2025届山东省牟平一中高三最后一卷数学试卷含解析

2025届山东省牟平一中高三最后一卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（）A． B． C． D．2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为()A． B． C．或 D．或3．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则（）A． B． C． D．26．“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点成中心对称C．函数在单调递增D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称8．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格10．若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（）A． B． C． D．12．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)14．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.15．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.16．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．18．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.19．（12分）在四棱锥的底面是菱形，底面，，分别是的中点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.20．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值.22．（10分）已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为.故选：A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.2、D【解析】

由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.3、A【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．考点：集合的运算．4、C【解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.5、B【解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由，以及，解得..故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.6、C【解析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.7、B【解析】

根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．8、B【解析】

转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【详解】由，可知．设，则，所以函数在上单调递增，所以．所以．故的取值范围是．故选：B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9、D【解析】

先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.10、D【解析】

根据复数的运算，化简得到，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算，可得，所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、D【解析】

如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.因为，故四边形为平行四边形，故.又双曲线为中心对称图形，故.设，则，故，故.因为为直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.12、D【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．【详解】直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），设双曲线方程为：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴离心率e1，故选：D．【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生，故选派的方法为：.故答案为．【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．14、(或写成)【解析】试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间15、【解析】

先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.【详解】解：,，,，设球O1的半径为，由题得，所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16、【解析】

直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.【详解】解：的实部与虚部相等,所以,计算得出.故答案为:【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．（2）证明：因为，所以．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、（Ⅰ）（Ⅱ）8【解析】

（Ⅰ）由余弦定理可得，即可求出A,（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【详解】（Ⅰ）由余弦定理，所以，所以，即，因为，所以；（Ⅱ）因为，所以，因为，，由正弦定理得，所以.【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】

(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：，设平面的一个法向量为,则：，据此可得平面的一个法向量为，而，设直线与平面所成角为，则.(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，设，，据此可得：，即：,从而点F的坐标为，据此可得：,，结合题意有：，解得：.故点F为中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、(1)见详解；(2).【解析】

(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以.而在中,，即二面角的度数为.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为