专题20-相似三角形中的压轴题专练(一)(解析版)-九下数学专题培优训练

第=page22页，共=sectionpages22页专题20相似三角形中的压轴题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，如图所示放置，边AE，AD与BC于点M，N.则图中一定相似的三角形有(    )对．

A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】

此题考查了相似三角形的判定(有两个角分别对应相等的三角形相似).解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．

根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【解答】

解：依题意可知，△ABC∽△DAE，△BNA∽△ANM∽△CAM；

理由：∵△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，

∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，

∵∠CMA=∠B+∠MAB，∠NAB=∠NAM+∠MAB，

∴∠CMA=∠BAN，

∴△CAM∽△BNA，

又∵∠ANM=∠ANB，∠NAM=∠NBA=45°，

∴△BNA∽△ANM，

∴△BNA∽△ANM∽△CAM；

由题意易知△ABC∽△DAE，

∴共有4对，

AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE=14AD，BE的延长线交AC于F，则AFAC的值为(    )A.14 B.15 C.16【答案】D【分析】

作DH//BF交AC于H，根据DH//BF得到AFFH=AEED，FHHC=BDDC即可求出AFAC的值．

本题考查了平行线分线段成比例.正确找到比例关系是解题的关键．

【解答】

解：作DH//BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中线，

∴BDDC=FHHC=1，

∴FH=HC，

∵DH//BF，AE=如图，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD=AE.则AB：AD的值是(    )

A.2：1 B.3：1 C.5+12 【答案】C【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．

本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．

【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BCFE，

∴FCAD=ADAB，即AB−ADAD=ADAB，

整理得，AB2−AD如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.则下列结论正确的有A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③【答案】B【分析】

本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．

①由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45∘；

②由ABDE≠AGDF，可知②错误；

③通过计算S△ABG与S△FGH即可得结论；

④通过计算AG+DF=5，而FG=5，故④正确．

【解答】

解：如图

∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的

点F处，

∴∠1=∠2，

∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

∴∠3=∠4，

∴∠2+∠3=12∠ABC=45∘，

即∠EBG=45∘，

所以 ①正确;

∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的

点F处，

∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，

在Rt△ABF中，

∵AB=6，BF=10，

∴AF=102−62=8，

∴DF=AD−AF=10−8=2，

设EF=x，则CE=x，

DE=CD−CE=6−x，

在Rt△DEF中，

∵DE2+DF2=EF2，

∴(6−x)2+22=x2

解得x=103，

∴ED=83，

HF=BF−BH=10−6=4，

设AG=y，则GH=y，GF=8−y，

在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，

∴y2+如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°；②BD=7；③S平行四边形ABCD=AB⋅AC；④OE=14A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；

②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE//AB，根据勾股定理计算OC=12−(12)2=32和OD的长，可得BD的长；

③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；

④根据三角形中位线定理可作判断；

⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=12OE⋅OC=38，，代入可得结论．

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．

【解答】解：①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE=1，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD//BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正确；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=12AB=12，OE//AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC=12−(12)2=32，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD=∠BAD=120°，

∴∠ACB=30°，

∴∠ACD=90°，

Rt△OCD中，OD=12+(32)2=72，

∴BD=2OD=7，

故②正确；

③由②知：∠BAC=90°，

∴S▱ABCD=AB⋅AC，

故③正确；二、填空题如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则AGGF的值是______．

【答案】6【分析】如图，作FN//AD，交AB于N，交BE于M.设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；

本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．

【解答】解：如图作，FN//AD，交AB于N，交BE于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB//CD，∵FN//AD，

∴四边形ANFD是平行四边形，

∵∠D=90°，

∴四边形ANFD是矩形，

∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，

∵AN=BN，MN//AE，

∴BM=ME，

∴MN=32a，

∴FM=52a，

∵AE//FM，如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，点O在AC边上，⊙O与AB、BC分别切于点D、E，则⊙O的半径长为______．

【答案】6【分析】

本题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出△OEC∽△ADO是解此题的关键．

连接OE、OD，根据切线的性质得出∠OEC=∠ODA=90°，∠ODB=∠OEB=90°，求出四边形OEBD是正方形，根据正方形的性质得出OE=OD=BE=BD，根据相似三角形的判定得出△OEC∽△ADO，得出比例式，代入求出即可．

