2025版新教材高中数学第五章概率5.4随机事件的独立性导学案湘教版必修第二册

5.4随机事务的独立性最新课程标准学科核心素养1.结合有限样本空间，了解两个随机事务独立性的含义．2．结合古典概型，利用独立性计算概率．1.会对事务的独立性进行推断．(逻辑推理)2．利用相互独立事务的性质及概率公式，会求相互独立事务同时发生的概率．(逻辑推理、数学运算)教材要点要点一相互独立事务的概念设A，B为两个事务，若P(A∩B)＝________成立，则称事务A与事务B状元随笔(1)必定事务Ω和不行能事务∅都与任何事务独立．(2)事务A，B相互独立，即事务A是否发生对事务B发生没有影响，且事务B是否发生对事务A发生也没有影响．要点二相互独立事务的概率若事务A，B独立，则P(A∩B)状元随笔(1)若事务A，B相互独立，则A与B，A与B，A与(2)留意相互独立事务与互斥事务的区分．基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不行能事务与任何一个事务相互独立．()(2)必定事务与任何一个事务相互独立．()(3)若两个事务互斥，则这两个事务相互独立．()(4)“P(A∩B)＝P(A)·P(B)”是“事务A，B2．一个不透亮的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示其次次摸得白球，则A1与A2是()A．相互独立事务B．不相互独立事务C．互斥事务D．对立事务3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是()A．1425B．1225C．34．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．题型1相互独立事务的推断例1(多选)下列各对事务中，为相互独立事务的是()A．掷一枚骰子一次，事务M“出现偶数点”；事务N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事务M“第一次摸到白球”，事务N“其次次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事务M“第一次摸到白球”，事务N“其次次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲竞赛，事务M“从甲组中选出1名男生”，事务N“从乙组中选出1名女生”方法归纳推断两个事务是否相互独立的方法(1)定量法：利用P(A∩B)＝P(A)P(B(2)定性法：直观地推断一个事务的发生对另一个事务的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事务．跟踪训练1已知事务A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是()A．假如B⊆A，那么P(A∪B)＝0.2，P(ABB．假如A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABC．假如A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(ABD．假如A与B相互独立，那么P(AB)＝0.4，P(AB题型2相互独立事务概率的计算例2依据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．方法归纳1．求相互独立事务同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事务之间是相互独立的；(2)确定这些事务可以同时发生；(3)求出每个事务的概率，再求积．2．运用相互独立事务同时发生的概率计算公式时，要驾驭公式的适用条件，即各个事务是相互独立的，而且它们同时发生．跟踪训练2甲、乙两人组队参与答题竞赛，每轮竞赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为2求：(1)甲，乙在两轮竞赛中分别答对1道题和2道题的概率；(2)该队伍在两轮竞赛中答对3道题的概率．题型3相互独立事务的综合应用例3为普及抗疫学问、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫学问挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②选手若答对第Ti题，则接着作答第Ti＋1题；选手若答错第Ti题，则失去第Ti＋1题的答题机会，从第Ti＋2题起先接着答题；直到3道题目出完，挑战结束；③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战胜利，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34(1)挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率P1；(2)挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率P2；(3)选手甲闯关胜利的概率P3.方法归纳求较为困难事务的概率的方法(1)列出题中涉及的各事务，并且用适当的符号表示；(2)理清事务之间的关系(两事务是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)依据事务之间的关系精确选取概率公式进行计算；(4)当干脆计算符合条件的事务的概率较困难时，可先间接地计算对立事务的概率，再求出符合条件的事务的概率．跟踪训练3为普及抗疫学问、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫学问竞赛．竞赛共分为两轮，每位参赛选手均须参与两轮竞赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为赢得竞赛．已知在第一轮竞赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，3(1)从甲、乙两人中选取1人参与竞赛，派谁参赛赢得竞赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参与竞赛，求两人中至少有一人赢得竞赛的概率．易错辨析混淆互斥事务和独立事务的概念例4甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解析：记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事务，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.易错警示易错缘由纠错心得错误地把相互独立事务当成互斥事务来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．首先理解清晰互斥事务与相互独立事务的概念，并且区分计算概率的公式．A，B为互斥事务时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事务时，有概率公式为P(A∩B)＝P(A)P(课堂非常钟1．(多选)下面结论正确的是()A．