2024-2025学年湖南省“金太阳联考”高二12月联考数学试题含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省“金太阳联考”高二12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx−3x≤0，B={y|y=A.[−1,3] B.(0,3] C.(0,1] D.[0,1]2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(1,2)，则(1+i)z=A.3+i B.3−i C.−1+3i D.−1−3i3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1A.50 B.754 C.752 4.已知椭圆C：x24+A.1 B.2 C.2 D.5.在△ABC中，点O在线段BC上，且OC=3OB，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nA.1 B.2 C.3 D.46.在各项均不为零的数列{an}中，a1=1，a2=A.13 B.16 C.19 D.227.已知函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)，若f(x)在区间A.0,12 B.(0,5] C.128.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线m与抛物线C的一个交点为M(M位于y轴的右侧)，过点M作MN⊥l，垂足为N，连接NF，交抛物线C于点Q(Q在线段NF上)，则A.13 B.12 C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法一定正确的是A.若a≥2b>0，则lna−lnb≥ln 2 B.若a≥2b，则a23≥(2b)23

10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M为侧面ADD1A1内(含边界A.MB1⋅MP的最大值为6

B.过点P的正方体的截面有可能是正五边形

C.当直线PM与平面A1ADD1所成的角为π4时，点M11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线．在xOy平面上，把与定点F1(−c,0)，F2(c,0)距离之积等于c2(c>0)的动点的轨迹称为双纽线，A.双纽线C上不存在点P，使得|PF1|=|PF2|

B.双纽线C的图象关于x轴对称，关于y轴对称，也关于原点对称

C.若c=4，则△PF1F2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1)设A，B是一次随机试验中的两个相互独立事件，且P(A)=13，(2)已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若有且仅有一对过原点O且所成的角为30°的直线A1B1和A2(3)按照如下规则构造数表：第一行是2；第二行是2+1，2+3，即3，5；第三行是3+1，3+3，5+1，5+3，即4，6，6，8；…….整理如下：23，54，6，6，85，7，7，9，7，9，9，11…记第n行所有数字之和为an，比如a1=2，a2=8，令Sn13.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，若有且仅有一对过原点O且所成的角为30°的直线A1B1和A2B2，使得|14.按照如下规则构造数表：第一行是2；第二行是2+1，2+3，即3，5；第三行是3+1，3+3，5+1，5+3，即4，6，6，8；…….整理如下：23，54，6，6，85，7，7，9，7，9，9，11…记第n行所有数字之和为an，比如a1=2，a2=8，令Sn=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=(1)证明：C1D⊥平面A(2)求平面AB1D与平面16.(本小题15分)已知数列{an}的前n项和为S(1)求{a(2)求数列{nan}的前n项和17.(本小题15分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=6，6sin(1)求角A的大小；(2)若点M为△ABC的垂心，AM的延长线交BC于点D，且MD=3，求△ABC18.(本小题17分)已知A1(−5,0)，A2(1,0)，动点M与点A1的距离是它与点A2的距离的(1)求曲线Г的方程．(2)试判断曲线Г与圆x2(3)过原点的直线l1与曲线Г交于A，B两点，其中点A在第一象限，过原点的另一条直线l2与曲线Г交于C，D两点，其中点C在第二象限，直线AC，BD分别与y轴交于点M，N，证明：点M，N关于x19.(本小题17分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−c,0)，左、右顶点分别为A1，A2，离心率为12，点P在椭圆C上，直线(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(3,0)的直线l交椭圆C于点M，N(异于A1，A2)，设直线A1M，(3)设G为直线A1M和A2N的交点，记△GMN，△GA1A2的面积分别为参考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.(1)16；

(2)(613.(14.4−115.解：(1)根据题意易得BC=B1C1=22，

则AD=CD=BD=2，AC1=6，B1D=C1D=2+2=2，

得AD2+C1D2=AC12，B1D2+C1D2=B1C12，

所以AD⊥C1D，B1D⊥C1D.

因为AD∩B1D=D，AD⊂平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，

所以C1D⊥平面AB1D.

(2)16.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=n，

当n=1时，S1+a1=2a1=1，则a1=12．

Sn+1−Sn=an⇒(n+1−an+1)−(n−an)=an

17.解：(1)∵a=6，∴6sinB=bcosA2，则sinAsinB=sinBcosA2，

在△ABC中，sinB≠0，

∴sinA=cosA2，则2sinA2cosA2=cosA2，∴

sinA2=12，

∵A2∈(0,π2)

∴A2=π6，

∴A=π3．

(2)连接BM并延长，交AC于点E，则18.解：(1)设M(x,y)，由|MA1|=3|MA2|，

得(x+5)2+y2=3(x−1)2+y2，

化简得2x2+2y2−7x−4=0，

即曲线Г的方程为2x2+2y2−7x−4=0；

(2)因为曲线Г的方程为2x2+2y2−7x−4=0，即(x−74)2+y2=8116，

所以曲线Г是以C1(74,0)为圆心，94为半径的一个圆．

圆x2+y2+6y−16=0的方程可化为x2+(y+3)2=25，其圆心为C2(0,−3)，半径为5．

因为|C1C2|=4916+9<94+5，

所以曲线Г与圆x2+y2+6y−16=0相交，有两个公共点．

设这两个公共点为S(x1,y1)，T(x2,y2)，

把圆2x2+2y2−7x−4=0与圆x2+y19.解：(1)由已知有c2a2=14，又由a2=b2+c2，可得a2=4c2，b2=3c2．

设直线PF1的斜率为k(k>0)，则直线PF1的方程为y=k(x+c)，

由