宁夏银川市2025届高三数学上学期第一次月考理试题含解析

Page17宁夏银川市2024届高三数学上学期第一次月考（理）试题（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合，再求集合与的并集【详解】由题意得，则．故选：C2.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值解除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案【详解】对于，令，，，满意，但不满意，故解除对于，令，，故解除对于，为减函数，当时，，故恒成立对于，令，，故解除故选【点睛】本题主要考查了简洁的函数恒成立问题，可以依据不等式的性质和函数的单调性，通过特值解除，属于基础题．3.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用函数的奇偶性与单调性逐个分析每个选项即可.【详解】对于选项A，易知为偶函数，因为，，所以，，所以的单调增区间为，，又因为不是的子集，故选项A错误；对于选项B，易知为偶函数，因为当时，在上单调递增，故选项B正确；对于选项C，因，则，所以为奇函数，故选项C错误；对于选项D，因为，则,所以为非奇非偶函数，故选项D错误.故选：B.4.下列命题错误的是()A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件D.“”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】依据逆否命题的定义可推断A；依据否命题的定义可推断B；求出、，依据充分条件和必要条件的概念可以推断C；解出不等式，依据充分条件和必要条件的概念可推断D.【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；或x＜1，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：C5.已知、满意约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出可行域，平移直线，找出访得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出可行域如下图所示：联立可得，即点，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故选：A.6.设函数，则（）A5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】依据给定的分段函数，推断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因，则，而，所以.故选：D7.命题p：，q：，若非p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解肯定值不等式及含参一元二次不等式，然后依据是的充分不必要条件得到不等式组进行求解.【详解】∵：，解得：，∴：或，：，，解得：或，又∵是的充分不必要条件，∴，，∴，解得，∴a的取值范围为.故选：D.8.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据解析式推断定义域，由奇偶性定义推断对称性，再结合的符号，即可确定图象.【详解】由，所以的定义域是，又，所以是奇函数，图象关于原点对称，且.故选：C9.药物半衰期指的是血液中的药物浓度（简称血药浓度）从最高血药浓度减低到最高值的二分之一所花费的时间.例如一种药物的半衰期为6小时，那么当血药浓度达到最高值后，过6个小时血药浓度为最高值的一半；再过6小时又减为一半，此时血药浓度为最高值的四分之一；…某人服用一种药物2小时后，血药浓度达到最高值，然后起先减低.若该药物的半衰期为4小时，则该药物血药浓度起先低于最高值的3%时的服药时间至少为（）（保留整数）（参考数据）A.12小时 B.21小时 C.23小时 D.30小时【答案】C【解析】【分析】依据题意可列式，再两边取对数，结合对数的运算与所给数据求解即可.【详解】设服药小时后血药浓度起先低于最高值的，则，即，得.所以服药时间至少为23小时.故选：C10.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A[–1，0） B.[0，+∞） C.[–1，+∞） D.[1，+∞）【答案】C【解析】【详解】分析：首先依据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，依据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发觉，当时，满意与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发觉当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满意，即，故选C.点睛：该题考查是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.11.已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值是（）A.2 B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】先由可得的周期为6，再结合为奇函数，可得的对称轴，然后对化简计算即可.【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以，由得，，所以所以函数为周期函数，周期为6，所以，，由函数为奇函数，得，得函数图象关于对称，即，所以．故选：A12.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，且当时，，所以当时，，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，又当时，，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算实力，属于中档试题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题p：“”则为_______________.