老高考新教材适用2025版高考数学二轮复习专题检测五解析几何

专题检测五解析几何一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·北京·3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=()A.12 B.-12 C.1 D.2.(2024·吉林长春模拟)当直线l:x-my+m-1=0(m∈R)被圆x2+y2=4截得的弦长最短时,m的值为()A.-2 B.2 C.-1 D.13.(2024·北京东城三模)已知直线y=k(x-3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且OA⊥OB,则k=()A.2 B.±2 C.1 D.±14.(2024·北京北大附中三模)已知半径为r的圆C经过点P(2,0),且与直线x=-2相切,则其圆心到直线x-y+4=0距离的最小值为 ()A.1 B.2 C.2 D.225.(2024·云南曲靖一中高二期中)已知双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的渐近线经过椭圆C1:x23+2y23=1与抛物线A.x2+y2=1 B.x2+y2=2C.x2+y2=3 D.x2+y2=46.(2024·福建福州模拟)圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-5] B.[5,+∞)C.[-5,D.(-∞,-5]∪[5,+∞)7.(2024·河北唐山三模)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为62π,两个焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C的上顶点,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点.若PA,PBA.3 B.6 C.22 D.428.(2024·广东茂名模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的左顶点为A,以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,Q两点,其中点Q在A.(1,3] B.[3,+∞) C.1,213 D.213,+∞9.(2024·河北唐山三模)已知F1,F2为双曲线C:y23-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上随意一点,则(A.|PF1|-|PF2|=23B.双曲线C的渐近线方程为y=±33C.双曲线C的离心率为2D.|PF1+10.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则下列说法错误的是()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=32D.当∠PBA最大时,|PB|=3211.(2024·湖南常德高三期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,斜率为1的直线l交抛物线于A,B两点,则下列说法错误的是()A.抛物线C的准线方程为x=1B.线段AB的中点在直线y=2上C.若|AB|=8,则△OAB的面积为22D.以线段AF为直径的圆肯定与y轴相切12.(2024·河北保定一模)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),过点F2的直线与该椭圆相交于A,A.存在点P,使得∠F1PF2=90°B.满意△F1PF2为等腰三角形的点P有2个C.若∠F1PF2=60°,则SD.|PF1|-|PF2|的取值范围为[-23,23]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024·北京·12)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=14.(2024·新高考Ⅰ·14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:.

15.(2024·浙江镇海中学模拟)油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣扬和推广这一传统工艺,北京市文化宫于春分季节开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,阳光照耀抽纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,北京的阳光与地面夹角为60°),若伞柄底正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为.

16.(2024·山东济宁三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|=3,设M是抛物线C上的随意一点,N是抛物线C的对称轴与准线的交点,则|MN||MF三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2024·四川成都模拟)P为曲线C上随意一点,直线l:x=-4,过点P作PQ与直线l垂直,垂足为Q,点F(-1,0),且|PQ|=2|PF|.(1)求曲线C的方程;(2)过曲线C上的点M(x0,y0)(x0≥1)作圆(x+1)2+y2=1的斜率为k1,k2的两条切线,切线与y轴分别交于A,B两点,若k1k2=512,求|AB|18.(12分)(2024·山东滨州二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)在点M(1,y0)处的切线斜率为12(1)求抛物线C的标准方程;(2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线l:y=2x+m对称,求实数m的取值范围.19.(12分)已知椭圆E:x2t+y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.20.(12分)(2024·福建漳州三模)已知圆C1:(x+2)2+y2=9,圆C2:(x-2)2+y2=1,动圆P与圆C1、圆C2都外切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知A,B是曲线C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,且AB的中垂线为直线l,是否存在半径为1的定圆E,使得l被圆E截得的弦长为定值?若存在,求出圆E的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)(2024·山东菏泽二模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,抛物线E上不同的两点M,N只能同时满意下列三个条件中的两个:①|FM|+|FN|=|MN|,②|OM|=|ON|=|MN|=83,③直线MN的方程为x=6p.(1)问M,N两点只能满意哪两个条件(只写出序号,无需说明理由)?并求出抛物线E的标准方程.(2)如图,过点F的直线与抛物线E交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线E的另一交点为C,与x轴的交点为D,且|FA|=|FD|,求△ABC面积的最小值.22.(12分)(2024·山东潍坊二模)已知M,N为椭圆C1:x2a2+y2=1(a>0)和双曲线C2:x2a2-y2=1的公共顶点(M为左顶点),e1,e2分别为C(1)若e1e2=154(ⅰ)求C2的渐近线方程;(ⅱ)过点G(4,0)的直线l交C2的右支于A,B两点,直线MA,MB与直线x=1相交于A1,B1两点,记A,B,A1,B1的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),求证:1y(2)从C2上的动点P(x0,y0)(x0≠±a)引C1的两条切线,经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成的三角形的面积为S,试推断S是否为定值.若是,恳求出该定值;若不是,请说明理由.

