2025北京高考数学一轮复习（一）

本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)，共150分，考试时长120分钟.

第一部分

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.(2019•北京高考)已知集合4={川一l<x<2},B={x|x>l},则AUB=()

A.(-1,1)B.(1,2)

C.(-1,+8)D.(1,+8)

解析：选C将集合A,8在数轴上表示出来，如图所示.由图可得IZZB

AU8={xW>-l}.故选C.-1°12

2.(2019•北京高考)已知复数z=2+i,则zi=()

A.小B.y[5

C.3D.5

解析:选D法一：•.*z=2+i,；.T=2-i..\z・，=(2+i)(2—i)=5.故选D.

法二：z-z=|Z|2=22+12=5,故选D.

3.(2019•北京高考)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=x^B.y=rTx

C.y=k>羲D.尸;

解析：选Ay=x^=y[x,>=2二'=(；),y=log|x,y=(的图象如图所示.

由图象知，只有在(0,+8)上单调递增.故选A.

4.(2019•北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B

初始①②

S=1s=2s=2

k=1k=2k=3

左=3满足判断框的条件，Js=2.

故选B.

5.（2019•北京高考）已知双曲线/-y2=i（“>o）的离心率是小，则〃=（）

A乖B.4

C.2D,^

f02+]

解析：选D由双曲线方程^5—y2=i,得d=/+].；.5=e2=^5==1

+*.结合<7>0,解得（1=3.故选D.

6.（2019・北京高考）设函数八尤）=85彳+加苗犬3为常数），则"=0”是"«x）为偶函数”

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选C/（x）=cosx+bsin尤为偶函数，

对任意的xdR,都有八一尤）=/（无），

即cos（—x）+bsin（-x）=cosx+6sinx,

26sinx=0.由x的任意性，得6=0.故/（x）为偶函数=6=0.必要性成立.反过来，若

6=0,则/（x）=cosx是偶函数.充分性成立."b=0"是'7（x）为偶函数”的充分必要条

件.故选C.

7.（2019•北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的

星等与亮度满足他一如=|噜，其中星等为恤的星的亮度为&（-1,2）.已知太阳的星等

是一26.7,天狼星的星等是一1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1

C.1g10.1D.1O-101

解析：选A设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为

Ei,石2,由条件如=—26.7,加2=一1.45,m2—mi=1lg^,得手g^=—1.45+26.7=25.25.

Ei2

：.1端=25.25X^=10.1,

誓=1。1叫即太阳与天狼星的亮度的比值为1O101.

乜2

故选A.

8.（2019•北京高考）如图，A,B是半径为2的圆周上的定点，尸为圆周

上的动点，NAPB是锐角，大小为及图中阴影区域的面积的最大值为（）尸匕/

A.4夕+4cosPB.4夕+4sin0

B

C.2夕+2cos夕D.2夕+2sin4

解析：选B法一：如图①，设圆心为O,连接。4,OB,OP.

・.・NAPB=B，：.ZAOB=2/3,

S用彩=SA4OP+SABOP+S扇.AOB=5X2X2sin2X2sinN—/

z2B

1图①

B0P+mX2BX»

=2sinZA0P+2sinZBOP+4/3

=2sinZAOP+2sm(2n-2/3-NA0P)+4S

=2sinNA0P—2sin(2夕+ZAOP)+4/3

=2sinZAOP_2(sin2^-cosZAOP+cos2加sinNA0P)+4£

=2sinZAOP-2sin2加cosNAOP—2cos2/7-sinZAOP+4^=2(1-cos2£)sinNAOP—2sin

2B-cosNAOP+邻

=2X2sin勿・sinNAOP—2X2sin£-cospcosNA。尸+4万=4sin£(sin£-sinNAOP-cos

6•cosNAOP)+4£

=4£—4sin伊cos(/3+ZAOP).

,：夕为锐角，,sinP>Q.

