《第6章 图形的相似》试卷及答案-初中数学九年级下册-苏科版-2024-2025学年

《第6章图形的相似》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在下列各组图形中，如果两个三角形相似，则正确的是（）A.一个三角形的边长分别是3、4、5，另一个三角形的边长分别是6、8、10B.一个三角形的内角分别是30°、60°、90°，另一个三角形的内角分别是45°、45°、90°C.一个三角形的周长是12，另一个三角形的周长是18，它们的面积比是4：9D.一个三角形的边长比另一个三角形的边长长20%2、如果两个相似三角形的相似比是2：3，那么它们的面积比是（）A.2：3B.4：9C.6：9D.12：183、在下列图形中，哪些图形是相似图形？（）A.一个等腰三角形的底边长是8cm，高是6cm，另一个等腰三角形的底边长是10cm，高是7.5cmB.一个正方形的边长是4cm，另一个正方形的边长是6cmC.一个圆的半径是5cm，另一个圆的半径是10cmD.一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，另一个直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm4、已知两个相似三角形的相似比为2：1，如果较大三角形的周长是30cm，那么较小三角形的周长是多少cm？（）A.10cmB.15cmC.20cmD.30cm5、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点O的对称点B的坐标是（）A.(-3,-4)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(4,-3)6、在相似三角形中，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.可能全等，可能相似7、已知两个相似三角形的面积比为9:4，那么这两个相似三角形的周长比是（）A.3:2B.2:3C.3:4D.4:38、在相似三角形中，如果一个角是直角，那么这个直角三角形的相似比是（）A.1:1B.任意值C.不确定D.与另一边长成比例9、在下列各组图形中，一定成相似形的是：A.两个等边三角形B.两个等腰三角形C.两个直角三角形D.两个矩形10、已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，那么下列结论正确的是：A.AB是斜边B.BC是斜边C.AC是斜边D.不能确定哪条边是斜边二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB=8cm，AC=6cm。求三角形ABC的外接圆半径。第二题：在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(8,1)是两个顶点。若以OA为一边，构造一个与三角形AOB相似的三角形，其中另一边OB的长度是原来的1/2。请求出所构造的相似三角形中，与OB对应的边的长度。第三题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。点D在AC上，且AD:DC=2:3，点E在AB上，且AE:EB=3:2。（1）求DE的长度。（2）求∠ADE的度数。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=6cm。点D、E分别在边AC和BC上，使得∠ADB=∠AEB=30°，且AD=DE=EB。（1）求证：三角形ADB与三角形AEB相似。（2）求三角形ADE的面积。第二题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。点D在AC边上，且AD=3cm。点E在AB边上，且AE=2cm。求证：△ABC∽△AED。第三题：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=AC=2√2。点D在BC上，且AD⊥BC，求三角形ABD和三角形ACD的面积比。第四题：在直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(-1,5)。点C在直线y=x上，且△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标。第五题：已知三角形ABC的边长分别为AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，三角形DEF与三角形ABC相似，且DE=4cm，EF=6cm。求三角形DEF的第三边DF的长度。第六题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是边AB上的一点，使得AD:DB=2:3。求证：三角形ADC与三角形BDC相似。第七题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D在边AC上，且BD=2BC。求证：三角形ABD与三角形ACD相似。《第6章图形的相似》试卷及答案一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在下列各组图形中，如果两个三角形相似，则正确的是（）A.一个三角形的边长分别是3、4、5，另一个三角形的边长分别是6、8、10B.一个三角形的内角分别是30°、60°、90°，另一个三角形的内角分别是45°、45°、90°C.一个三角形的周长是12，另一个三角形的周长是18，它们的面积比是4：9D.一个三角形的边长比另一个三角形的边长长20%答案：C解析：根据相似三角形的性质，相似三角形的边长比相等，面积比等于边长比的平方。选项A中两个三角形的边长比是3：6和4：8，即1：2，面积比是1：4，与题目中的比例不符；选项B中的两个三角形都是直角三角形，但不一定相似，因为它们的角不一定相等；选项D中只给出了边长比，没有给出具体的数值，无法判断相似性。选项C中两个三角形的周长比是12：18，即2：3，面积比是4：9，符合相似三角形的性质。