高考数学二轮复习专题六几何第2讲圆锥曲线的方程与性质含答案及解析

第2讲圆锥曲线的方程与性质（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程 3【考点二】椭圆、双曲线的几何性质 5【考点三】抛物线的几何性质及应用 6【专题精练】 7考情分析：高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（

A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．54．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（

）A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．三、填空题10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．11．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．12．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．考点突破考点突破【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程核心梳理：1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．一、单选题1．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．16 D．18二、多选题3．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线4．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（

）A． B．直线PF1的斜率为C．的周长为 D．的外接圆半径为三、填空题5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是．6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为.规律方法：求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．【考点二】椭圆、双曲线的几何性质核心梳理：1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．一、单选题1．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．13 D．152．（2023·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A．6 B．或 C． D．或二、多选题3．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且的最大值为8，下列说法正确的是（

）A． B．C．离心率 D．若，则4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（

）A．C的离心率为B．C的焦距为2C．平面上存在两个定点A，B，使得D．的最小值为三、填空题5．（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则；当取最小值时，的面积为．6．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为；的取值范围为．规律方法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．【考点三】抛物线的几何性质及应用核心梳理：抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.一、单选题1．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（

）A． B．64 C． D．802．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为44．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（

）A． B．C． D．直线与抛物线的准线相交于点三、填空题5．（2024·河南郑州·二模）抛物线的准线方程为，则实数a的值为.6．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则.规律方法：利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁·三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（

）A．3 B．12 C．15 D．3或156．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A． B． C． D．8．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多选题9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（

）A．的周长为4B．PF1C．PQ的最小值是3D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（

）A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为C．点是它的一个焦点 D．11．（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（

）A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为三、填空题12．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为．14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为.四、解答题15．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆经过点，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.16．（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．(1)设过点1,0的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；(2)过的直线与相交于点三点，求证：．17．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.(1)求抛物线的方程.(2)证明：(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.

第2讲圆锥曲线的方程与性质（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 12【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程 12【考点二】椭圆、双曲线的几何性质 18【考点三】抛物线的几何性质及应用 23【专题精练】 27考情分析：高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．2．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（

A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．54．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若，则（

）A．直线的斜率为 B．|OB|=|OF|C．|AB|>4|OF| D．三、填空题10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．11．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．12．（2022·全国·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．参考答案：题号123456789答案CABBDDABACD1．C【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率.【详解】由题意，设、、，则，，，则，则.故选：C.2．A【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A3．B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.4．B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．5．D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为，当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意；当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D6．D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.7．A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A8．B【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B.9．ACD【分析】由及抛物线方程求得A(3p4,6p2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得B(p3,−6p3)，即可求出【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则A(3p4,6p2对于B，由斜率为可得直线的方程为x=12 6y+设，则，则，代入抛物线得，解得，则B(p3,−6p3则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，OA⋅OB=(又MA⋅MB=(−又，则，D正确.故选：ACD.10．/【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；【详解】方法一：依题意，设，则，在中，，则，故或（舍去），所以，，则，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依题意，得，令，因为，所以，则，又，所以，则，又点在上，则，整理得，则，所以，即，整理得，则，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案为：.【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.11．【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即12．2（满足皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）考点突破考点突破【考点一】圆锥曲线的定义与标准方程核心梳理：1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．一、单选题1．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．16 D．18二、多选题3．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（

）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线4．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（

）A． B．直线PF1的斜率为C．的周长为 D．的外接圆半径为三、填空题5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是．6．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知抛物线为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于两点，连接分别交抛物线于两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为.参考答案：题号1234答案BCACDACD1．B【分析】由三角形内切圆的性质得出的周长为，再由椭圆的定义得的周长为，列出等式即可求解．【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，AF2=a，设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，，所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，，所以，则，故选：B．

.2．C【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，再利用基本不等式即可求解.【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：C.3．ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．ACD【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径.【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，设圆分别与的三边切于点，则由题，且，，又，A选项正确；由选项A得，连接、、，则，所以，B选项错误；同理，，，，所以由焦三角面积公式得，又，故得，的周长为，选项正确；由，由正弦定理得，D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、的周长、的外接圆半径的关键是根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和.5．2【分析】利用抛物线的定义结合中位线定理，列出不等式，发现取等条件，得到最小值即可.【详解】如图，由抛物线得焦点，准线方程为，过分别作的垂线，交于，连接，则，当且仅当过点时取等，显然是梯形的中位线，又由中位线定理知，则，故到轴距离的最小值为.故答案为：26．【分析】设，根据推出，结合点在抛物线上可得，，即可求得p，即得答案.【详解】由题意设，由可得：，可得：，同理可得：，则：（*）将两点代入抛物线方程得，作差可得：，而，即，同理可得，，代入（*），可得，此时抛物线方程为，故答案为：规律方法：求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．【考点二】椭圆、双曲线的几何性质核心梳理：1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．一、单选题1．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．13 D．152．（2023·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A．6 B．或 C． D．或二、多选题3．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且的最大值为8，下列说法正确的是（

