2025版新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角导学案新人教A版必修第一册

5.1.1随意角【学习目标】(1)理解随意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来探讨随意角．(2)能在指定范围内，找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角．(3)能写出与任一已知角终边相同的角的集合．(4)娴熟驾驭象限角与轴线角的集合表示．(5)会写出某个区间上角的集合．题型1随意角的概念【问题探究1】(1)回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？(2)在跳水竞赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角度表示吗？例1将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是()A．10°B．15°C．30°D．－30°学霸笔记：处理随意角问题的两个关键点(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：依据旋转角度的肯定值确定角的大小．跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°题型2象限角【问题探究2】为了进一步探讨角的须要，我们常在直角坐标系内探讨角，并使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个随意角，角的终边可能落在哪些位置？例2下列命题中正确的是()A．第一象限角肯定不是负角B．钝角肯定是其次象限角C．小于90°的角肯定是锐角D．第一象限角肯定是锐角学霸笔记：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，须要驾驭推断结论正确与否的技巧，推断结论正确须要证明，而推断结论不正确只须要一个反例即可．跟踪训练2给出四个命题：①－60°是第四象限角；②235°是第三象限角；③475°是其次象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的有()个．A．1B．2C．3D．4题型3终边相同的角【问题探究3】在同一平面直角坐标系中画出以下几个角：30°，－30°，390°，－330°.我们发觉30°，390°，－330°这三个角的终边都是同一条射线，它们的终边相同．你还能找出哪些以这一条射线为终边的角？与30°终边相同的角与30°有什么关系？与30°终边相同的角的集合如何表示？例3已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满意下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．题后师说在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤跟踪训练3(1)下列各角中，与26°角终边相同的角为()A．206°B．－334°C．116°D．－154°(2)终边落在x轴上的角的集合为________．题型4区域角的表示例4写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．题后师说表示区域角的一般步骤跟踪训练4表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴、终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界)．随堂练习1.现有如下三个集合，A＝{钝角}，B＝{其次象限角}，C＝{小于180°的角}，则下列说法正确的是()A．A＝BB．B＝CC．A⊆BD．B⊆C2．与－20°角终边相同的角是()A．－300°B．－280°C．320°D．340°3．已知角α＝563°，那么α的终边在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限4．小于360°且终边与角－45°重合的正角是________．课堂小结1.随意角、终边相同的角的概念．2．与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，这一结果表示角周而复始的改变规律，同时，它也是探讨角之间关系的最为基础的学问．5．1.1随意角问题探究1提示：(1)角可以看成一条射线围着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.(2)“转体两周”指顺时针旋转720°或逆时针旋转720°.“向前翻转两周半”指顺时针或逆时针旋转900°，转的角度不能用0°到360°的角表示．例1解析：分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以124答案：B跟踪训练1解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－答案：B问题探究2提示：第一、其次、第三、第四象限或坐标轴上．例2解析：对于A，令α＝－300°＝60°－360°，明显α是第一象限角，同时也是负角，故A错误；对于B，不妨设θ是钝角，则90°<θ<180°，所以θ肯定是其次象限角，故B正确；对于C，令β＝－60°，明显β是小于90°的角，但不是锐角，故C错误；对于D，令α＝－300°＝60°－360°，明显α是第一象限角，但不是锐角，故D错误．故选B.答案：B跟踪训练2解析：对①：－60°是第四象限角，故①正确；对②：180°<235°<270°，故其为第三象限角，故②正确；对③：475°＝360°＋115°，115°是其次象限角，故475°是其次象限角，③正确；对④：－315°＝－360°＋45°，45°是第一象限角，故－315°是第一象限角，④正确．故正确的有4个．故选D.答案：D问题探究3提示：与30°、390°、－330°终边相同的角还有750°，－690°等，这样的角有多数个，它们之间相差360°的整数倍，全部与30°角终边相同的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．例3解析：因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.跟踪训练3解析：(1)与26°角终边相同的角为θ＝360°·k＋26°，k∈Z，对选项A：取θ＝360°·k＋26°＝206°，k不是整数解，解除；对选项B：取θ＝360°·k＋26°＝－334°，k＝－1，正确；对选项C：取θ＝360°·k＋26°＝116°，k不是整数解，解除；对选项D：取θ＝360°·k＋26°＝－154°，k不是整数解，解除．故选B.(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又全部与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，全部与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈答案：(1)B(2){β|β＝k·180°，k∈Z}例4解析：先写出边界角，再按逆时针依次写出区域角，则得①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．跟踪训练4解析：图(1)中，330°＝360°－30°，∴对应为k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z，即对应角的集合为{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．图(2)中，225°＝360°－135°，∴对应为k·360°－135°<θ<k·360°＋135°，k∈Z，即对应角的集合为{θ|k·360°－135°<θ<k·360°＋135°，k∈Z}．[随堂练习]1．解析：钝角是大于90°，且小于180°的角，肯定是其次象限角，故A⊆B；其次象限角的范围是90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，即其次象限角不肯定小于180°，故ABD错误，C正确．故选C.答案：C2．解析：因为与－20°角终边相同的角是－20°＋360°k，k∈Z，当k＝1时，这个角为3