高考数学二轮复习专题二三角函数与解三角形第3讲三角函数中ωφ的范围问题含答案及解析

第3讲三角函数中ω，φ的范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 3【考点二】单调性与ω，φ的取值范围 3【考点三】零点与ω，φ的取值范围 4【专题精练】 6考情分析：三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．考点突破考点突破【考点一】三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围一、单选题1．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·山东济宁·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则B．若，则函数在上的值域为C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为D．若函数在上恰有一个零点，则4．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若单调递减，则B．若的最小值为，则C．若仅有两个零点，则D．若仅有两个极值点，则三、填空题5．（2024·江苏宿迁·一模）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为．6．（23-24高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为.规律方法：求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．【考点二】单调性与ω，φ的取值范围一、单选题1．（2024·江苏南通·二模）已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（

）A． B． C． D．4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．若，，则将函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称B．若，函数在上有最小值，无最大值，且，则C．若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为D．若在上至少有2个解，至多有3个解，则三、填空题5．（2024·福建厦门·二模）已知函数在上单调，，则的可能取值为.6．（2023·吉林·三模）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．规律方法：若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．【考点三】零点与ω，φ的取值范围一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知函数在上无零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的可能值为（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江宁波·二模）已知函数，（

）A．若，则是最小正周期为的偶函数B．若为的一个零点，则必为的一个极大值点C．若是的一条对称轴，则的最小值为D．若在上单调，则的最大值为三、填空题5．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是.6．（2024·江苏南京·二模）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为.规律方法：已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·江苏扬州·期末）已知满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2023·广西·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2022·山西·一模）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2021·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．（2023·四川内江·一模）已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（

）A． B． C． D．8．（2021·吉林·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数在上有且仅有5个零点，则（

）A．在上有且仅有3个极大值点B．在上有且仅有2个极小值点C．当时，的取值范围是D．当时，图象可能关于直线对称10．（2023·广东湛江·一模）已知，函数，下列选项正确的有（

）A．若的最小正周期，则B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．若在区间上单调递增，则的取值范围是D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（

）A． B． C． D．三、填空题12．（2024·山东烟台·一模）若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为.13．（2023·广东佛山·一模）已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是.14．（2023·天津·三模）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为．

第3讲三角函数中ω，φ的范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 3【考点二】单调性与ω，φ的取值范围 7【考点三】零点与ω，φ的取值范围 13【专题精练】 17考情分析：三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上．真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．参考答案：题号1答案C1．C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．2．【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，故答案为：.3．【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：考点突破考点突破【考点一】三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围一、单选题1．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·山东济宁·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则B．若，则函数在上的值域为C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为D．若函数在上恰有一个零点，则4．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若单调递减，则B．若的最小值为，则C．若仅有两个零点，则D．若仅有两个极值点，则三、填空题5．（2024·江苏宿迁·一模）已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为．6．（23-24高一上·福建泉州·期末）将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为.参考答案：题号1234答案DDACDBD1．D【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.【详解】根据题意可知若，则可得；显然当时，可得，由的值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是.故选：D2．D【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得.【详解】依题意，，当时，，若在上有最小值没有最大值，则，所以.故选：D3．ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的值域可判断B选项；利用三角函数图象变换以及正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.【详解】对于A选项，若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则函数的最小正周期为，则，所以，，此时，，合乎题意，A对；对于B选项，若，则，当时，则，所以，，故当时，则函数在上的值域为，B错；对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则为奇函数，所以，，解得，因为，当时，取最小值，C对；对于D选项，因为，当时，，因为函数在上恰有一个零点，则，解得，D对.故选：ACD.4．BD【分析】根据余弦函数图像性质即可求解.【详解】因为，所以，因为单调递减，所以由余弦函数图像性质，，故A错误；因为的最小值为，故由余弦函数图像性质，即，故B正确；因为仅有两个零点，故由余弦函数图像性质，即，故C错误；因为仅有两个极值点，故由余弦函数图像性质，得，故D正确.故选：BD.5．【分析】先求出的范围，考虑其右边界的取值范围即可.【详解】因为，所以，其中，相邻的后面一个使得成立的值为：，且，当且仅当，解得：．故答案是：.6．【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.【详解】由题意得，当时，有，此时，令，则，因为时，所以，因为对于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如图所示：由图可知，，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.规律方法：求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围．【考点二】单调性与ω，φ的取值范围一、单选题1．（2024·江苏南通·二模）已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（

）A． B． C． D．4．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．若，，则将函数的图象向右平移个单位后关于y轴对称B．若，函数在上有最小值，无最大值，且，则C．若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为D．若在上至少有2个解，至多有3个解，则三、填空题5．（2024·福建厦门·二模）已知函数在上单调，，则的可能取值为.6．（2023·吉林·三模）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．参考答案：题号1234答案BABCACD1．B【分析】根据条件，利用辅助角公式得到，再利用的图象与性质，得到的单调增区间，再根据条件，可得到，即可求出结果.【详解】因为，又，由，得到，所以函数的单调增区间为，依题有，则，得到，故选：B.2．A【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数的增区间为，且，解得.由题意可知：.于是，解得.又，于是.故选：A.3．BC【分析】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项.【详解】由，，.又函数在区间上单调递减，所以，又因为，，所以，，因为，所以，因为在区间上有且仅有一个零点，所以在区间上有且仅有一个实数根，所以，解得，综上，，故BC正确，AD错误.故选：BC4．ACD【分析】根据三角函数图像平移及正弦函数性质可逐一判定各选项.【详解】对于A：若，，则，将函数的图象向右平移个单位后得，其图象关于y轴对称，故A正确；对于B：依题意，当时，有最小值，所以，所以，所以，因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得，故B错误；对于C：依题意有，则或，故C正确；对于D：因为，则或，则或，则需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，即，解得，故D正确；故选：ACD．5．【分析】根据函数的单调区间确定，再根据确定关于周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案.【详解】设的周期为T，函数在上单调，故；由以及函数在上单调，得，由，，得或或，若，则；若，则；若，则；故的可能取值为，故答案为：6．（注：可以用不等关系表示）【分析】讨论和的条件，时，，根据正余弦函数的单调区间解不等式即可.【详解】函数，当时，，当时，，时，，在上单调递增，则有或，解得，当时，有解；或，当时，有解.实数的取值范围是.故答案为：规律方法：若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解．【考点三】零点与ω，φ的取值范围一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知函数在上无零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南邵阳·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的可能值为（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江宁波·二模）已知函数，（