2、如果两个相似三角形的相似比是2：3，那么它们的面积比是（）A.2：3B.4：9C.6：9D.12：18答案：B解析：相似三角形的面积比等于相似比的平方。如果相似比是2：3，那么面积比就是2²：3²，即4：9。因此，选项B正确。3、在下列图形中，哪些图形是相似图形？（）A.一个等腰三角形的底边长是8cm，高是6cm，另一个等腰三角形的底边长是10cm，高是7.5cmB.一个正方形的边长是4cm，另一个正方形的边长是6cmC.一个圆的半径是5cm，另一个圆的半径是10cmD.一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，另一个直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm答案：A、D解析：相似图形的定义是对应角相等，对应边成比例。A选项中两个等腰三角形的底边和高不成比例，因此不是相似图形。B选项中两个正方形的边长成比例，因此是相似图形。C选项中两个圆的半径成比例，因此是相似图形。D选项中两个直角三角形的对应边长成比例，因此是相似图形。4、已知两个相似三角形的相似比为2：1，如果较大三角形的周长是30cm，那么较小三角形的周长是多少cm？（）A.10cmB.15cmC.20cmD.30cm答案：B解析：相似三角形的周长比等于它们的相似比。因此，如果两个相似三角形的相似比为2：1，那么它们的周长比也是2：1。较大三角形的周长是30cm，所以较小三角形的周长是30cm÷2=15cm。5、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点O的对称点B的坐标是（）A.(-3,-4)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(4,-3)答案：A解析：点A(3,4)关于原点O的对称点B的坐标，横坐标和纵坐标都取相反数，因此B的坐标是(-3,-4)。所以正确答案是A。6、在相似三角形中，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.可能全等，可能相似答案：B解析：根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形必定相似。全等是相似的一种特殊情况，所以不一定全等，但必定相似。因此正确答案是B。7、已知两个相似三角形的面积比为9:4，那么这两个相似三角形的周长比是（）A.3:2B.2:3C.3:4D.4:3答案：A解析：相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以相似比是3:2。相似三角形的周长比等于相似比，因此周长比也是3:2。8、在相似三角形中，如果一个角是直角，那么这个直角三角形的相似比是（）A.1:1B.任意值C.不确定D.与另一边长成比例答案：B解析：在相似三角形中，如果有一个角是直角，则这个直角三角形与任何其他直角三角形都是相似的，相似比可以是任意值。相似三角形的相似比只与对应的边长比有关，而与角度无关。9、在下列各组图形中，一定成相似形的是：A.两个等边三角形B.两个等腰三角形C.两个直角三角形D.两个矩形答案：A解析：两个等边三角形的边长比例相同，角度也相同，因此它们一定是相似形。而其他选项中的三角形或矩形可能边长比例和角度不完全相同，所以不能保证一定成相似形。10、已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，那么下列结论正确的是：A.AB是斜边B.BC是斜边C.AC是斜边D.不能确定哪条边是斜边答案：A解析：在直角三角形中，一个角为30°时，对边是斜边的一半。因此，由于∠A=30°，AB是斜边。其他选项中的BC和AC不满足这一条件。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：在直角三角形ABC中，∠C为直角，AB=8cm，AC=6cm。求三角形ABC的外接圆半径。答案：外接圆半径为4cm。解析：根据直角三角形的性质，直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。所以，三角形ABC的外接圆半径等于斜边AB的一半。计算外接圆半径：半径=AB/2半径=8cm/2半径=4cm因此，三角形ABC的外接圆半径为4cm。第二题：在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(8,1)是两个顶点。若以OA为一边，构造一个与三角形AOB相似的三角形，其中另一边OB的长度是原来的1/2。请求出所构造的相似三角形中，与OB对应的边的长度。答案：3解析：首先，我们知道三角形AOB的两边OA和OB的长度分别是2和8，它们的比是1:4。根据题意，新构造的相似三角形中，OB的长度是原来的1/2，即OB’=OB/2=8/2=4。由于三角形AOB与所构造的三角形相似，它们的对应边长度的比相等，即OA/OB=OB’/OB。将已知值代入，得到2/8=3/4。解这个比例，得到与OB对应的边长OB’=3。因此，所构造的相似三角形中，与OB对应的边的长度是3。第三题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。点D在AC上，且AD:DC=2:3，点E在AB上，且AE:EB=3:2。（1）求DE的长度。（2）求∠ADE的度数。答案：（1）DE的长度为5cm。（2）∠ADE的度数为36°。解析：（1）首先，根据勾股定理，可求出AC的长度：AC=√(AB^2-BC^2)=√(6^2-8^2)=√(36-64)=√(-28)=2√7由于AD:DC=2:3，则AD的长度为：AD=(2/5)*AC=(2/5)*2√7=4√7/5再根据相似三角形的性质，可得：∆ABC∼∆ADE所以，AE/AB=AD/AC代入已知数据，可得：2/5=(4√7/5)/(2√7)化简得：AE=4cm由于AE:EB=3:2，则EB的长度为：EB=AE/(3/2)=4cm/(3/2)=8/3cm所以，DE的长度为：DE=AD+AE=(4√7/5)+4=5cm（2）由于∆ABC∼∆ADE，则∠A=∠A，∠B=∠D又因为∠C=90°，所以∠A+∠D=90°由于∠ADE是∆ADE的锐角，所以∠ADE=∠A-∠D=90°-∠D现在需要求出∠D的度数。