：.当cos0+NAOP)=-l,即£+NA0P=7t时，阴影区域面积最大，为4万+4sin4

故选B.

法二：如图②，设圆心为。，连接。4,OB,OP,AB,则阴影区域被

分成弓形AmB和△ABP.

:ZAPB=B，：.ZAOB=2/3.

B

'：弓形A"人的面积是定值，图②

要使阴影区域面积最大，则只需△A2P面积最大.

△A8P底边长固定，

只要△A8P的底边上的高最大即可.

由图可知，当AP=8P时，满足条件，

此时S阴影=S扇形40B+S/iA0p+S^BOP

1,12兀-2£

=2X2^292+2X^X292-sin―寸

=4夕+4sinR这就是阴影区域面积的最大值.故选B.

第二部分

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上)

9.(2019•北京高考)已知向量a=(—4,3),b=(6,m),且a_L6,则加=.

解析：,,,a±b,：.。6=0.又；a=(—4,3),6=(6,m),：.一4义6+3相=0,解得机

=8.

答案：8

尤(2,

10.(2019•北京高考)若x,y满足'》一1，则y—x的最小值为,最

、4x—3y+l20,

大值为________

解析：x,y满足的平面区域如图所示.设z=y—x,则y=x+z.

把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线

y=x+z的纵截距，通过图象可知，当直线y=x+z经过点A(2,3)时，z

取得最大值，此时Zmax=3—2=1.当经过点8(2,-1)时，z取得最小

值，此时Zmin=-1—2=—3.

答案：一31

11.(2019•北京高考)设抛物线产=4尤的焦点为R准线为/.则以尸为圆心，且与/相切

的圆的方程为.

解析：：抛物线y2=4x的焦点厂的坐标为(1,0),准线/为直线尤=一1,圆的圆心

坐标为(1,0).又；圆与/相切，圆心到/的距离为圆的半径，r=2.：.圆的方程为(x

—1)2+V2=4.

答案：(x—l>+y2=4

12.(2019•北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所

示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

解析：如图，由三视图可知，该几何体为正方体ABCD-ABiGP

去掉四棱柱BiCiGF-AiDiHE所得，其中正方体ABCD-A\BYCIDY的体积

为64.VBiCiGF-AiZ）i//E=（4+2）x1x4=24,所该几何体的体积为64-24=40.

答案:40

13.（2019•北京高考）已知/，机是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

®m//a；③

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:

解析：②③今①.证明如下：；m//a,：.根据线面平行的性质定理，知存在a,

使得机〃机又l-La,l-Ln,I±m.

①③今②.证明略.

答案：②③今①（或①③今②）

14.（2019•北京高考）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京

白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明

对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客

网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x

的最大值为.

解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60+80=140（元），总价达到120

元，又x=10,即顾客少付10元，所以需要支付130元.

②设顾客买水果的总价为。元，当0Wa<120时，顾客支付。元，李明得到0.8a元，且

0.8a»0.7a,显然符合题意，此时尤=0；当。2120时，则0.8（。一x）20.7。恒成立，即无

恒成立，又心120,所以e,min=15所以xW15.综上可知，0Wx=15,所以X

的最大值为15.

答案：①130②15

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（2019•北京高考）（本小题满分13分）在△ABC中，a=3,b~c=2,cosB=-1.

⑴求8c的值；

⑵求sin（B+O的值.

解：（1）由余弦定理〃=/+。2—2〃ccos8,得

〃=32+/一2乂3X。乂（一£）.因为b=c+2,

所以（C+2）2=32+C2—2X3XCX（一，.

解得c=5.所以b=7.

(2)由cosB=~2,得sinB=•

由正弦定理，得sinA=/sin

在△ABC中，B+C=7i~A,

所以sin(5+C)=sinA=^^.

16.(2019•北京高考)(本小题满分13分)设｛斯｝是等差数列，〃i=—10,且〃2+10，的+

8,加+6成等比数列.

