2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（三）相似三角形的常见基本模型练习

方法技巧训练（三）相似三角形的常见基本模型模型1X字型及其变形（1）如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；（2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.图1图21.（2018·恩施）如图，在正方形ABCD中，G为CD边的中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为（D）A.6B.8C.10D.122.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F.若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝eq\f(3,4)，CF＝eq\f(10,3)，求BF的长.解：连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×4＝8.由勾股定理，得AC＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3).在Rt△ADB中，cos∠BAD＝eq\f(3,4)＝eq\f(AD,AB)，∴eq\f(3,4)＝eq\f(AD,8)，∴AD＝6.∴BD＝eq\r(82－62)＝2eq\r(7).∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，∴△DFB∽△AFC.∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(BD,CA)，即eq\f(BF,\f(10,3))＝eq\f(2\r(7),4\r(3))，解得BF＝eq\f(5\r(21),9).模型2A字型及其变形（1）如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；（2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；（3）如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC2＝AD·AB.,图1),图2),图3)3.如图，正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，求EG的长.解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∴∠BAG＝∠AGB＝72°，∴AB＝BG＝AE＝2.∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，∴△AEG∽△BEA.∴AE2＝EG·EB，即22＝EG·（EG＋2）.解得EG＝－1＋eq\r(5)或－1－eq\r(5)（不合题意，舍去）.∴EG＝eq\r(5)－1.模型3双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.4.（2018·南通）正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为（C）A.eq\f(5\r(5),6)B.eq\f(2\r(5),3)－1C.eq\f(4\r(5),15)D.eq\f(\r(3),3)5.（2018·娄底改编）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，求AE·BE的值.解：连接OE.∵半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE.∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∴∠OAB＋∠OBA＝90°.∴∠AOB＝90°.∵∠OAE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠BOE＝90°，∴∠EAO＝∠EOB.∵∠AEO＝∠OEB＝90°，∴△AEO∽△OEB.∴eq\f(AE,OE)＝eq\f(OE,BE)，即AE·BE＝OE2＝OC2＝1.模型4一线三等角型（1）如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD；（此图又叫作“三垂图”）图1图2（2）如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.6.如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP>AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处.（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，求AB的长.解：（1）有三对相似三角形：△AMP∽△BPQ∽△CQD.（2）设AP＝x，由折叠的性质，得BP＝AP＝EP＝x.∴AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ，得eq\f(AM,BP)＝eq\f(AP,BQ)，∴BQ＝x2.由△AMP∽△CQD，得eq\f(AP,CD)＝eq\f(AM,CQ)，∴CQ＝2.AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1.在Rt△FDM中，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，DF＝DC＝2x，∴eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(3,5).解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)（不合题意，舍去）.∴AB＝2x＝6.7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.（1）求证：AC·CD＝CP·BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠CPD，∴∠BAP＝∠CPD.∴△ABP∽△PCD.∴eq\f(BP,CD)＝eq\f(AB,PC).∴AB·CD＝PC·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.（2）∵PD∥AB，∴∠AP