求圆锥曲线的离心率 教学设计

求圆锥曲线的离心率第4页（共4页）求圆锥曲线的离心率【教学分析】教材分析：椭圆与双曲线的离心率是2019年8月出版的新人教A版选择性必修第一册第三章的内容，是圆锥曲线的重点内容，在学习本节知识前，学生已经了解椭圆与双曲线的概念、方程、基本性质,因此本节课重点在于这些知识点的综合应用。其中求解椭圆、双曲线的离心率是重点内容。灵活运用求解椭圆、双曲线离心率的几种常用方法是本节的难点。学情分析：本节是圆锥曲线与方程这一章的一个小专题，在之前学生学习了椭圆与双曲线这两个内容，其中的第二节圆锥曲线的性质为学习本节课打下了一定的理论基础，因此理论上学生应该不难理解本节课。本节课采用先从基础知识切入再根据实际问题探索解决问题的方法的教学方法，要让学生通过自己的思考总结求圆锥曲线离心率的方法，这样既能激发学生学习数学的兴趣，又能提升学生的思维能力和学习能力。空间思维能力对本节学习至关重要，为方便对问题的分析，针对离心率的专题我专门自制了课件，通过对以往知识的复习和具体问题的应用总结常用的求离心率的方法，本节重难点还在于在分析时要能将实际的问题与以前的知识相联系。要使学生能够掌握求离心率的方法，因此针对这一问题我做了一定的巩固训练。【教学目标】1.能理解椭圆与双曲线离心率的概念和相关性质，借助题目条件进行求值应用；2.通过问题的层层引入，总结出求离心率的方法；3.通过分析一般情况下求离心率的方法，形成认识事物规律要抓住一般性的科学方法；【教学重难点】重点：构建齐次方程求解椭圆、双曲线的离心率的值。难点：掌握和灵活运用求离心率的方法。【教学过程】师：首先，我们一起通过表格来回忆一下椭圆(或双曲线)的离心率的相关知识点。椭圆双曲线离心率的关系式离心率的取值范围越大，图像特征越扁张口越大师：事实上，离心率是圆锥曲线的重要几何性质，在解决圆锥曲线问题中有着重要作用。纵观近几年高考试题，离心率在选择填空题中考查居多，一类是求椭圆(或双曲线)的离心率的值，另一类是求椭圆(或双曲线)离心率的取值范围，难度一般为中等或中等偏下。本节课主要通过对典型例题的分析，来探索有关求离心率及取值范围的策略与方法。探究一：求圆锥曲线离心率的值例1．已知双曲线的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（C）A、B、C、D、解：由题可知，故，所以，小结：对于这种简单的题可直接根据圆锥曲线的方程求出的值，代入离心率公式即可求解。练习1．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则或。问：该椭圆中的分别为多少？解：①当椭圆焦点在轴时，，，所以，所以；②当椭圆焦点在轴时，，，所以，所以。师:由此可见，在圆锥曲线的焦点不确定在哪个坐标轴的时候，要注意“先定位，再定量”。不过，对于的求解有时也没有那么简单，那这个时候我们应该怎么去做呢，请大家先思考一下下面的题目。练习2．如图是椭圆：与双曲线的公共焦点，A、B分别是与在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形,则的离心率是（）A．eq\r(,2) B．eq\r(,3) C．eq\f(3,2)D．eq\f(eq\r(,6),2)师1：该题虽然双曲线未知，但是椭圆的条件全是已知的，且椭圆与双曲线有公共焦点和公共点。这样我们可以在椭圆中求出和，进而根据双曲线的定义求出。解：在椭圆里面在中满足解得，则在双曲线中，，方法小结1：已知圆锥曲线的标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式直接求值。当焦点位置不确定时，还要注意“先定位、再定量”。师2：对于一些题目，无论从方程的呈现上看，还是图形的数量关系上看，都是不能直接求出，那这个时候我们又该怎么去做呢？例2．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（D）。分析：题目中出现了等腰直角三角形，这个是我们的突破口。直角说明了是通径，等腰说明了。解：在中，且是通径的一半，即，所以，转化为左右同除以，化为解得练习3．从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是（C） B． C．D．分析：是解这道题的突破口，由可得解：根据题意可知，由AB∥OP可得，即，整理得，则有，即化为，解得．探究二：求圆锥曲线离心率的取值范围例3．椭圆的左、右焦点分别是，满足的点总在椭圆内部，则离心率的取值范围为（C）。A．B．C．D．分析：由知点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，根据点总在椭圆内部，可得，再根据椭圆的性质就能够推导出椭圆离心率的取值范围。解：，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即，，，．

师：一般地，时点总在椭圆内部，即椭圆与圆没有公共点；时点有4个在椭圆上，即椭圆与圆有4个公共点；时有2个在椭圆上，就是椭圆短轴的两个端点。练习4．双曲线的左、右焦点分别是，若为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为________。解：由双曲线的定义知，，因为，所以，在中，，所以，，得，又所以，双曲线离心率的取值范围为课堂小结：（学生总结，教师引导）师：回顾本节课所学的知识，求圆锥曲线有哪些题型和方法：1、求圆锥曲线离心率的值①公式法：根据方程或条件直接求出的值，当焦点位置不确定时，先定位、再定量；②方程法：构建关于的齐次等式，关注圆锥曲线的定义及性质；2、求圆锥曲线离心率的取值范围构建关于的齐次不等式，充分寻找题目中的限制条件。课后练习：1．已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（

）A． B．或 C．或 D．或2．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为10，则椭圆C的离心率e为（

）A． B． C． D．3．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（

）．A． B． C． D．5．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．参考答案：1．B【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，当椭圆焦点在轴上，，所以，当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.故选：B.2．C【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：，由椭圆的定义得△PF1F2的周长为：，解得：，所以离心率.故选：C.3．B【分析】表示出各点坐标，由可得，得出的等式，变形后可求离心率．【详解】由题意，则，，∴，即，可得，∴或（舍去）．故选：B．4．A【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得，据此可求出椭圆的离心率.【详解】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，即，，，所以，即，又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A．5．B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.备用资料：1．已知双曲线的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（C）