【解答】

解：

连接OE、OD，

∵⊙O与AB、BC分别切于点D、E，∠B=90°，

∴∠OEC=∠ODA=90°，∠ODB=∠B=∠OEB=90°，

∵OD=OE，

∴四边形OEBD是正方形，

∴OE=OD=DB=BE，

设OE=OD=DB=BE=R，

∵四边形OEBD是正方形，

∴OE//AB，

∴∠COE=∠A，

∵∠OEC=∠ODA=90°，

∴△OEC∽△ADO，

∴ADOD=OECE，

∴3−RR=如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为________．【答案】5【分析】

本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

设DE=x.利用相似三角形的性质求出DF，根据三角形的面积相等构建方程即可解决问题．

【解答】

解：设DE=x．∵DF // BC，∴△EFD∽△EBC，∴DF∴DF∴DF=4xx+2，∵△ABF与△CEF的面积相等，∴1∴8∴解得x=5−1或x=−5∴DE的长为5−1

如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为________．【答案】3+【分析】

本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．连接AC，BC，由抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用△ACO∽△COB，可求出CO的长，进而可求出CD的长．

【解答】

解：连接AC，BC，

∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，

∴点D的坐标为(0,−3)，

∴OD的长为3，

设y=0，则0=x2−2x−3，

解得：x=−1或3，

∴A(−1,0)，B(3,0)

∴AO=1，BO=3，

∵AB为半圆的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CO⊥AB，

∴∠COA=∠COB，

．

∴∠OCA=∠CBO

∴△ACO∽△COB

∴COAO=OBCO

∴C如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，BE=13BC，连接AE，作BF⊥AE，分别与AE、CD交于点K、F，G、H分别在AD、AE上，且四边形KFGH是矩形，则HGAB=【答案】7【分析】本题考查正方形，矩形的性质，射影定理，勾股定理和相似三角形的性质和判定，能根据相关知识解决问题.分析题意，设BE=x，则BC=3x=AB，根据射影定理可求出BK的长，易证△BEK∽△BFC，根据相似三角形的性质就可求出BF的长，从而求出KF的长，就可得出答案．【解答】解：∵四边形KFGH是矩形，∴∠GHK=∠HKF=90°，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠DAB=90°，设BE=x，则BC=3x=AB，∴AE=10∴BK=AB·BE根据射影定理可得BE∴EK=10易证△BEK∽△BFC，∴BE∴BF=10∴KF=BF−BK=7∴GH=7∴HG

三、解答题如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm.点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接DE，设运动时间为t(s)(0<t<10)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；

(2)在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；

(2)根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．

本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．

【解答】解：(1)分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G

如图

∴DF//AG，DFAG=BDAB

∵AB=AC=10，BC=16，

∴BG=8，

∴AG=6．

∵AD=BE=t，

∴BD=10−t，

∴DF6=10−t10

解得DF=35(10−t)

∵S△BDE=12BE⋅DF=7.5

∴35(10−t)⋅t=15

解得t=5．

答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．

(2)存在．理由如下：

①当BE=DE时，△BDE∽△BCA，

∴BEAB=BDBC即t10=10−t16如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=8cm.点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．

(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25？

(2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？【分析】本题考查了三角形的面积，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的一元二次方程是解(1)的关键，能求出符合的所有情况是解(2)的关键．

(1)设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的25，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；

(2)根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．

【解答】解：

(1)设经过x秒，则CP=2x，BQ=x，CQ=8−x，

△PCQ的面积等于△ABC面积的25，可得

12⋅2x⋅(8−x)=12×10×8×25，

解得：x1=x2=4，

答：经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25；

(2)设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，

因为∠C=∠C，

所以分为两种情况：

①PCBC=CQAC，

2t8=8−t10，如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0,2)和C(23,0)，点D是对角线AC上一动点(不与A，C重合)，连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．