专题检测五解析几何1.A解析:圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),代入直线方程,可得2a+0-1=0,∴a=12,故选A.2.C解析:直线l过定点A(1,1),圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为r=2,当l⊥OA时,直线l:x-my+m-1=0(m∈R)被圆x2+y2=4截得的弦长最短,因为kOA=1,所以kl=-1,即1m=-1,m=-13.B解析:直线y=k(x-3)过定点(3,0),且点(3,0)在圆O:x2+y2=4内.因为直线y=k(x-3)与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,且OA⊥OB,所以圆心O(0,0)到直线y=k(x-3)的距离d=2,所以d=2=|3k|1+k24.B解析:依题意,设圆C的圆心为C(x,y),动点C到点P的距离等于到直线x=-2的距离,依据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2=8x.设圆心C到直线x-y+4=0的距离为d,则d=|x当y=4时,dmin=2.5.B解析:由x23则椭圆C1与抛物线C2的交点为P(±1,1).因为点(1,1)在C的渐近线y=bx上,所以b=1,则双曲线C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),所以以F1F2为一条直径的圆的方程是x2+y2=2.6.D解析:将x2+2mx+y2+m2-1=0化为标准方程得(x+m)2+y2=1,即圆心为(-m,0),半径为1,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2.因为圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,所以两圆的位置关系为外切或相离,所以m2+4≥2+1,即m2≥5,解得m∈(-∞,-5]∪[5,+∞7.B解析:椭圆的面积S=πab=62π,即ab=62. ①因为点P为椭圆C的上顶点,所以P(0,b).因为直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,不妨设A(m,n),则B(-m,-n),且m2a2+n2b2=因为PA,PB的斜率之积为-89所以n-bm把m2=a2-a2n2b2①②联立解得a=3,b=22.所以椭圆C的长轴长为2a=6.8.C解析:由题意,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,由双曲线的对称性不妨令P,Q在渐近线y=bax上,由y=∴Q(a,b),P(-a,-b).又A为双曲线的左顶点,则A(-a,0),∴|AQ|=(a|AP|=[-a-(-∵|AQ|≥2|AP|,∴(a+a)2+b2≥2b,即4a2≥3(c2-a2),∴e2≤73.又e>9.C解析:双曲线C:y23-x2=1的焦点在y轴上,a=3,b=1,c=a2+b2=2.对于A,||PF1|-|PF2||=2a=23,而点P在哪支上并不确定,故A错误;对于B,焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±abx=±3x,故B错误;对于C,e=ca=23=233,故C正确;对于D,设P(x,y),则|PO|=x2+y2=x2+(10.B解析:如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.由条件得,直线AB的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=|5+2×5-4|12+22=115,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=115-过点B分别作圆的两条切线BP3,BP4,切点分别为点P3,P4,则当点P在P3处时∠PBA最大,在P4处时∠PBA最小.又|BP3|=|BP4|=|BM|2-r2=11.A解析:对于A,抛物线C的准线方程为x=-1,故A错误;对于B,设点A(x1,y1),B(x2,y2),设线段AB的中点为M(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式作差得(y1-y2)(y1所以y1+y2=4,故y0=y1+对于C,设直线AB的方程为y=x+b,联立y=x+b,y2=4x,可得x2+(2b-4)x+b2=0,Δ=4(b-2)2-4b2>0,解得b<1,则x1+x2=4-2b,x1x2=b2,|AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2×对于D,设线段AF的中点为N(x3,y3),则x3=x1由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2×x1+12,即|AF|等于点故以线段AF为直径的圆肯定与y轴相切,故D正确.12.B解析:依据题意,可得c=3.因为|AB|的最小值为1,所以2b2a=1.又c2=a2-b2,所以a=2,b=1,c=3,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.当点P为该椭圆的上顶点时,tan∠OPF2=3,所以∠OPF2=60°,此时∠F所在存在点P,使得∠F1PF2=90°,故A正确;当点P为椭圆的上、下顶点时,满意△F1PF2为等腰三角形,又因为2-3≤|PF2|≤2+3,|F1F2|=23,所以满意|PF2|=|F1F2|的点P有两个,同理满意|PF1|=|F1F2|的点P有两个,故B不正确;若∠F1PF2=60°,|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=12,又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16,所以|PF1|·|PF2|=43,所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|PF1|-|PF2|=|PF1|-(2a-|PF1|)=2|PF1|-4,分析可得|PF1|∈[2-3,2+3],则|PF1|-|PF2|∈[-23,23],故D正确.13.