2025届江西省浮梁一中高三第一次调研测试数学试卷含解析

2025届江西省浮梁一中高三第一次调研测试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：，，则为()A．， B．，C．， D．，2．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A．1 B．2 C． D．43．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于()A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知集合，，则集合的真子集的个数是（）A．8 B．7 C．4 D．37．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（）A． B．C． D．9．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B． C．4 D．10．（）A． B． C． D．11．若x,y满足约束条件的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,12．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________．14．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．15．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_.16．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18．（12分）一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）设抛掷4次的得分为，求变量的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为时，游戏停止，记得分的概率和为.①求；②当时，记，证明：数列为常数列，数列为等比数列.19．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.20．（12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由.21．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.22．（10分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，.故选：.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.2、B【解析】

因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于半径，可知的值为2，选B.【详解】请在此输入详解！3、B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.4、D【解析】

根据演绎推理进行判断．【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁．故选：D．【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．5、A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.6、D【解析】

转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得，，集合的真子集的个数为个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.7、D【解析】

根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数在上单调递增，

当，若为增函数，则①，

当，若为增函数，必有在上恒成立，

变形可得：，

又由，可得在上单调递减，则，

若在上恒成立，则有②，

若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有，③

联立①②③可得：.

故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.8、C【解析】

先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.【详解】由题可得：（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有解得.若不等式有解，所以因为.设，，故在上单调递增，故，所以，所以的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.9、D【解析】

根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，∴四棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.10、D【解析】

利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【详解】由所以，所以原式所以原式故故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.11、D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．12、B【解析】

利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.【详解】，解得（当且仅当时取等号），则②正确；将和联立，解得，即圆与曲线C相切于点，，，，则①和③都错误；由，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式所以即可得出答案.【详解】解:正三棱柱的所有棱长均为2,则,点到平面的距离为点到直线的距离所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.14、【解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，则该几何体的体积为，，，因此，该棱锥的最长棱的长度为.故答案为：；.【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15、【解析】

根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数取得最小值.【详解】由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点此时，目标函数取得最小值，最小值为故答案为：-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.16、【解析】

依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有解得，故该圆锥的体积为。【点睛】本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由题意可知为正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，设平面的法向量为，则令，则，∴由（1）知平面的法向量可取为∴∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①；②证明见解析【解析】

（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量的分布列和数学期望；（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得；②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，可知当且时，，结合，可推出，从而可证明数列为常数列；结合，可推出，进而可证明数列为等比数列.【详解】（1）变量的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率也为，则，.所以变量的分布列为：45678故变量的数学期望为.（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为.②得分分两种情况，第一种为得分后抛掷一次正面向上，第二种为得分后抛掷一次反面向上，故且时，有，则时，，所以，故数列为常数列；又，，所以数列为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.19、（1）：，：；（2）【解析】

（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.【详解】（1）消去参数，得直线的普通方程为，将两边同乘以得，，∴圆的直角坐标方程为；（2）经检验点在直线上，可转化为①，将①式代入圆的直角坐标方程为得，化简得，设是方程的两根，则，，∵，∴与同号，由的几何意义得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.20、（1）；（2）见解析【解析】

（1）根据点到直线的距离公式可求出a的值，即可得椭圆方程；（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根据，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根据向量的运算可得，即可证明．【详解】（1）左顶点A的坐标为（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴椭圆C的标准方程为+y2＝1，（2）由题意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），则依题意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴•＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题.21、（1）见解析；（2）【解析】

分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.详解：（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，