勾股定理得到OC2=CM2+OM2来求

解.

【详解】解:连接OC,

•••河是。。中弦CD的中点，CD=8m,

:.EM_LCD,CM=DM=CD=

设OO的半径为rrm,f\

则OE=OC=a;(7n),I

/.OM=EM-OE=8—x(m).|)

•：OC2=CM2+OM2,CMD

:x2=42+(8—a;)2,

解得：re=5,

即。。的半径为5m.

故选：4

4.某地欲搭建一桥,桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高,

当L和％确定时,有两种设计方案可供选择;①抛物线型;②圆弧型.已知这座桥的跨度L=20米,

拱高%=5米.

(1)如图1,若设计成抛物线型，以AB所在直线为宓轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系,求此函

数表达式；

(2)如图2,若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；

(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米.从以上两种方案中，任选一种

方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由.

【答案】⑴y=-白城+5

⑵12.5米

⑶①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥;②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥;理由见

解析

［分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a@+10）（x-10）,将点（0,5）代入，求出a的值，即可确定

函数的解析式；

（2）设圆心为O,连接OC纪AB于E点，连接AO,在RtAAEO中,AO2=102+（OA-5）2,解得AO=

12.5,即可求该圆弧所在圆的半径12.5米；

⑶①若设计成抛物线型时，当/=7.5时，？/=兽，由粤米V2.2米，可知货船不能顺利通过该桥；

1616

②若设计成圆弧型时，设EG=7.5米，过点G作FH±AB交弧BC于点F,过点。作OH，咫交于H

点，连接OF,在RtAOHF中，125=7.52+FH2,求出FH=10米，可得FG=2.5米，再由2.5米,2.2米,

即可判断货船能顺利通过该桥.

【详解】（1）解：•.•48=20,

4—10,0）,3（10,0）,

'.'h=5,

AC(O,5),

设抛物线的解析式为y=a(x+10)(x—10),

A—100a=5,

解得Q二-击,

抛物线的解析式为y(^+10)(a;-10)=—4■力?+5,

即。=一/d+5；

⑵解:设圆心为O,连接OC交AB于E点，连接49,

・・・AB=20,

/.AE—10,

h=5,

:,CE=5,

在Rt^AEO中，AO2=AE2+OE2,

：.人。2=102+(。人一5)2,

解得49=12.5,

/.该圆弧所在圆的半径12.5米；

（3）解:①若设计成抛物线型时，当rr=7.5时，y——^-x2+5=——x7.52+5=黑,

2U2016

•••里•米V2.2米，

16

货船不能顺利通过该桥；

②若设计成圆弧型时，

设EG=7.5米，

过点G作FH,AB交弧BC于点F,过点。作OH，交于H点,

连接OF,

.•.OH=EG=7.5米，

在Rt/XOHF中，OF?=OH2+FH2,

.♦.12.52=7.52+Fff2,

O

：.FH=10^,

'：GH=OE=12.5—5=7.5米，

/.FG=2.5米，

•••2.5米>2.2米，

货船能顺利通过该桥.

【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径

定理，勾股定理是解题的关键.

【题型02:点与圆的位置关系的判定】

5.在。。所在平面内有一点P,若0P=6,半径为5,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。外C.点P在。O上D.无法判断

【答案】B

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由点到圆心的距离d与圆的半径r进行判定，掌握点与圆的位置关

系的判定方法是解题的关键.根据题意，点到圆心的距离d与圆的半径r,当d>r时，点在圆夕卜；当d=r

时，点在圆上；当时，点在园内；由此即可求解.

【详解】解：设点到圆心的距离为d,圆的半径为T,

：.d=6,r=5,

•：d>r,

.•.点P在。。外，

故选：B.

6.在R力△ABC中，ZC=90°,BC=5,AC=12,以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与。B的位置

关系是（）

A.点4在。8外B.点人在。B上C.点人在。B内D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得=13边的长，然后通过比较AB与半径的长

即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系.

【详解】解：•.•在IttZVLBC中，/C=90°,BC=5,4。=12,

AB=y/BC2+AC2=V52+122=13,

VAB=13>12,

.•.点A在<3B外，

故选：A.

