2025届高考数学二轮复习专题突破-抽象函数性质问题含解析

Page12024届高三二轮复习专题突破——抽象函数性质问题一、单选题(共0分)1．已知函数的定义域为，，是偶函数，随意满意，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，则，因为随意满意，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得.故选：D2．已知函数及其导函数的定义域均为R，若满意，且为奇函数，则下列选项中肯定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据题意可得函数的奇偶性，然后令，即可求得，从而得到结果.【详解】因为为奇函数，则，即，所以为偶函数，由，得，即，故A正确，C错误令，则，则，故D错误；令，则，故不肯定等于0.故B错误.故选:A3．定义在上的函数满意，时，若的解集为，其中，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据题意可知：函数关于对称，作出函数在区间上的图象，然后依据函数的图象和不等式的解集确定实数的取值范围即可.【详解】因为函数满意，所以函数关于对称，作出函数在区间上的图象，又因为不等式的解集为，其中，依据图象可知：当直线过点时为临界状态，此时，故要使不等式的解集为，其中，则，故选：.4．已知定义在上的偶函数满意，若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造，利用已知可得函数的单调性，利用周期性求出，化简已知不等式，利用单调性得出解集．【详解】是偶函数，，则，即是奇函数，由，可得，构造，则单调递增；，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，由单调性可得，解得故选：A5．已知函数的定义域均为为偶函数，且，，下列说法正确的有（

）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称C．函数是以4为周期的周期函数D．函数是以6为周期的周期函数【答案】C【分析】依据题中所给条件可推断关于和对称，进而得的周期性，结合的周期性和的奇偶性即可推断的周期性，结合选项即可逐一求解.【详解】由得，又为偶函数，所以，进而可得；因此可得的图象关于对称,又可得，结合为偶函数，所以，故的图象关于对称，因此，所以是以4为周期的周期，故D错误，由于，所以且，因此的图象关于对称，函数是以4为周期的周期函数，故C正确，B错误，依据是以4为周期的周期函数，由，得，所以数的图象关于对称，故A错误，故选：C6．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则（

）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【答案】C【分析】先依据为偶函数得到，两边取的导数可得：求，进而得到，在依据导函数为奇函数可得到导函数的递推公，然后依据递推公式即可求解.【详解】∵为偶函数，∴，即，两边同时对x求导得，即，令，则，∵为奇函数，∴，又，即，联立得，即，∴，故选：C．7．已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函数的周期为，再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.【详解】由，得，即，所以，所以函数的周期为，又为偶函数，则，所以，所以函数也为偶函数，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故选：.8．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后依据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐藏，考生须要依据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题(共0分)9．函数及其导函数定义域均为，且是偶函数，记，也是偶函数，则___________．【答案】【分析】依据函数的奇偶性得到，依据导函数的奇偶性得到，确定函数的周期为4，得到，计算得到答案.【详解】是偶函数，，两边求导得到，即，即，取，，，也是偶函数，故，即，故，即，.故，是函数的一个周期，.故答案为：10．已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则______.【答案】0【分析】依题意可得关于直线对称、关于点对称且时周期为的周期函数，再求出、，即可得解.【详解】解：因为为偶函数，所以，所以，即，则关于直线对称，因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，所以，则，所以是周期为的周期函数，由，即，所以为奇函数，又是定义域为的函数，所以，在中，令，所以，所以，在中，令，所以，所以，所以，所以.故答案为：11．设是定义在上的不恒为零的函数，且满意为偶函数，为奇函数，则______.【答案】0【分析】依据函数的奇偶性可知函数是周期为4的函数，然后利用周期性求解即可【详解】由为偶函数，则函数关于直线对称，则有；由函数为奇函数，则函数关于对称，则，所以，设，则，从而函数是周期为4的函数，又由函数关于对称，可得且，由可得，所以，因为，所以，故答案为：0三、多选题(共0分)12．已知函数，则（

）A．的定义域是 B．的值域是C．是奇函数 D．在上单调递减【答案】AC【分析】逐个推断每个选项.【详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：所以的定义域是；故A项正确；对于B项，的值域是，故B项错误；对于C项，，令，定义域为，所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确；对于D项，多个单调区间可用逗号（或“和”）隔开，所以在，上单调递减，在上不是单调递减的，故D项错误.故选：AC.13．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】对A，依据定义域为R的奇函数的满意在处的值为0推断即可；对B，依据题意不能求出的值；对C，依据奇函数的性质可得的关系；对D，依据为奇函数推导可得，再为奇函数可得的周期为2，再令可得，进而依据周期性推断即可【详解】对A，因为为奇函数，且定义域为R，故，即，故A正确；对B，为奇函数则，且无条件推出的值，故B错误；对C，因为为奇函数，故，即，故C错误；对D，因为为奇函数，则，故，故，所以，即关于对称.又为奇函数，故关于对称，结合关于对称有，即.故，又，所以，即的周期为2.又，即，所以，即，故D正确；故选：AD14．已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，则下列结论正确的是（