由于∆ABC∼∆ADE，且∠C=90°，则∠ABC=45°由于∆ABC是直角三角形，所以∠BAC=90°-∠ABC=45°由于∆ABC∼∆ADE，则∠BAC=∠DAE所以∠DAE=45°由于∠ADE=90°-∠D，代入∠DAE的值，可得：∠ADE=90°-∠D=90°-45°=45°所以，∠ADE的度数为36°。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=6cm。点D、E分别在边AC和BC上，使得∠ADB=∠AEB=30°，且AD=DE=EB。（1）求证：三角形ADB与三角形AEB相似。（2）求三角形ADE的面积。答案：（1）证明：由已知条件，∠ADB=∠AEB=30°，AB=AD，因此三角形ADB与三角形AEB满足AA相似条件，即两角对应相等，所以三角形ADB与三角形AEB相似。（2）解：由于三角形ADB与三角形AEB相似，根据相似三角形的性质，有AD/AB=AE/AB，即AD=AE。因为AD=DE，所以AE=2DE。由于∠ABC=45°，∠ADB=30°，所以三角形ADB是一个30°-60°-90°的直角三角形。在这种三角形中，对边长比为1:√3:2，所以AB（斜边）是AD（较短直角边）的2倍。因此，AD=AB/2=6cm/2=3cm。由于AE=2DE，所以DE=AE/2=3cm/2=1.5cm。三角形ADE的面积可以用底乘以高除以2的公式计算，其中底AD=3cm，高为DE=1.5cm。所以，三角形ADE的面积S=(底×高)/2=(3cm×1.5cm)/2=4.5cm²。解析：（1）通过验证两角对应相等，应用AA相似准则，证明了三角形ADB与三角形AEB相似。（2）利用30°-60°-90°三角形的性质确定AD的长度，然后利用相似三角形的性质和比例关系确定AE和DE的长度，最后应用三角形面积公式计算出三角形ADE的面积。第二题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。点D在AC边上，且AD=3cm。点E在AB边上，且AE=2cm。求证：△ABC∽△AED。答案：证明：因为∠C=90°，所以△ABC是直角三角形。根据勾股定理，可得AC²=AB²+BC²=6²+8²=36+64=100，所以AC=10cm。在△ABC和△AED中，有：∠A在两个三角形中都是公共角；∠C=90°，∠C=∠E（因为∠E是直角三角形△AED的一个角）；由AAA相似条件（两个三角形的两个角对应相等，第三个角也是公共角），可得△ABC∽△AED。解析：通过证明△ABC和△AED有两个角分别相等（∠A和∠E），我们可以得出这两个三角形相似。由于它们都是直角三角形，且有一个公共角∠A，因此根据AAA相似条件，可以断定△ABC和△AED相似。第三题：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=AC=2√2。点D在BC上，且AD⊥BC，求三角形ABD和三角形ACD的面积比。答案：三角形ABD和三角形ACD的面积比为1：2。解析：由题意知，三角形ABC为等边三角形，所以BC=AB=2√2。又因为AD⊥BC，所以三角形ABD和三角形ACD均为直角三角形。首先计算三角形ABC的面积：S△ABC=(1/2)*AB*BC=(1/2)*2√2*2√2=4。接下来计算三角形ABD的面积：S△ABD=(1/2)*AB*AD=(1/2)*2√2*AD。由于∠BAC=60°，在等边三角形中，∠BDA=∠BAC=60°，所以三角形ABD为30°-60°-90°的特殊直角三角形。在30°-60°-90°的直角三角形中，斜边是短边长度的2倍，所以AD=AB/2=√2。将AD的值代入三角形ABD的面积公式中：S△ABD=(1/2)*2√2*√2=2。同理，计算三角形ACD的面积：S△ACD=(1/2)*AC*AD=(1/2)*2√2*√2=2。最后，计算三角形ABD和三角形ACD的面积比：面积比=S△ABD:S△ACD=2:2=1:2。所以，三角形ABD和三角形ACD的面积比为1：2。第四题：在直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(-1,5)。点C在直线y=x上，且△ABC是等腰直角三角形，求点C的坐标。答案：点C的坐标可以是(1,1)或(3,3)。解析：由于△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，所以AB=AC。当AC为斜边时，设点C的坐标为(a,a)，因为C在直线y=x上，所以a=a。根据两点间的距离公式，我们有：解方程：2−a2+3−a得到a=0或a=5，但a=0时点C与点A重合，不符合题意，所以a=5，点C的坐标为(5,5)。当AC为直角边时，设点C的坐标为(a,1)或(1,a)，因为C在直线y=x上，所以a=1。对于a=1，点C的坐标为(1,1)，此时AC=AB，满足条件。对于a=1，点C的坐标为(1,1)，此时AC=AB，满足条件。综上所述，点C的坐标可以是(1,1)或(3,3)。第五题：已知三角形ABC的边长分别为AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，三角形DEF与三角形ABC相似，且DE=4cm，EF=6cm。求三角形DEF的第三边DF的长度。答案：DF=8cm解析：由于三角形DEF与三角形ABC相似，根据相似三角形的性质，对应边的比例相等，即：DE/AB=EF/BC=DF/AC代入已知数据，得：4/6=6/8=DF/10解方程得DF：DF=(4/6)*10=8cm因此，三角形DEF的第三边DF的长度为8cm。第六题：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是边AB上的一点，使得AD:DB=2:3。求证：三角形ADC与三角形BDC相似。答案：证明：首先，由于AC