7.若。O的直径为4cm,点4到圆心O的距离为2cm,则点A与。O的位置关系为（）

A.点4在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.不能确定

【答案】B

【分析】本题考查了点与圆的位置关系.根据题意得出d=r,从而即可得出答案.

【详解】解：•••0O的直径为4cm，所以半径为2cm,点A到圆心。的距离为2cm,

d=r,

.•.点力与。O的位置关系为：点A在圆上，

故选：B.

8.若。O的半径为6,圆心O的坐标为（0,0）,点P的坐标为（3,4）,则点P与。O的位置关系是

（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.不能确定

【答案】力

【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⑷。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,当时,

点在圆内是解答此题的关键.先根据勾股定理求出OP的长，再与圆的半径相比较即可.

【详解】解：；圆心。的坐标为（0,0）,点P的坐标为（3,4）,

.-.OP=V32+42=5.

•••。。的半径为6,且6>5,

.•.点P在圆内.

故选：人

【题型03:直线与圆的位置关系的判定】

9.已知。。的半径为2,直线Z上有一点若0M=2,则直线，与。。的位置关系是（）

A.相交B.相离或相交C.相离或相切D.相交或相切

【答案】。

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关

键.

直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切；若d>r,

则直线与圆相离.

【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2.

此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能.

故选：D.

10.已知。。的半径为3cm，圆心O到直线2的距离为2cm,则Z与。。的交点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】。

【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关

系对应的公共点的个数是解本题的关键.圆的半径为了圆心到直线的距离为d,当d>?•1时，圆与直线相

离，直线与圆没有交点，当d=T时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当•时，圆与直线相交，直线

与圆有两个交点，根据原理可得答案.

【详解】解：的半径为3cm，圆心O到直线Z的距离d,为2cm,

：.d<r,

/.圆与直线/相交，直线，与圆有两个交点，

故选：C.

11.在平面直角坐标系力。"中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆一定（）

A.与c轴相交，与0轴相切B.与刀轴相离，与9轴相交

C.与c轴相切，与“轴相交D.与刀轴相切，与"轴相离

【答案】。

【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直

线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到多轴的距离

是4,到9轴的距离是3,根据直线与圆的位置关系，即可求出答案.

【详解】解：圆心到c轴的距离是4,到g轴的距离是3,

/.圆与c轴相切，与9轴相交，

故选：C.

12.已知平面内有。O与直线的半径为3cm，点。到直线48的距离为3cm()

A.相切B.相交C.相离D.不能判断

【答案】A

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键.根据点O到直线AB的距离与

圆的半径大小作比较即可.

【详解】解：•.•点。到直线AB的距离为3cm，且。O的半径为3cm,

.•.点O到直线的距离等于。。的半径，

/.直线AB与＜30的位置关系是相切，

故选：A.

【题型04：切线判定与性质综合】

13.如图，CD是电ZVIBC斜边上的中线，以CD为直径作。O,分别交AC、BC于点M、N,过点河作

ME_LAB,交AB于点、E.

(1)求证：ME是。O的切线；

⑵若CD=5,AC=8,求ME的长.

【答案】(1)见解析

⑵ME=2.4

【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等

于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握基本知识.

⑴连接O河，先证出。W7/AD,再证明ME_L（W即可；

⑵由平行线分线段成比例定理可求力河=4,由直角三角形斜边中线的性质可求AB=2CD=10,由勾股

定理求出石。的长，然后证明4AME〜AABC即可求解.

【详解】（1）解:连接OM,

•・・CD是斜边上的中线，

:・CD=AD=BD,

.・・/1=乙4,

・.・OC=OM,

：.Zl=Z2

・•.Z2=ZA,

：.OM//AD,

•：ME_LABf

・・・OAl,又O河是。O的半径，

・・・AiE是。。的切线.

⑵解：・・・OM〃AD,

.CM=OC

"'AM~~ODf

・・・OC=OD,

：.AM=CM=yAC=4,

・・・CD是R/A4BC斜边上的中线.

：.CD=^-AB,

：.4B=2CD=10,

在Rt/\ABC中，BC=NAB—AC?=V102-82=6,

•：ME±AB,

・・.AAEM=90°,

：.ZAEM=AACB

又ZA=ZA,

・・・"ME〜dABC

.AM_=AB

“ME一佞,

・4=10

「ME6'

:・ME=2.4.