-3解析:由题意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以双曲线的渐近线方程为y=±x-m=±33x,解得14.x=-1或y=-34x+54,或y=724x-2524解析:在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率kOO1=43,∴直线l1的斜率kl1=-34,直线OO1的方程为y=43x.可设直线又圆心O到直线l1的距离d1=|b|-342+1=1,解得b=54(负值舍去).故内公切线由y=43x,x=-1则可设直线l2的方程为y+43=k(x+1)又圆心O到直线l2的距离d2=k-43k2+1=1,解得k=724,故直线l由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=72415.2-3解析:如图所示,伞柄底位于椭圆的左焦点,且左焦点到右顶点的距离为22,即a+c=22.在△ABC中,由正弦定理得2a∴a=2×∴c=22-∴该椭圆的离心率为e=ca=32-16.2解析:设过点F0,p2的直线l的方程为y=kx+p2(斜率存在且不为0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2=2py,y=kx+p2,消去x得y2-(2k2+1)由|AF|=3|BF|=3,可得y则3-p21过点M作准线的垂线,垂足为D,则可得|MN若|MN||MF|取到最大值,即∠MND最小,此时直线x2=3y,即y=x23,则y'=2设Mx0,x023,则切线斜率k=23x0,切线方程为y-x023=23x0(x-x0),切线过点N0,-则|MD|=32,|ND|=32,即∠MND=则|MN||17.解(1)设P(x,y),由|PQ|=2|PF|,得|x+4|=2(x+1)2所以曲线C的方程为x24+(2)设过点M(x0,y0)的切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率必存在),A(xA,yA),B(xB,yB).圆心为F(-1,0),半径为r=1,所以点F(-1,0)到y-y0=k(x-x0)的距离d=|-k+即(x02+2x0)k2-2(x0+1)y0k+y02则k1+k2=2(x0+1)y0x所以y02-1x02+2x0=512,又因为4y02=12-3x02,x0≥1,解得x0=1.因为直线MA:y-y0=k1(x-x0),令xA=0,得yA=y0-k1x0,同理yB=y0-k2x18.解(1)点M1,12p,则切线方程为y-12p=12(x-1),联立2py-1=p(x-1),x2所以抛物线C的标准方程是x2=4y.(2)设抛物线C上关于直线l对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2),则设直线AB的方程为y=-12x+t(t∈R联立y=-12x+t,x2=4y,消去y并整理得x2+2x-4则x1+x2=-2,y1+y2=-12(x1+x2)+2t=2t+1明显线段AB的中点-1,t于是得t+12=-2+m,即t=m-5而t>-14,因此m-52>-14,解得所以实数m的取值范围是9419.解(1)当t=4时,E的方程为x24+y23=直线AM的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,设M(x0,y0),则x0=-8k2-6由MA⊥NA,得直线NA的斜率为-1k(k>0),所以|AN|=1+由|AM|=|AN|,得1+k2·123+4k2=1+k2·12k3整理可得(k-1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0无实根,可得k=1.故△AMN的面积为12|AM|2=1(2)由题意t>3,k>0,A(-t,0),直线AM的方程y=k(x+t),由y=kx+kt,x2t+y23=1,得(3+tk2)x2故|AM|=1+k2·4×t×3(3+tk2-tk2)3+tk2=1+k2·6t3+tk2.由MA⊥NA,得直线NA的斜率为-1由此得k-2>0,k因此k的取值范围是3220.解(1)圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1=3.圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2=1.设动圆P的半径为R,因为动圆P与圆C1、圆C2都外切,所以|PC1|=R+r1=R+3,|PC2|=R+r2=R+1,所以|PC1|-|PC2|=2<4=|C1C2|,所以点P在以C1,C2为焦点,以2为实轴长的双曲线的右支上.设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),c=a2+b2留意圆C1与圆C2外切于点(1,0),P不行能为(1,0),所以C的方程为x2-y23=1(x>(2)存在圆E:(x-8)2+y2=1满意题意.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).因为A,B是C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,所以x①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+当kAB存在时,kAB=y1所以AB的中垂线l的方程为y-y0=-y06(x-2),即l:y=-y06(x-8),所以l当直线AB的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,AB的中垂线l为x轴,此时l也过T(8,0).所以存在定圆E:(x-8)2+y2=1,使得l被圆E截得的弦长为定值2.21.解(1)抛物线E:y2=2px的焦点为Fp2,0,由①知,点F在线段MN上,由②知,△OMN为正三角形,由③知,直线MN过点(6p,0),明显若满意①②,令M(t1,s1),N(t2,s2),则|MN|=t1+t2+p,由|OM|=|ON|,得t12+s12=t22+s22,即t12+2pt1=t22+2pt2⇔