福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高二上学期11月阶段一考试数学试题（含答案）

长乐第一中学2024-2025学年高二上学期11月阶段一考试数学科试卷考试时间：10月11日完卷时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若直线是圆的一条对称轴，则（）A.0 B.1 C.2 D.42.“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.向量，，且，若，则实数的值为（）A. B. C.或 D.或4.下列命题正确的是（）A.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B.若，则存在唯一的实数，使C.若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为D.若向量，的夹角为针角，则实数的取值范围为5.已知正方体的棱长为1，若点在正方体的内部且满足，则点到直线AB的距离为（）A. B. C. D.6.已知点，，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.7.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）A.； B.；C.； D.；8.边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是DB靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（）A.1 B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是B.过点与直线平行的直线是C.直线到直线的距离为D.若直线，则10.下列说法正确的是（）A.在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面B.若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则C.已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线D.若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为11.长方体，，，则下列说法中正确的是（）A.长方体外接球的表面积等于B.是线段BD上的一动点，则的最小值等于3C.点到平面点的距离等于D.二面角的正切值等于2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条直线和的交点在轴上，那么的值是_______.13.已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为_______.14.已知P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为_______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的顶点为，，，求：（1）边AC上的中线所在直线的方程；（2）边AC上的高所在直线的方程；（3）边AC的垂直平分线的方程.16.（15分）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.（15分）设直线的方程为.（1）求证：不论为何值，直线必过定点；（2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为，求的最小值.18.（17分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作.（1）若，，求的斜坐标；（2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”.①若，求向量的斜坐标；②若，且，求.19.（17）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广：刍，草也，甍，屋盖也”.翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱：刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2.图1图2（1）若O是四边形EBCF对角线的交点；求证：平面GCF；（2）若二面角A-EF-B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.高二年级数学科参考答案第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678AABCDDCD二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011BCBCDABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 13. 14.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）设中点为，所以，即，所以，直线：，即，所以边上的中线所在的直线方程为.（2）由题意得，所以边上高的斜率为，所以边上高所在直线的方程为：，即.（3）由（2）得的垂直平分线的斜率为，由（1）得的垂直平分线过点，所以的垂直平分线的方程为：，即.16.（15分）（1）证明：设，连接，，，由题意知，四边形为正方形，，在中，，在中，，，是的中点，，，且平面，平面.（2）解：取的中点，的中点，连接，，则，，平面平面，平面平面，平面，又平面，，故以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，由（2）知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取，得，，，设平面与平面的夹角为，则，平面与平面的夹角的余弦值为.17.（15分）（1）证明：因为直线的方程为，即，联立，解得，，故直线过定点；（2）解：因为在两坐标轴上的截距相等，当直线过原点时，可得，此时直线的方程为；当直线不过原点时，可得，解得，此时直线的方程为，故直线的方程为或；（3）令，可得，令，可得，则，此时，令，则且，所以，当且仅当，即，此时，取得最小值6.18.（17分）解：（1），，，的斜坐标为.（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①；②由题，由，知，由，知：，，，解得，则19.解：（1）证明：取线段中点，连接、，如图所示：图1 由题意得四边形为矩形，，则是的中点，，且，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面；（2）建立以