【答案】【解析】【分析】干脆依据特称命题的否定为全称命题，即可得答案.【详解】因为命题p为特称命题，所以命题p：“”的否定为：.故答案为：.14.若函数的定义域，值域为，则m的最大值是________．【答案】5【解析】【分析】依据题意，的对称轴为，且，结合二次函数的性质分析可得结果.【详解】∵的对称轴为，且，又∵函数的定义域为，值域为，∴，∴m的最大值为5.故答案为：5.15.已知函数满意对随意的，都有成立，则的取值范围是．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为对随意的，都有成立，所以函数为减函数，需满意，所以的取值范围是16.已知函数，若（且），则a的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】依据奇偶性定义推断为偶函数，由解析式推断的单调性，再探讨a的范围，并利用偶函数和单调性求参数的范围.【详解】由且定义域为R，所以为偶函数，当时为增函数，故在上为减函数，综上，由，即或，当时，则；当时，则，所以a的取值范围为.故答案为：三、（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．）（一）必考题：（共60分）17.已知集合．（1）若，，求实数m的取值范围；（2）若或，，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，再由集合包含关系得结论．（2）由并集的结果可得参数范围．【小问1详解】由，知，所以，即实数m的取值范围为．【小问2详解】由题意，得，解得，即实数m的取值范围为．18.已知定义域为的函数为奇函数．（1）求的值；（2），恒成立，求的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）依据奇函数的性质和定义进行求解即可；（2）依据函数的单调性和奇偶性及一元二次函数的恒成立进行求解即可.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则（经检验，时为奇函数，满意题意）．【小问2详解】因为是奇函数，所以不等式等价于，又由（1）知，易知是上的减函数，所以，即对随意的有恒成立，从而对应方程的根的判别式，解得．所以的取值范围为．19.已知函数是偶函数．当时，过点．（1）求实数a的值；（2）求函数的解析式；（3）求不等式的解集．【答案】（1）（2）（3）或.【解析】【分析】（1）待定系数法求得a的值.（2）由偶函数的性质求得函数在对称区间上的解析式.（3）方法1：求解分段函数不等式.方法2：依据偶函数的性质和单调性解不等式.【小问1详解】因为当时，过点，所以，解得.【小问2详解】设，则，∵时，∴，又∵为偶函数，∴.综上所述，.【小问3详解】方法1:∵，∴或，解得：或.故不等式解集为：或.方法2：∵为偶函数，∴，又∵，，∴又∵当时，，∴在上单调递减，∴，解得：或.故不等式解集为：或.20.武清政府为增加农夫收入，依据本区区域特点，主动发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器修理等缘由，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.（1）求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；（2）求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.【答案】（1）；（2）加工（吨），利润的最大值6万元.【解析】【分析】（1）依据已知条件及投入成本函数，探讨、对应利润函数式，即可得其分段函数形式；（2）分别求出不同分段上的最值，并比较大小，即可得结果.【小问1详解】当时，.当时，.故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：.【小问2详解】当时，，所以时，取得最大值5万元；当时，因为，当且仅当时，等号成立，所以当时，取得最大值6万元，因为，故当时，取得最大值6万元.21.已知关于的不等式.（1）若的解集为，求实数的值；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1），；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）由不等式的解集得相应方程的根，由韦达定理列方程组求解；（2）先依据分类探讨，在时，再依据两根的大小分类探讨得结论．【小问1详解】因为的解集为，所以方程的两个根为，由根与系数关系得:，解得；【小问2详解】，当a=0，不等式为，不等式的解集为；当时，不等式化为，不等式的解集为当时，方程的两个根分别为：.当时，两根相等，故不等式的解集为；当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为或，.综上：当时，不等式的解集为当a=0，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（二）选考题（共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，假如多做．则按所做的第一题记分．）[选修4－4：坐标系与参数方程]22.已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点，倾斜角为.（1）求曲线的一般方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程消去参数，可得曲线的一般方程；（2）将直线的参数方程与曲线的一般方程进行联立，设，对应的参数分别为，,可得、的值，可得的值【小问1详解】曲线的参数方程为（为参数）转换为直角坐标方程为：.【小问2详解】直线过点，倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），把直线的参数方程（为参数）代入，得，设、两点所对应的参数为，故.∴.[选修4—5：不等式选讲]23.已知a，b，c为正数，函数f