）A．在上为减函数B．在上C．在上为增函数D．关于对称【答案】BD【分析】由已知可得的图象关于中心对称，且关于轴对称，周期为，则可依次推断每个选项正误.【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，，所以，又，所以，所以函数的周期为，其图象关于轴对称，当时，，则函数在上递减，依据对称性可得在单调递增，再结合周期性可得在上为增函数，故A错误，因为当时，，在小于0，依据对称性可得在小于0，故B正确；的图象关于轴对称，所以，，所以不行能在上为增函数，故C错误；因为，，所以所以的图象关于轴对称，因为的周期为，所以关于对称，故D正确.故选：BD.15．已知函数是定义在上的奇函数，且.若时，，则下列结论正确的有（

）A．函数的值域为B．函数图像关于直线对称C．当实数时，关于的方程恰有三个不同实数根D．当实数时，关于的方程恰有四个不同实根【答案】ABD【分析】依据已知利用周期性得到函数的图像，数形结合推断方程根的个数即可求得的范围进行推断.【详解】解析：由，函数周期为4．又为奇函数，而时，，即，变形整理得．可得函数图像：由图像可知，函数的值域为且关于对称，选项A、B正确．记，由，所以为偶函数，当时，，当时，，图像为：又方程有四个不同的根，当时，即直线与函数，，有四个交点，即直线与函数，，有四个交点，数形结合可得，又因为为偶函数，所以，同时时恰有一个交点，选项C错误，D正确．故选：ABD16．已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称，下列结论正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依据给定条件，探讨函数的性质，再逐项推断作答.【详解】函数的定义域为，由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，则有，取得，B正确；由函数的图象关于直线对称，得，则有，函数的图象关于直线对称，因此，有，C正确；于是得，即，有，取得，D正确；函数的图象关于点对称，且关于直线对称，而，A不正确.故选：BCD17．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（

）A．在上单调递减 B．C． D．【答案】BCD【分析】依据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.【详解】方法一：对于A，若，符合题意，故错误，对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，由题意，得，关于直线对称，易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）且的一个周期为4，所以，故D正确．备注：，即，所以，等式两边对x求导得，，令，得，所以．方法二：对于A，若，符合题意，故错误，对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，对于C，将中的x代换为，得，所以，可得，两式相减得，，则，，…，，叠加得，又由，得，所以，故正确，对于D，将的两边对x求导，得，令得，，将的两边对x求导，得，所以，将的两边对x求导，得，所以，故正确．故选：BCD18．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期是8 B．的最大值为5C． D．为偶函数【答案】ACD【分析】利用对称关系以及恒等式对等式进行变形，可以得到函数的周期，即可推断选项A，由上述过程中可得，即可推断选项D，求出函数在，上的函数解析式，利用函数的图象关于直线对称，探讨一个周期中的最大值，即可推断选项B，利用函数的周期性以及对称性求解，即可推断选项C．【详解】解：因为函数的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，因为对有，所以函数的图象关于点成中心对称，所以，即，又，即，所以，所以，所以，所以的周期为8，故A正确；又，故函数为偶函数，故D正确；因为当，时，，且，则当，时，，，所以，所以，故当，时，，又函数的图象关于直线对称，所以在同一个周期，上，的最大值为，故在上的最大值为4，故B错误；因为，所以C正确．故选：ACD．19．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由题知，，进而得，可推断A；再对求导可得，进而得为周期函数，周期为，进而可得，可推断BD；再依据得，进而得时，可推断C..【详解】解：因为若，为奇函数，所以，令得，，即，，A选项正确；所以，，即，所以，函数关于对称，对称，所以，，即所以，，所以，，即函数为周期函数，周期为，所以，，，故D选项正确，B选项错误；对于C选项，由可得，其中为常数，所以，所以，故令得，即，故C选项正确.故选：ACD.20．已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有（