若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与B是互为对立事务B．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事务A与BC．若事务A与B是互斥事务，则A与B也是互斥事务D．若事务A与B是相互独立事务，则A与B也是相互独立事务2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参与演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A．524B．512C．13．甲、乙两人同时报考某一所高校，甲被录用的概率为0.6，乙被录用的概率为0.7，两人是否被录用互不影响，则其中至少有一人被录用的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.884．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为135．某人遗忘了电话号码的最终一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事务的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．5．4随机事务的独立性新知初探·课前预习要点一P(A)P(B)要点二P(A)P(B)[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：事务A1是否发生对事务A2发生的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事务．答案：A3．解析：设“甲命中目标”为事务A，“乙命中目标”为事务B，依据题意知，P(A)＝810＝45，P(B)＝710，且A与B相互独立，故他们都命中目标的概率为P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝答案：A4．解析：设A1，A2，A3分别表示在A，B，C三处不停车，由题意可知，A1，A2，A3相互独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)分别为512，712，34答案：35题型探究·课堂解透例1解析：样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事务M＝{2，4，6}，事务N＝{3，6}，事务M∩N＝{6}，∴P(M)＝36＝12，P(N)＝26＝13，P(M∩N)＝12×13＝16，即P(M∩N)＝P(M)P(N)，故事务M与答案：ABD跟踪训练1解析：假如B⊆A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A选项错误；假如A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B选项正确；假如A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.1，故C选项错误；假如A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.4，P(AB)＝P(A)·答案：BD例2解析：(1)记A表示事务“购买甲种保险”，B表示事务“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事务，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.记C表示事务“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝A∩B，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A(2)记D表示事务“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝A∩B，所以P(D)＝P(A∩B)＝P(A)跟踪训练2解析：(1)设A1，A2分别表示甲两轮答对1道题，2道题的事务，B1，B2分别表示乙两轮答对1道题，2道题的事务，依题意得：P(A1)＝2·34·14＝38，P(A2)＝3P(B1)＝2·23·13＝49，P(B2)＝2(2)设A＝“两轮竞赛队伍答对3道题”，则A＝A1∩B2+A2∩B1，且A1∩B2与A2∩B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1∩B2)+P(A2∩B1)＝P(A1)P(B2)＋P例3解析：设Ai为选手答对Ti题，其中i＝1，2，3.(1)设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事务A，选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以A＝A1∩A2∩A3，所以，由事务独立性的定义得P1＝P(A)＝P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A(2)设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事务B，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错，所以B＝A1∪A1A2由概率的加法公式和事务独立性的定义得P2＝P(B)＝P[A1∪(A1∩A2)]＝(3)设选手甲挑战胜利为事务C，若选手甲挑战胜利，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题所以“选手甲闯关胜利”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事务，所以C＝B.依据对立事务的性质得P3＝P(C)＝P(B)＝1－P(B)＝1－716＝9跟踪训练3解析：(1)设A1＝“甲在第一轮竞赛中胜出”，A2＝“甲在其次轮竞赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮竞赛中胜出”，B2＝“乙在其次轮竞赛中胜出”，则A1∩A2＝“甲赢得竞赛”，P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2B1∩B2＝“乙赢得竞赛”，P(B1∩B2)＝P(B1)P(B2因为25>3(2)由(1)知，设C＝“甲赢得竞赛”，D＝“乙贏得竞赛”，则P(C)＝1－P(A1∩A2)＝1－2P(D)＝1－P(B1∩B2)＝1－3于是C∪DP(C∪D)＝1－P(C∩D)＝1－P(C)P(D)＝1－3[课堂非常钟]1．解析：要使A，B为对立事务，除P(A)＋P(B)＝1还需满意P(AB)＝0，也即A，B不能同时发生，所以A选项错误；若A包含于B，则A与B不是互斥事务，所以C选项错误；依据相互独立事务的学问可知，B，D选项正确．答案：BD2．解析：两班各自派出代表是相互独立事务，设事务A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事务A∩B为两班派出的都是三好学生，则P(A∩B)＝P(A)P(B)＝936答案：C3．