⑴求｛④｝的通项公式;

(2)记｛%｝的前”项和为Sn,求Slt的最小值.

解:(1)设｛•〃｝的公差为的因为。1=一10,

所以。2=—10+d,<73=—10+2<7,。4=—10+3d.

因为。2+1。，的+8,々4+6成等比数列，

所以(俏+8)2=(々2+10)(44+6).

所以(-2+2i/)2=d(—4+3i/).

解得1=2.所以。”=。1+5—1)1=2〃-12

(2)由⑴知,念=2〃-12.

则当时，。”>0;当“W6时，a”W0.

所以S”的最小值为S5=S6=-30.

17.(2019•北京高考)(本小题满分12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转

变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支

付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两

种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如

下：

支付金额

不大于2000元大于2000元

支付方

仅使用A27人3人

仅使用B24人1人

(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数；

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的

概率；

(3)己知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机

抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B

的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30(人)，仅使用B的学生有24+1=

25(人)，A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用

的学生有100—30—25-5=40(人).估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人

数为喘jX1000=400.

(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大

于2000元”，贝U

P(C)=X=0.04.

(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于

2000元”.

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知，

P(£)=0.04.

答案示例1:可以认为有变化.理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金

额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:

事件E是随机事件，尸(£)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的.所以无法确

定有没有变化.

18.(2019•北京高考)(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD

中，川，平面ABC。，底面ABC。为菱形，E为CD的中点.

(1)求证：8。_1平面用0

(2)若NABC=60°,求证：平面E42_L平面B4E；

⑶棱尸8上是否存在点F,使得CF〃平面B4E?说明理由.

解：⑴证明：因为B4_L平面43。,

所以PA1,BD.

因为底面ABCD为菱形，

所以2。_L4c.

又E4CAC=A,

所以平面PAC.

(2)证明：因为E4_L平面ABCD

AEU平面ABC。，

所以PA1.AE.

因为底面ABC。为菱形，ZABC=60°,且E为CD的中点,

所以AE1CD所以ABLAE.

又所以AE_L平面E4A

因为AEU平面朋E,所以平面B48J_平面抬E.

(3)棱尸8上存在点凡使得CF〃平面出E.

取网的中点EB4的中点G,连接CRFG,EG,

贝ijFG〃&8,MFG=^AB.

因为底面ABC。为菱形，且E为C。的中点，

所以CE〃AB,且CE=%B.

所以PG〃CE,且尸G=CE.

所以四边形CEGP为平行四边形.所以CF//EG.

因为CRI平面PAE,EGU平面PAE,

所以CP〃平面PAE.

19.(2019•北京高考)体小题满分14分)已知椭圆C：£+5=1的右焦点为(1,0),且经

过点40,1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设。为原点，直线/：>=履+改#±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与尤

轴交于点〃，直线AQ与x轴交于点N.若QMH。川=2,求证：直线/经过定点.

解：(1)由题意,得接=1,c—1,

所以c^=b2+c2=2.

所以椭圆。的方程为，+产=1.

(2)证明:设尸(》,yi),2(%2,>2)，

则直线AP的方程为y=『x+L

令y=0,得点M的横坐标矶=一---r.

刃一］

一—X\

又yi=H+f,从而QM=|x“|=日］+/_］

同理，3=葭；；-1-

y~~kx~\~tf

由得(1+2f)，+4比v+2/2—2=0,

区+y=1，

4ktIf—2

则Xl+X21+23'X1X2=1+2F

10MH

所以。川=kx1+t-l\]kx2+t-].

___________________X1%2___________________

―+1）（X1+x2）+«-I）2

2P—2

_______________1+2-______________

修常t+如—1＞（一冷日+（'—1）2

又QMH0N=2,所以2H=2.

解得/=o,所以直线/经过定点(0,0).

20.(2019•北京高考)(本小题满分14分)已知函数/(x)=

53一炉+尢

(1)求曲线y=/(x)的斜率为1