高二 人教A版 数学 选择性必修第三册 第六章《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》课件

高二—人教A版—数学—选择性必修第三册—第六章6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标1.归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，

能应用他们解决简单的实际问题；（重点）2.正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题

的特征，正确的区分“分类”或“分步”.（难点）

计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.

汽车号牌的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成.随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容.那么交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要数出某种汽车号牌序号的组成方案下有可能的序号数.

这个计数问题中的数量很大，列举的方法效率不高.

能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？

下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.环节一、问题引入思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？环节二、探索新知探究：问题的特征？1.完成的事情？2.最重要的特征？每类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情3.完成这件事共有多少种不同的方法？给座位编号“或”(分两类）①确定分类标准②计算每类方法数③每类方法数相加26种26+10=36计数的基本环节：第一类：用一个英文字母编号第二类：用一个阿拉伯数字编号10种（一）分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.如果完成一件事有3类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类办法中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.N=m1+m2+m3分类加法计数原理推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.N=m1+m2+…+mn各类方案中的方法互不相同且都能独立完成这件事情.分类加法计数原理使用前提：例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所

大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？表6.1—1A大学B大学生物学化学医学物理学工程学数学会计学信息技术学法学解：根据分类加法计数原理，

共有5+4=9种.分析：要完成的事情是“选一个专业”.方案1：从A大学选方案2：从B大学选5种4种思考：用前6个大写英文字母和1—9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？1.完成的事情？2.最重要的特征？各步中每种方法不能独立完成这件事3.完成这件事情共有几种不同的方法？给座位编号“和”（分两步）6种6×9=54探究：问题的特征？字母A数字123456789号码A1A2A3A4A5A6A7A8A9第1步：先选一个英文字母第2步：再选一个阿拉伯数字9种思考：用前6个大写英文字母和1—9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教师里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？1.完成的事情？2.最重要的特征？各步中每种方法不能独立完成这件事3.完成这件事情共有几种不同的方法？给座位编号“和”（分两步）6种6×9=54探究：问题的特征？第1步：先选一个英文字母第2类：再选一个阿拉伯数字9种计数的基本环节：①确定分步标准②计算每步方法数③每步方法数相乘（二）分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.如果完成一件事需要3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有

种不同的方法.N=m1×m2×m3如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.分步乘法计数原理推广：分步乘法计数原理使用前提：各步中每种方法不能独立完成这件事例2

某班有男生30名、女生24名，现要从中选出男生和女生

各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：要完成的事情是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：

第1步，选男生；

第2步，选女生.

解：根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种选法.第1步第2步3024（三）原理剖析

两原理的异同点分类加法原理分步乘法原理相同点不同点注意点用来计算“完成一件事”的不同方法种数分类完成，类类相加分步完成，步步相乘各类中每种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事（各步中每种方法不能独立完成这件事）类类独立，不重不漏步步依存，步骤完整环节三、原理应用例3

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同的取法？分析：1、完成什么事情？2、分类还是分步？分三类分三步解：（1）根据分类加法计数原理，不同取法种数为4+3+2=9.

（2）根据分步乘法计数原理，不同取法种数为4×3×2=24.小结：解答计数问题的一般过程1.明确完成一件什么事情；2.根据如何完成这件事，确定是方法的分类还是过程的分步；3.分类用加法原理（不重不漏），

分步用乘法原理（步骤完整）.例4计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图6.1一4，它是一个具有许多执行路径的程序模块．它有多少条执行路径？图6.1一4分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何1个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理，

先分步后分类.第1步（开始→A）第2步（A→结束）18+45+28=9138+43=81解：整个模块的执行路径条数共为91×81=7371.另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成是一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18+45+28+38+43=172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2=6.这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？小结：利用两个计数原理解决具体问题时的方法技巧1.步中有类情形(先分步后分类）2.类中有步情形（先分类后分步）如图，完成A→D这件事，需经历A→B，B→C，C→D这三个步骤.其中B→C这步又分三类.完成A→D这件事，共有方法数为m1×（m2+m3+m4）×m5.如图，完成A→B这件事，有两类办法，在第1类办法中有3步，第2类办法中有两步.完成A→B这件事，共有方法数为（m1×m2×m3）+（m4×m5）.例5通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图6.1-5所示.其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个

英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？图6.1-5分析：按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，

并且可将序号分为3类：没有字母，有1个字母，有2个字母.

以字母所在位置为分类标准，

可将有1个字母的序号分为5个子类，

将有2个字母的序号分为10个子类.（1）没有字母1010101010（2）1个字母第1位第2位第3位第4位第5位

第1位第2位第3位第4位第5位

10101010字母可以分别在第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可分为五个子类.24解：根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10=100000.字母在第1位同样，其余四个子类号牌也各有240000张.根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为24×10×10×10×10=240000.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）2个字母第1位第2位第3位第4位第5位

根据这两个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位、第1位和第3位、第1位和第4位、第1位和第5位，第2位和第3位、第2位和第4位、第2位和第5位，第3位和第4位、第3位和第5位，第4位和第5位.字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母字母（3）2个字母101010第1位第2位第3位第4位第5位

根据这两个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：2424字母在第1位和第2位根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为24×24×10×10×10=576000.同样，其余九个子类号牌也各有576000张.根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为576000×10=5760000.综合（1）（2）（3）根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000.解答计数问题的一般思维过程：完成一件什么事如何完成这件事方法的分类过程的分步利用加法原理进行计数注意分类要做到不重不漏利用乘法原理进行计数注意分步要步骤完整各类中每种方法都能独立完成这件事.各步中每种方法不能独立完成这件事，只有每步依次完成后，才算完成这件事.环节四、课堂小结课后作业：课后配套练习谢谢观看！高二—人教A版—数学—选择性必修第三册—第六章6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理答疑思考：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似关系吗？因此，分步乘法计数原理也可以看成是特定条件下的分类加法计数原理的简化.问题

要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？解法一：（分三类）第一类，甲在左边，有2种“甲乙，甲丙”；第二类，乙在左边，有2种“乙甲，已丙”；第三类，丙在左边，有2种“丙甲，丙已”；共有2+2+2=6种挂法.解法二：（分两步）第一步，选左边的画，有3种；第二步，选右边的画，有2种；共有3×2=6种挂法.探究与发现

n元集合S={a1,a2,a3,...,an}的子集有多少个？分