适用于新教材2025版高考数学一轮总复习第五章三角函数解三角形课时规范练24正弦定理和余弦定理北师大版

课时规范练24基础巩固组1.(2024·山东济南高三月考)在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积等于()A.9 B.18 C.93 D.183答案:C解析:依据正弦定理,得BCsinA=ACsinB,所以AC=BC×sinBsinA=63.因为C=180°-B-A=30°,所以S△ABC=12.(2024·湖北宜昌高三期中)在△ABC中,若b=2,A=120°,△ABC的面积S=3,则△ABC的外接圆的半径为()A.3 B.2 C.23 D.3答案:B解析:由S=12bcsinA=csin120°=32c=3,解得c=2,由余弦定理,得a=b2+c2-2bccosA=4+4-8cos120°=23.令△3.(2024·湖南岳阳高三月考)在△ABC中,若acosA-ccosC=0,则△ABC是()三角形.A.等腰 B.直角C.等边 D.等腰或直角答案:D解析:因为acosA-ccosC=0,由正弦定理,得sinAcosA-sinCcosC=0,即12sin2A-12sin2C=0,即sin2A=sin2C,所以2A=2C或2A=π-2C,即A=C或A+C=π2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形4.(2024·河南郑州高三月考)在△ABC中,B=120°,AB=2,角A的角平分线AD的长为3,则AC= ()A.2 B.3 C.6 D.3答案:C解析:设∠BAC=2α,则0°<2α<60°,0°<α<30°.在△ABD中,∠BAD=α,由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,即3sin120°=2sin(60°-α),所以sin(60°-α)=22,-30°<-α<0°,30°<60°-α<60°,所以60°-α=45°,α=15°,∠BAC=2α=30°,则5.(多选)(2024·山东青岛高三期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能推断△ABC是钝角三角形的有()A.acosA=bcosBB.AB·BC=C.aD.bcosC+ccosB=b答案:BC解析:对于A,由acosA=bcosB及正弦定理,可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=π2,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故A不能推断;对于B,由AB·BC=-accosB=2a,得cosB<0,则B为钝角,故B能推断;对于C,由正弦定理,得a-bc+b=ca+b,得b2+c2-a2=-bc,则cosA=-12,A=2π3,故C能推断;对于D,由bcosC+ccosB=b及正弦定理化边为角,可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sinA=sinB6.(多选)(2024·浙江杭州高三模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinB=3bcosA,a=3.若点D在边BC上,且BD=2DC,O是△ABC的外心,则下列推断正确的是()A.A=πB.△ABC的外接圆半径R为3C.OD=1D.AD=2答案:BC解析:对于A,在△ABC中,0<A,B,C<π,因为asinB=3bcosA,所以sinAsinB=3sinBcosA.又sinB>0,所以tanA=3,A=π3,故A错误;对于B,又a=3,所以asinA=2R=332=23,故R=3,故选项B正确;对于C,取BC的中点M,如图所示,在Rt△BOM中,BM=12BC=32,OM=OB2-BM2=(3)27.(2024·全国乙,文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

答案:22解析:由题意可知△ABC的面积S=12acsin60°=3,整理得ac=4结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.8.(2024·山东潍坊高三月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sinB-sinC≥2sinAcosC,则角A的取值范围为.

答案:0解析:由2sinB-sinC≥2sinAcosC,可得2sin(A+C)-sinC≥2sinAcosC,整理得2cosAsinC-sinC≥0,因为sinC>0,所以cosA≥12,又A∈(0,π),所以A∈09.(2024·辽宁沈阳高三期中)如图所示,四边形ABCD是由等腰直角三角形BCD以及直角三角形ABD拼接而成,其中∠ADB=∠BCD=90°,tan2∠ABD=43,若BC=2,则点A与点C的距离为答案:10解析:因为tan2∠ABD=2tan∠解得tan∠ABD=12或tan∠ABD=-2(舍去),由sin∠ABDcos∠ABD=12,sin2∠ABD+cos2∠ABD=1,解得cos∠ABD=255,因为△BCD是等腰直角三角形,∠综合提升组10.(2024·广东惠州高三月考)设△ABC的面积为S,若4cos2A-1=cos2B+2cos2C,则SAB·ACA.32 B.33 C.15答案:C解析:因为4cos2A-1=cos2B+2cos2C,所以4(1-2sin2A)-1=1-2sin2B+2(1-2sin2C),整理得4sin2A=sin2B+2sin2C,即4a2=b2+2c2,a2=14b2+12c2.于是cosA=b2+c2-a22bc=34b2+111.(2024·重庆一中高三月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3a2=(c+b)(c-b),则tanA·tanB的取值范围是.

答案:0解析:由题意得3a2=(c+b)(c-b),依据余弦定理,得bcosC+a=0,所以由正弦定理,得sinBcosC+sinA=0,即sinBcosC+sin(C+B)=0,化简得tanC=-2tanB,又0<B<π,所以tan2B>0,又tanA·tanB=-tan(B+C)·tanB=-tanB+tan=-tanB+=11所以0<tanA·tanB<12创新应用组12.(2024·全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=答案:3-1解析:(方法1)令BD=t,则