）A．若，则是最小正周期为的偶函数B．若为的一个零点，则必为的一个极大值点C．若是的一条对称轴，则的最小值为D．若在上单调，则的最大值为三、填空题5．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是.6．（2024·江苏南京·二模）已知函数在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为.参考答案：题号1234答案DAABCACD1．D【分析】先求出，结合正弦函数的零点可得存在整数，使得成立，故可求的取值范围.【详解】函数在上无零点，当时，，由题设可得存在整数，使得成立，解得，而，故且，故.当时，；当时，．结合可得的取值范围为．故选：D．2．A【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案.【详解】由题意可得：，因为在区间上单调递增，因为，，所以，解得：，又在区间上有且仅有1个零点，所以，，结合，所以，所以这个零点可能为或或，当时，，，解得：，当时，，，解得：，当时，无解，综上：的取值范围为.故选：A.3．ABC【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，所以.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，为；当时，为；当时，为；故选：ABC4．ACD【分析】根据选项中的条件，结合正弦函数的图像、性质逐项判断.【详解】若，则，所以是最小正周期为的偶函数，A正确；若，则是最小正周期为，若为的一个零点，则为的一个极大值点或极小值点，B错误；若是的一条对称轴，则，所以，即，又，所以的最小值为，C正确；若则，由正弦函数的单调性，令，解得，又在上单调，所以当时，，即，解得，则的最大值为，D正确.故选：ACD.5．【分析】令，然后由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出的取值范围【详解】令，，，问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点，，解得.故答案为：6．【分析】根据三角函数单调区间以及零点个数求出周期的范围，即可解得的取值范围.【详解】不妨设函数的周期为，因为在区间上单调，可得，解得；又，可得且，解得；又在区间上恰有5个零点，所以，解得综上可得，所以，解得，即的取值范围为.故答案为：规律方法：已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）设函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·江苏扬州·期末）已知满足，且在上单调，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2023·广西·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．（2022·山西·一模）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2021·浙江·模拟预测）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．7．（2023·四川内江·一模）已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（

）A． B． C． D．8．（2021·吉林·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数在上有且仅有5个零点，则（

）A．在上有且仅有3个极大值点B．在上有且仅有2个极小值点C．当时，的取值范围是D．当时，图象可能关于直线对称10．（2023·广东湛江·一模）已知，函数，下列选项正确的有（

）A．若的最小正周期，则B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．若在区间上单调递增，则的取值范围是D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是11．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（

）A． B． C． D．三、填空题12．（2024·山东烟台·一模）若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为.13．（2023·广东佛山·一模）已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是.14．（2023·天津·三模）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为．参考答案：题号12345678910答案CBBACAADACDACD题号11答案AC1．C【分析】根据二倍角公式得，进而根据求方程得或，即可列举出正的零点，列不等式即可求解.【详解】由可得，令,所以或，故函数的正零点从小到大排列为：，要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足且，解得，故选：C2．B【分析】首先根据题意确定，再代入求整体角的取值范围，得到3个零点、2个极值点的位置，解不等式求得结果.【详解】当时，无法满足函数在区间上的零点比极值点多，所以，选项表示的区间也全部在正半轴．函数在区间上恰有3个零点、2个极值点，令，则相当于函数在区间上恰有3个零点、2个极值点．如图，要使函数恰有3个零点、2个极值点，则，所以．故选：B．3．B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.【详解】满足，，，即，，在上单调，，即，当时最大，最大值为，故选：B.4．A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A5．C【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.【详解】，，其中，解得：，则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，，令，解得：；或要满足②，，令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，综上：的取值范围是.故选：C【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.6．A【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，要使该图象关于原点对称，则，，所以，，又，所以当时，取得最大值，最大值为．故选：A【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.7．A【分析】化简，得，求出函数的单调递减区间为，再根据，得，，再分别令，，，求出整数，由此可得答案.【详解】因为，由，，得，，所以函数的单调递减区间为.又函数在上单调递减，所以，所以，，因为，所以，，当时，得，得，不成立；所以不可取；当时，得，得，因为，所以时，可取到；当时，得，得，因为，所以时，可取到；当时，得，得，因为，所以时，可取到.综上所述：不能取.故选：A8．D【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.【详解】令，解得，，而函数在区间上单调递增，所以，解得，当时，，因为在区间上有且仅有一个解，所以，解得.综上所述，的取值范围是.故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.9．ACD【分析】作出函数图象结合数形结合思想即可判断AB；对于C，根据即可判断；对于D只需令解出再验证是否在C选项的范围里.【详解】因为，当时，，因为图象有5个零点，所以，即的值在与之间（包括不包括），故A正确；当的值在与之间时（包括不包括），则函数在上有3个极小值，故B错误；当时，则有，解得，故C正确；令，解得，当