）A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数【答案】BC【分析】利用题中等式以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以．由，可得，可得，所以，函数的图象关于直线对称，A错；对于B选项，因为，则，又因为，可得，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为函数为偶函数，且，则，从而，则，所以，函数是以为周期的周期函数，C对；对于D选项，因为，且，，又因为，所以，，又因为，则，所以，，故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.故选：BC.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.21．已知定义在R上的函数满意，，且当时，，则（

）A．的图像关于点对称B．在区间上单调递减C．若关于x的方程在区间上的全部实数根的和为，则D．函数有4个零点【答案】ACD【分析】对于A，由，结合偶函数性质，可得答案；对于B，依据偶函数的对称性和函数图像的中心对称性，可得答案；对于C，依据函数与方程的关系，结合对称性，可得答案；对于D，依据函数的图像性质，函数值域之间的比较，可得答案.【详解】由题意，得，所以，所以是以4为周期的函数，故，所以的图像关于点对称，故选项A正确；由A可知：当时，，当时，，.即当时，，又，所以为偶函数，则当时，，，所以.依据的周期性，当时，，则，同理，当，，得，所以在区间上单调递增，故选项B错误；依据上述结论，函数在上的图像如下：求方程等价于函数的图像与的图像相交点的横坐标，如图，设从小到大依次为，，，其中，其和，解得，代入，得，故选项C正确；求函数的零点个数，即求曲线与的公共点个数.当时，在点处的切线方程为，故与只有一个公共点.由，，得时，与有一个交点，故当时，与有2个公共点.由与均为偶函数，得当时，与有2个公共点，故函数有4个零点.如下图.故选项D正确.故选：ACD.22．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．为奇函数C．在上为减函数D．方程仅有6个实数解【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性以及特值可以得到，选项A正确；利用函数奇偶性可以得到函数的周期性选项B正确；利用函数奇偶性以及周期性得出函数图象可得选项C错误；通过数形结合可选项D正确.【详解】对于选项A：为偶函数，故，令得：，又为奇函数，故，令得：，其中，所以，故选项A正确；对于选项B：因为为奇函数，所以关于对称，又为偶函数，则关于对称，所以周期为，故，所以，从而为奇函数，故选项B正确；对于选项C：在上单调递增，又关于对称，所以在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，故选项C错误；对于选项D：依据题目条件画出与的函数图象，如图所示：其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程仅有6个实数解，故选项D正确.故选：ABD23．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中肯定正确的是（

）A． B．函数关于对称C．函数是周期函数 D．【答案】ACD【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，推断B，再由条件推断函数，的周期，由此计算，推断C，D.【详解】因为为奇函数，所以，取可得，A对，因为，所以所以，又，即，，故，所以函数的图象关于点对称，B错，因为，所以所以，为常数，因为，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以，所以，故的值为0，D正确；因为，即故函数也为周期为4的函数，C正确.故选：ACD.【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性推断各个选项.24．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】代入，找到含有的等式可推断A正确，令，建立等式并求导，可得到关于对称，利用，用换得到方程组解得，可知为偶函数，进而可推断周期为2，简单推断D正确，利用为周期为2的偶函数，结合选项变换函数值，可求得，推断不肯定相等.【详解】令，得，所以A正确.令，则求导数得，，即所以关于对称，又因为所以为偶函数.，的周期为2.因为为周期为2的偶函数，所以令时，令，得，所以B不正确，C正确.因为的周期为2，，所以D正确.故选：ACD.【点睛】解决函数性质综合问题，要仔细分析条件，联系函数的性质，推断函数是否具备奇偶性，周期性，对称性等性质，然后再利用函数性质，结合选项，选择特值找寻与选项有关的等式或不等式进行计算或者推断.25．已知都是定义在上的函数，对随意满意，且，则下列说法正确的有（

）A．B．函数的图象关于点对称C．D．若，则【答案】ABD【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可推断ABC，对于D，通过视察选项可以推断很可能为周期函数，结合，的特殊性以及一些已经证明的结论，想到当令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步可得出是周期函数，从而可得出的值.【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，再令，，代入已知等式得，可得，结合得，故A正确；对于B，再令，代入已知等式得，将代入上式，得，∴函数为奇函数，∴函数关于点对称，故B正确；对于C，再令，代入已知等式，得，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，∴为周期函数，且周期为3，∵，∴，∴，，∴，∴，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于含有，，的抽象函数的一般解题思路是：视察函数关系，发觉可利用的点，以及利用证明白的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、推断某些关系，特殊是有，双变量，须要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是给予哪些合适的值，这就