14.如图，已知。是△ABC边AB上的一点，以。为圆心、OB为半径的。。与边人。相切于点。，且

BC=CD,连接OC,交。。于点瓦连接BE并延长，交于点尸.

ADFC

（1）求证：8C是。O切线;

⑵求证：OA-AB=AD-AC；

（3）若AC=16,tanZBAC=力，尸是AC中点，求即的长.

O

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑼25

【分析】（1）连接OD,由切线的性质可知/。。。=90°.证明△OBCZZXODC得出2OBC=NODC=

90°,即OB_LCB,说明BC是圆。的切线；

（2）证明△AOD〜AACB得出空^=坐,整理得AO-AB^AC-AD；

ACAB

⑶设AB=3力，则＞BC=4力.由勾股定理求出力的值，得出48二学"，由tanzlBAC=??

55AD

=士，可设OD=4g,则OB=4y,AD=3y,即可求出04=59,从而得出AB=9y=，解出g的值，即

35

可求出06=粤，即。。半径为粤.由直角三角形斜边中线的性质得出AF=CF=BF=^-AC=8f

15152

结合等边对等角，得出/ABF=/B4F,进而可证△QBE〜△FR4,得出馨=票，代入数据，即可求

ABJ3r

出3后=装■，最后由EF=BF—EF求解即可.

25

【详解】⑴证明：如图，连接OD,

•••4。与圆。相切于点。,

/.OD，AC,即AODC=90°,

■：BC=CD,BC=DC,CO=CO,

：.△OB%△ODC(SSS),

/LOBC=2ODC=90°,即08_LCB,

.•.BC是圆。的切线；

(2)证明：•.•CD_L/C,

/ADO=90°.

•.•/OBC=90°,

ZADO=NABC.

又•・•ABAC^ADAO,

・・・/XAOD〜/XACB,

.AO=AD

**AC-ABJ

・・・AO-AB=AC-AD\

(3)解：・・・NO8C=90°,

tan/BAC=',

A.1DO

设AB=3力，则BC—^x.

vAB2+BC2=AC2,

(3①y+(4力尸=162,

解得：■(舍去负值)，

5

.•.AB=冬,BC=磐.

55

•：OD_LAC,

••tanZBAC=-y^-=弓,

设OD=4y,

则OB=4g,AD=3g,

OA=y/OD2+ADi=5y,

A8=OA+OB=9g=F

解得：y—~^,

15

/.03=粤，即。。半径为粤.

1515

•・・F是AC中点，

・・.AF=CF=BF=8,

・・.ZABF=ZBAF.

,：OB=OE,

：./OBE=NOEB,

・・・/ABF=ABAF=NOBE=Z.OEB,

：./\OBE-/\FBA,

64

・BE_OB艮口BE_15

••AB-BF坐―8，

5

解得：助=崇，

:.EF=BF-EF=8-嗓=哙.

2525

【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的

性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识.在解圆的相关题型中，连接常用的

辅助线是解题关键.

15.如图，在四边形4BCD中，49平分乙B4D.点。在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作。。与

相切于点B,60延长线交。O于点瓦交AD于点连接

（1）求证：CD是0O的切线；

（2）若4£；=下=8,求4F的长.

【答案】（1）见解析

（2）AF=4V3

【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角

等知识，掌握圆的相关性质是解题关键.

（1）连接QD,根据圆的切线的性质，得到ZCBO=90°,根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到

/043=/>180=/0人?=/0£!4,进而得出/BOC=/DOC,推出ABOCZADOC\SAS）,得到

NCBO=ZGDO=90°,即可证明结论；

⑵根据同弧所对的圆周角相等，得到ADAE=NABO，进而得出ABAO=AOAD=NDAE,再根据直径

所对的圆周角是直角，得出ABAO=AOAD=NDAE=NABO=30°,NAFE=90°,由30度角所对的直

角边等于斜边一半，得到=4,再结合勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接OD.

为圆。的切线，

.•.ZCBO=90°.

•••AO平分/BAD,

：.ZOAB^ZOAF.

•：OA^OB^O