）A． B．C．离心率 D．若，则4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（

）A．C的离心率为B．C的焦距为2C．平面上存在两个定点A，B，使得D．的最小值为三、填空题5．（2024·湖北·二模）已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则；当取最小值时，的面积为．6．（2024·广东深圳·二模）已知△ABC中，，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为；的取值范围为．参考答案：题号1234答案ADABACD1．A【分析】由椭圆方程确定，的坐标，根据向量的数量积的坐标表示求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案.【详解】由椭圆可得，，点在直线上运动，设，则，当时，取到最小值7，即的最小值为7，故选：A2．D【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．故选：D．3．AB【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得，由椭圆性质可得，且离心率，联立直线和椭圆方程可知当，方程无解，因此D错误.【详解】如下图所示：易知，由椭圆定义可知，因为，当轴，即AB为通径时，AB最小，所以，解得，所以A正确；当AB为长轴时，AB最大，此时，所以，即B正确；可得椭圆方程为，易知，所以离心率，即C错误；因为，可设直线的方程为，Ax1,y联立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；整理得，此时方程无解，因此D错误.故选：AB4．ACD【分析】根据等轴双曲线的离心率可判断A的正误，根据图象的对称轴可求，从而可求，故可判断BCD的正误.【详解】对于A，因为是等轴双曲线，故其离心率为，故A正确.对于B，因为图象的对称轴为和，由可得或，故双曲线的顶点坐标为，故双曲线的实半轴长为，故半焦距为，故焦距为4，故B错误.对于C，因焦点在直线上，故设焦点坐标为，因为，且双曲线的中心为原点，故即，取，由双曲线的定义可得，故C正确.对于D，由C的分析可得为焦点，则，故D正确，故选：ACD.5．【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解.【详解】设，则，可得，又因为分别为双曲线的左右顶点，可得，所以；又由，所以，当且仅当时，等号成立，所以，解得，所以，所以，所以的面积为.故答案为：；.6．【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足的位置，再由得到双曲线中的关系，即可得到渐近线的夹角；根据对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范围即可.【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为.设的内心为，过点向三边作垂线，垂足分别为.

根据三角形内心的性质可知，，又因为双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，所以，即，因为，所以，所以，所以点在双曲线的左支上，所以.而，所以，所以为双曲线的左顶点.所以，所以，即，所以，渐近线的倾斜角为，所以两条渐近线的夹角为.又因为，所以，而，所以.故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据作出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.规律方法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．【考点三】抛物线的几何性质及应用核心梳理：抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.一、单选题1．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（

）A． B．64 C． D．802．（23-24高三上·山东青岛·开学考试）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为44．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（

）A． B．C． D．直线与抛物线的准线相交于点三、填空题5．（2024·河南郑州·二模）抛物线的准线方程为，则实数a的值为.6．（2024·河南·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则.参考答案：题号1234答案AAACACD1．A【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.【详解】因为线段的垂直平分线交于两点，所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.设点且则线段的垂直平分线方程为，令与轴交于点,又，

则在直角三角形中继而可得，所以点坐标为，代入抛物线，可得，解得，直角三角形中,所以四边形的周长为.故选：A.2．A【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案.【详解】抛物线的开口向上，由于在上，且，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为.故选：A3．AC【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可.【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.故选：AC4．ACD【分析】将点代入抛物线方程可确定抛物线方程，可判断A；由抛物线定义可求，可判断B；求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点，从而求出MN，可判断C；易求出直线与准线交点，可判断D.【详解】由抛物线过点，可得，则，故A正确；由上可知抛物线，准线方程为，所以，故B错误；由已知可得，所以直线的方程为，即，联立方程组，得，解得或，故，所以，故C正确；由直线的方程，令，得，所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确.故选：ACD5．/【分析】根据抛物线方程及准线方程列出方程，解出即可.【详解】依题可知，则，故答案为：.6．【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出交点坐标，进而求出点的坐标，再借助抛物线定义求出长.【详解】抛物线的焦点为，由，解得或，即点或，当点时，直线，即，由，得，因此，显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，，所以.故答案为：规律方法：利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江苏南通·三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（

）A．5 B．6 C． D．2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2024·辽宁·三模）设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好有4个，则实数的值可以是（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（

）A．3 B．12 C．15 D．3或156．（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．7．（2024·江苏南通·二模）设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为（）A． B． C． D．8．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9二、多选题9．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（

）A．的周长为4B．PF1C．PQ的最小值是3D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为10．（2024·湖北·一模）某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（

）A．是它的一条对称轴 B．它的离心率为C．点是它的一个焦点 D．11．（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（

）A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为三、填空题12．（23-24高三下·上海·阶段练习）若抛物线的焦点到它的准线距离为1，则实数m=13．（2024·江苏南京·模拟预测）已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为．14．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为.四、解答题15．（22-23高二上·河北邢台·阶段练习）已知椭圆经过点，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.16．（2024·浙江·模拟预测）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．(1)设过点1,0的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；(2)过的直线与相交于点三点，求证：．17．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.(1)求抛物线的方程.(2)证明：(3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求.参考答案：题号12345678910答案DBBDCDADBCDABD题号11答案BD1．D【分析】利用椭圆的定义、点和圆的位置关系等知识确定正确答案.【详解】依题意，设椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为，，当三点共线，且在之间时等号成立.而，所以，当四点共线，且在之间，是的延长线与圆的交点时等号成立.故选：D

2．B【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.【详解】由题得，即，由焦距为4得，解得，可得椭圆方程为，所以，，所以离心率为.故选：B.3．B【分析】设，表示向量，由条件可得，，结合对称性列不等式，求的范围，由此可得结论..【详解】因为点分别为椭圆的左、右焦点；所以，设则，由可得，又因为在椭圆上，即，所以，由对称性可得，要使得成立的点恰好是个，则解得，所以的值可以是.故选：B.4．D【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为,连接,由题意可得，设由余弦定理可得,即，解得，所以，故．故选：D5．C【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解.【详解】因为双曲线方程为，所以，则，设双曲线的左､右焦点分别为，又点在双曲线的右支上，且，所以，则.故选：C.6．D【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果.【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，所以，得到，所以双曲线的方程为，故选：D.7