(1)填空：点B的坐标为______；

(2)是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；

(3)①求证：DEDB=33；

②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)【答案】解：(1)(23,2)；

(2)存在．理由如下：

∵OA=2，OC=23，

∵tan∠ACO=AOOC=33，

∴∠ACO=30°，∠ACB=60°，

①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，

观察图象可知，只有，

∴∠DCE=∠EDC=30°，

∴∠CDB=∠BCD=60°，

∴△DBC是等边三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，

∴AC=2AO=4，

∴AD=AC−CD=4−2=2．

∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．

②如图2中，当E在OC的延长线上时，

△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，

此时∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，

∴∠ABD=∠ADB=75°，

∴AB=AD=23，

综上所述，满足条件的AD的值为2或23．

(3)①如图1，

过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，

∵A(0,2)和C(23,0)，

∴直线AC的解析式为y=−33x+2，

设D(a,−33a+2)，

∴DN=−33a+2，BM=23−a，

∵∠BDE=90°，

∴∠BDM+∠NDE=90°，∠BDM+∠DBM=90°，

∴∠DBM=∠EDN，∵∠BMD=∠DNE=90°，

∴△BMD∽△DNE，

∴DEBD=DNBM=−33a+223−a=33．

②如图2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，

∴DH=12AD=12x【分析】

本题考查相似形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是会恰当添加辅助线，会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．

(1)求出AB、BC的长即可解决问题；

(2)存在．分当E在线段CO上时，当E在OC的延长线上时两种情况进行讨论即可；

(3)①过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，先求出直线AC解析式，设D横坐标为a，用a表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，利用相似比化简，即可得出结论；

②作DH⊥AB于H.用x表示BD、DE的长，构建二次函数，根据二次函数性质求最值，即可解决问题．

【解答】

解：(1)∵四边形AOCB是矩形，

∴BC=OA=2，OC=AB=23，∠BCO=∠BAO=90°，

∴B(23,2)．

故答案为(2若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是ΔABC的角平分线，当AD=AB时，则ΔABC是“弱等腰三角形”，线段AD是ΔABC的“弱线”．

(1)如图②，在ΔABC中.∠B=60∘，∠C=45∘.求证：ΔABC是“弱等腰三角形”；

(2)如图③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.以B为圆心在矩形内部作弧AE，交BC于点E，点F是弧AE上一点，连结CF，且CF与弧AE有另一个交点G.连结BG.当BG是ΔBCF的“弱线”时，求CG的长．

(3)已知ΔABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB=3BD，求【分析】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．

(1)根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC=30°，根据三角形的内角和得到∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−60°−45°=75°，于是得到结论；

(2)如图③，连接EG，根据角平分线的定义得到∠FBG=∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF=∠BGE，根据相似三角形的性质即可得到结论；

(3)①如图④，当AB=AD时，在AC上取一点E，使得AE=AB，连接DE，根据角平分线的定义得到∠FBG=∠GBE，根据全等三角形的性质得到∠BGF=∠BGE，根据相似三角形的性质得到结论；②当AC=AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE，同理可得结论．

【解答】(1)证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D，

∴∠DBC=0.5∠ABC=30°，

∵∠ABC=60°，∠C=45°，

∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−60°−45°=75°，

∵∠ADB=∠DBC+∠C=30°+45°=75°，

∴∠ADB=∠A，

∴BA=BD，

∴△ABC是“弱等腰三角形”；

(2)如图③，连接EG，

∵BG是△BCF的“弱线”，

∴BG平分∠FBC，

∴∠FBG=∠GBE，

∵BF=BE，BG=BG，

∴△BGF≌△BGE(SAS)，

∴∠BGF=∠BGE，

∵BG=BE，

∴∠BGE=∠BEG=0.5(180°−∠GBE)，

∴∠FGE=180°−∠GBE，

∵∠CGE=180°−∠FGE，

∴∠CGE=∠CBG，

∵∠GCE=∠BCG，

∴△GCE∽△BCG，

∵CE=4−3=1，

∴CG2=CE⋅BC=1×4=4，

∴CG=2；

(3)①如图④，当AB=AD时，在AC上取一点E，使得AE=AB，连接DE，

∵AD是“弱线”，

∴AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD=AD，

∴△ABD≌△AED(SAS)，

∴DE=BD，∠B=∠AED，

∵AD=AB，

∴∠B=∠ADB，

∴∠AED=∠ADB，

∴∠CED=180°−∠AED，∠ADC=180°−∠ADB，

∴∠CED=∠ADC，

∵∠C=∠C，

∴△ADC∽△DEC，

∴AC：BC=27：17；

②当AC=AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE，

同理可得，

∵AC=3CD，

∴AC：BC=24：17．

故AC：BC=24：[初步尝试]

(1)如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△AB